【志鸿全优设计】高中数学 第三章3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义讲解与例题 新人教A版选修22.doc

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义问题导学一、复数的加法与减法运算活动与探究1(1)计算：(7i5)(98i)(32i)；(2i)(2)已知z123i，z212i，求z1z2，z1z2迁移与应用1若复数z满足z23i15i，则复数z_2计算：(1)2i(32i)(13i)；(2)abi(2a3bi)4i(a，br)；(3)(109i)(87i)(33i)(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部(2)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算二、复数加、减运算的几何意义活动与探究2复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数迁移与应用1在abcd中，对角线ac与bd相交于点o，若向量，对应的复数分别是3i，13i，则对应的复数是()a24i b24ic42i d42i2如图，向量，对应复数分别为z1abi(a，br)，z2cdi(c，dr)，作出z1z2对应的向量，并指出|z1z2|z1|z2|成立吗？(1)复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算(2)由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决复数问题(3)在复平面内，z1，z2对应的点为a，b，z1z2对应的点为c，o为坐标原点，则四边形oacb：为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形oacb为矩形；若|z1|z2|，则四边形oacb为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形oacb为正方形三、复数加、减运算的综合问题活动与探究3设f(z)z2i|z|，若z134i，z22i，试求f(z1z2)迁移与应用1已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(ar)，且z1z2为纯虚数，则a_2已知|z|5，且z3是纯虚数，求z解决复数问题时，设出复数的代数形式zxyi(x，yr)，利用复数相等或模的概念列方程(组)求实部与虚部，即把复数问题实数化四、两点间的距离公式及应用活动与探究4若复数z满足|zi|1，求：(1)|z|的最大值和最小值；(2)|z1|2|z1|2的最大值和最小值；(3)|z|2|z2i|2的最大值和最小值迁移与应用1若|z1|z1|，则复数z对应的点z()a在实轴上 b在虚轴上c在第一象限 d在第二象限2已知|z|2，则|zi|的最大值为_(1)|zz0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式(2)|zz0|r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解答案：课前预习导学【预习导引】1(ac)(bd)i(ac)(bd)i2z2z1z1(z2z3)预习交流1(1)提示：可以推广根据两个复数加减法的运算法则，其和与差仍然为复数，因此可以连续地进行加减运算(2)提示：(34i)(56i)(2i)(210i)(2i)11i3，为邻边的平行四边形的对角线向量预习交流2(1)提示：根据复数减法以及模的几何意义，|z1z2|的含义是指在复平面上，复数z1，z2所对应的点z1与z2之间的距离不一定当z1z20时，z1和z2不一定都是实数，例如：z13i，z21i，虽有(3i)(1i)20，但不能推出3i1i(2)提示：由复数加法几何意义知对应的复数为(12i)(34i)22i课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：利用复数加减法的运算法则计算，运算时要分清各复数的实部与虚部解：(1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593)(782)i1i(2i)i2iii1i(2)z1z223i(12i)15i，z1z223i(12i)3i迁移与应用138i解析：由z23i15i，得z(15i)(23i)38i2解：(1)原式2i(31)(23)i2i(4i)43i；(2)原式(a2a)(b3b)i4i3a(2b4)i3a(2b4)i；(3)原式(1083)(973)i15i活动与探究2思路分析：利用，或者，求点d对应的复数；也可以利用正方形的性质求解，正方形的两条对角线的交点是其对称中心解法一：如图，设复数z1，z2，z3所对应的点分别为a，b，c，正方形的第四个顶点d对应的复数为xyi(x，yr)则(xyi)(12i)(x1)(y2)i，(12i)(2i)13i因为，所以(x1)(y2)i13i，所以解得故点d对应的复数为2i解法二：设复数z1，z2，z3所对应的点分别为a，b，c，正方形的第四个顶点d对应的复数为xyi(x，yr)因为点a与点c关于原点对称，所以原点o为正方形的中心，所以点o也是点b与点d连线的中点，于是(2i)(xyi)0，所以x2，y1，故点d对应的复数为2i迁移与应用1d解析：由于，所以对应的复数为(3i)(13i)42i2解法1：由向量平行四边形法则知，分别以向量，为邻边作平行四边形所得的对角线oz，即为向量，如图(1)解法2：以向量的终点z1为起点作向量，则向量即为复数z1z2对应的向量，如图(2)由向量模的性质知：|z1z2|z1|z2|成立活动与探究3思路分析：先求出z1z2的值，再按给出的f(z)的定义进行求解解：z134i，z22i，z1z255i于是f(z1z2)f(55i)(55i)2i|55i|53i5(55)3i迁移与应用11解析：z1z2(a2a2)(a4a22)i(ar)为纯虚数，解得a12解：设zxyi(x，yr)，则z3(x3)yi，于是有解得x3，y4或x3，y4，即z34i或z34i活动与探究4思路分析：本题主要考查复数模的几何意义明确满足条件|zi|1的复数z的几何意义为：圆心为(，1)，半径为1的圆内区域，包括边界，|z|则表示圆面上一点到原点的距离解：(1)如图所示：|2|z|max213，|z|min211图(2)|z1|2|z1|22|z|22|z1|2|z1|2最大值为20，最小值为4(3)如图，在圆面上任取一点p，与复数za，zb2i对应点a，b相连，得向量，再以，为邻边作平行四边形将问题再次转化为(1)的类型设za，zb2i，p为圆面上任一点，zpz，则2|22|2|2(2|)274|2(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，|z|2|z2i|2而max|om|11，min|om|11，|z|2|z2i|2的最大值为272，最小值为272图迁移与应用1b解析：由|z1|z1|知z对应的点的轨迹是两点(1,0)，(1,0)连线的垂直平分线，即虚轴23解析：依题意|z|2，所以z对应的点在圆x2y24上，而|zi|表示z对应的点与(0,1)点间的距离，显然这个距离的最大值是123当堂检测1若z12i，z23ai(ar)，z1z2所对应的点在实轴上，则a为()a3 b2 c1 d1答案：d解析：z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，z1z2对应的点在实轴上，即z1z2为实数，因此a10，a12在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中o为坐标原点，则|()a b2 c d4答案：b解析：对应的复数为(13i)(1i)2i，故|2i|23如果一个复数与它的模的和为，那么这个复数是()a bc d答案：c解析：设复数为z，则z|z|5i，|z|5izr，可设zai(ar)，5a，a，4已知z1m23mm2i，z24(5m6)i(mr)若z1z20，则m_答案：1解析：z1z2m23mm2i4(5m6)im23m4(m25m6)iz1z20，解得m15