山东省济宁市高考数学专题复习 第20讲 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的应用练习 新人教A版.doc

第四节函数yasin(x)的图象及三角函数模型的应用考情展望1.考查函数yasin(x)的图象变换.2.考查函数yasin(x)的图象画法或解析式的求法.3.以新问题新情景为切入点，考查三角函数模型的应用一、yasin(x)的有关概念yasin(x)(a0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相atfx二、用五点法画yasin(x)一个周期内的简图用五点法画yasin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示xx02yasin(x)0a0a0 三、由ysin x的图象变换得到yasin(x)(其中a0，0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的1已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期t和初相分别为()at6，bt6，ct6， dt6，【解析】由题意知f(0)2sin 1，sin ，又|，又t6，故选a.【答案】a2函数ysin在区间上的简图是下列选项中的()【解析】当x时，ysin0；当x时，ysin，从而排除b、c、d，选a.【答案】a3将函数ysin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向右平行移动个单位，得到图象的函数解析式为()aysin bysincysin dysin【解析】将ysin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为ysin x，再把所得图象上所有点向右平移个单位，得到的图象解析式为ysin sin.【答案】d图3414已知函数yasin(x)(0，|)的部分图象如图341所示，则()a1，b1，c2，d2，【解析】由图象知a1，t4，2，排除a，b，再由2，得.【答案】d5(2012安徽高考)要得到函数ycos(2x1)的图象，只要将函数ycos 2x的图象()a向左平移1个单位 b向右平移1个单位c向左平移个单位 d向右平移个单位【解析】ycos(2x1)cos 2，只要将函数ycos 2x的图象向左平移个单位即可，故选c.【答案】c6(2013四川高考)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图342所示，则，的值分别是()图342a2， b2，c4， d4，【解析】，t.又t(0)，2.由五点作图法可知当x时，x，即2，.故选a.【答案】a考向一 056作函数yasin(x)的图象已知函数f(x)cos2x2sin xcos xsin2x.(1)将f(x)化为yacos(x)的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f(x)在0，上的图象【思路点拨】(1)运用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化为yacos(x)的形式；(2)在表中列出0，上的特殊点及两个区间端点，根据变化趋势画出图象【尝试解答】(1)f(x)cos2xsin2x2sin xcos xcos 2xsin 2xcos.(2)列表：2x2x0f(x)1001图象为：规律方法11.寻找0，上的特殊点时，可先求出2x的范围，在此范围内找出特殊点，再求出对应的x值.2.用“五点法”作图应注意四点：(1)将原函数化为yasin(x)(a0，0)或yacos(x)(a0，0)的形式；(2)求出周期t；(3)求出振幅a；(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点.对点训练已知函数f(x)sin.画出函数yf(x)在区间0，上的图象【解】0x，2x.列表如下：2x2x0y1010画出图象如图所示考向二 057函数yasin(x)的图象变换(1)(2012浙江高考)把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()(2)(2013课标全国卷)函数ycos(2x)()的图象向右平移个单位后，与函数ysin的图象重合，则_.【思路点拨】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；(2)先进行平移，得出的三角函数与所给的三角函数进行比较，求出的值. 【尝试解答】(1)ycos 2x1ycos x1ycos(x1)1ycos(x1)结合选项可知应选a.(2)ycos(2x)的图象向右平移个单位得到ycos的图象，整理得ycos(2x)其图象与ysin(2x)的图象重合，2k，2k，即2k.又，.【答案】(1)a(2)规律方法2对yasin(x)进行图象变换时应注意以下两点：(1)平移变换时，x变为xa(a0)，变换后的函数解析式为yasin(xa)；(2)伸缩变换时，x变为(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为yasin(x).对点训练(2014济南一中等四校联考)为了得到函数ysin 2x的图象，只需把函数ysin的图象()a向左平移个单位b向左平移个单位c向右平移个单位 d向右平移个单位【解析】ysinsin 2，故只需把该函数的图象向右平移个单位便可得到函数ysin 2x的图象【答案】d考向三 058求函数yasin(x)的解析式(1)如图343是函数yasin(x)2(a0，0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()图343aa3，t，ba1，t，ca1，t， da1，t，(2)如图344是函数yasin(x)(a0，0，|)的部分图象，则该函数的解析式为_图344【思路点拨】(1)利用求a，借助t求，利用点求.(2)借助图象特征求a及t，进而求出，利用点或(，0)，等条件确定的值【尝试解答】(1)由图象知，a1，t，由2k，得2k，kz，令k0得，故选c.【答案】c(2)由图知a5，由，得t3，此时y5sin.下面求初相.法一(单调性法)：点(，0)在递减的那段曲线上，(kz)由sin0得2k(kz)，2k(kz)|，.该函数的解析式为y5sin.法二(最值点法)：将最高点坐标代入y5sin，得5sin5，2k(kz)，2k(kz)又|，.该函数的解析式为y5sin.法三(起始点法)：函数yasin(x)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由x0解得的故只需找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得.由图象易得x0，x0.该函数的解析式为y5sin.法四(平移法)：由图象知，将y5sin的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数解析式为y5sin.规律方法31.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.2.用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0.“第二点”(即图象的“峰点”)时，x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x；“第五点”时x2.对点训练(2013大纲全国卷)若函数ysin(x)(0)的部分图象如图345，则()图345a5b4c3d2【解析】设函数的最小正周期为t，由函数图象可知x0，所以t.又因为t，可解得4.【答案】b考向四 059三角函数模型的简单应用图346如图346为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中oa与地面垂直，以oa为始边，逆时针转动角到ob，设b点与地面间的距离为h.(1)求h与间关系的函数解析式；(2)设从oa开始转动，经过t秒后到达ob，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？【思路点拨】【尝试解答】(1)以圆心o为原点，建立如图所示的直角坐标系，则以ox为始边，ob为终边的角为.故点b的坐标为，h5.64.8sin.(2)点a在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，h5.64.8sin，t0，)到达最高点时，h10.4 m.由sin1且用时最少得t，t30，缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒规律方法41.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知三角函数模型，准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是合理建模2建模的方法是，认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程对点训练图347(2014郑州模拟)如图347所示，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为p0(，)，角速度为1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】p0(，)，p0ox.按逆时针转时间t后，得pop0t，poxt.由三角函数定义，知点p的纵坐标为2sin，因此d2.当点p在p0处时，t0，d，排除a、d；当t时，点p在x轴上，此时d0，排除b.【答案】c规范解答之四三角函数的图象性质及平移变换1个示范例1个规范练(12分)(2012山东高考)已知向量m(sin x,1)，n(a0)，函数f(x)mn的最大值为6.(1)求a；(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的值域【规范解答】(1)f(x)mnasin xcos xcos 2xaasin.4分因为a0，由题意知a6.6分(2)由(1)得f(x)6sin.将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin6sin的图象；8分再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y6sin的图象.10分因此g(x)6sin.因为x，所以4x，故g(x)在上的值域为3,6.12分【名师寄语】(1)伸缩变换时，只是x的系数发生变化，横坐标缩短为原来的倍，则x变为2x，其他量不变.(2)求yasin(x)的值域问题，应先根据x的范围，确定x的范围，再数形结合求值域.(2013安徽高考)设函数f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f