《勾股定理（1）》.doc

17.1 勾股定理第一课时(袁 梅)一、教学目标1核心素养:通过学习勾股定理，初步发展基本的几何直观和逻辑推理能力2学习目标（1）观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积的关系，发现勾股定理的结论.（2）能证明勾股定理（3）应用勾股定理解决简单的问题（4）了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就.3学习重点探索并证明勾股定理4学习难点勾股定理的探索和证明.二、教学设计（一）课前设计1预习任务任务1：阅读教材P22P24，思考：勾股定理的内容是什么？你还有哪些方法可以证明勾股定理？任务2：怎样利用勾股定理求线段的长？你能将此公式进行哪几种变形？2预习自测1.求下图中的字母代表的正方形的面积：A=_，B=_. 第1题图 2.如图，求未知边c=_，b=_. 预习自测1225，225225，12（二）课堂设计1知识回顾（1）正方形的面积怎样计算？（2）经过证明被确认为 叫做定理.2问题探究问题探究一、观察图形的面积关系，发现勾股定理的结论活动一 观察与思考：（1）等腰直角三角形三边关系如图1，三个正方形的面积有什么关系？由此联想到等腰直角三角形的三边有何数量关系？ 图1 图2（2）两条直角边分别为3、4个单位的直角三角形三边关系如图2，正方形A的面积为_个单位，正方形B的面积为_个单位，正方形C的面积可以用“割”的方法，将正方形分割成4个直角边分别为_、_的全等直角三角形与1个边长为_的正方形面积之和；也可用“补”的方法，用1个边长为_的正方形面积减去4个直角边分别为_、_的全等直角三角形的面积），即正方形C的面积为_单位.通过计算可以发现两直角边分别为3、4个单位的直角三角形的三边关系为_.（3）两条直角边分别为任意整数个单位的直角三角形三边关系请你在下列方格图中，画一个直角边为整数的直角三角形，探究你所画的直角三角形是否也有上述性质？活动二 猜想结论：根据以上观察你发现直角三角形的三边有怎样的数量关系？命题：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.符号表示：在RtABC中，若BC= a，AC=b，AB=c，则a2+b2=c2.问题探究二 验证勾股定理 重点、难点知识活动一 大胆猜想，从a2+b2=c2的“式结构”来看，可以联想到正方形面积的“形结构”.如图3，构造出边长分别为a、b、c的正方形面积来证明.活动二 集思广益，证明勾股定理如图4，用“补”的方法，可得c2= (_)2 - 4_，化简整理得a2+b2=c2.如图5，用“割”的方法，可得c2= (_)2 +4_，化简整理得a2+b2=c2. 活动三 感受我国数学家赵爽的证明教材P23P24，P30，阅读我国古代数学家赵爽对勾股定理的研究，并完成课本拼图法证明勾股定理.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2.活动四 反思过程，公式变形公式变形：b2 = c2-a2 b=c2-a2； a2 = c2-b2 a =c2-b2问题探究三 勾股定理的简单应用 重点活动一 初步运用，运用定理求线段长例1 在RtABC中，C=90o，A、B、C的对边分别是a、b、c.【知识点：勾股定理；数学思想：数形结合】（1） 若a=3，b=5，求c；（2） 若a=8，c=17，求b；（3） 若ab =12，c=5，求a、b.详解：（1）a2+b2=c2，c=a2+b2=32+52=34；（2）略（3）由ab =12，可设a=x，b=2x,则x2+(2x)2=52 ，解得x=5.a=2， b=25.点拨：已知直角三角形的两边长，利用勾股定理求第三边长时，关键是弄清已知什么边，求什么边，灵活运用公式求解.活动二 变式应用例2 在RtABC中，AB=4，AC=6，求BC的长. 【知识点：勾股定理，二次根式的运算；数学思想：数形结合】详解：此题与上题相比，未指明哪个角为直角，即不清楚谁为斜边，所以应分两类进行计算.当AC为斜边时，则BC2+AB2=AC2 ，即BC=AC2-AB2=62-42=25；当BC为斜边时，则AC2+AB2=BC2 ，即BC=AC2+AB2=62+42=213.综上，BC的值为25或213.点拨：利用勾股定理解题时若未明确直角边、斜边，则应分类讨论进行计算.3课堂总结【知识梳理】(1) 勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2.(2) 公式变形：b2 = c2-a2 b=c2-a2； a2 = c2-b2 a =c2-b2 【重难点突破】（1）勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系. 已知a、b、c（c为斜边）中的任意两边，能求出第三边，已知a、b，则c =a2+b2；已知a、c，则b =c2-a2；已知b、c，则a=c2-b2.（2）运用勾股定理时应注意：确定该三角形是直角三角形；分清直角边和斜边，若未明确直角边、斜边，则应分类讨论.（3）勾股定理的发现、归纳、猜想和验证，体现了从特殊到一般的数学思想和数学结合思想.（4）面积法验证勾股定理的关键是，要找到一些特殊图形（如直角三角形、正方形、梯形）的面积之和等于整体图形的面积，从而达到验证的目的.4随堂检测1.下列说法正确的是（ ）A.若a、b、c是ABC的三边长，则 a2+b2=c2.B.若a、b、c是RtABC的三边长，则 a2+b2=c2.C.若a、b、c是RtABC的三边长，A=90o ，则 a2+b2=c2.D.若a、b、c是RtABC的三边长，C=90o，则 a2+b2=c2.【知识点：勾股定理；数学思想：数形结合】【参考答案】D . 【解析】运用勾股定理时应注意：确定该三角形是直角三角形；并分清直角边和斜边，根据定理两直角边的平方和等于斜边的平方. 故选D2.在RtABC中，C=90o，A、B、C的对边分别是a、b、c.（1）若a=6，b=8，则c=_ ；（2）若a=9，c=15，则b=_.【知识点：勾股定理，二次根式的运算；数学思想：数形结合】【参考答案】10；12【解析】根据勾股定理，C=a2+b2=62+82=10；b=c2-a2=152-92=123.在RtABC中，B=90o，AB=5，AC=10，则BC=_.【知识点：勾股定理，二次根式的运算；数学思想：数形结合】【参考答案】53【解析】根据勾股定理，BC=AC2-AB2=102-52=53.4.