数学奥林匹克初中训练题(75).pdf

2 0 0 5 年第4 期 3 9 稞外瑚壤 囊 一 静 数学奥林匹克初中训练题 7 5 第 一 试 一 选择题 每小题 7 分 共 4 2 分 1 已知实数 Y 满足 Y 0 且 x y z 0 设 则 y z A T 0 B T 0 C T 0 与直线 c b 0 有两个公共点 它们的横坐 标分别为 又直线 Y b x c 与 轴的 交点坐标为 0 则 满足的关系 式是 A X 2 X 3 B 去 1 1 c 5 如图2 已知点 0是 A B C内部的一 点 P Q R分别是 边A B B C C A上的 点 且 O P B C O Q C A O R A B O P O Q O R 记 B C 0 C A B b A B c 则 等于 A 丁 百 0 D C C a2 b23 C2 图 2 Q C B 吉 6 c D l f ab bc ca 6 已知 Y 0 且 Y满足 x y Y Y 贝 0 Y的值为 A 一 B 一 百 1 c D 3 二 填空题 每小题 7 分 共 2 8 分 1 已知实数 Y 满足 Y 2 则 Y的最大值为 2 在 R t A B C中 C 9 0 B C 5 另 两边 A B A C的长均为整数 延长 A C到D 并使 A B D 9 0 得 A B D 则 A B D的外 接圆半径R 3 在 A B C中 三边长分别为 0 3 b 4 c 6 h 表示边 B C上的高 h h 的 定义类似 则 击 去 1 4 已知三位数a b c 其平方数的末三位数 也是a b c 那么 满足这样条件的所有的三位 数的和是 维普资讯 中 等 数 学 第 二 试 一 2 0 分 1 证明 若 取任意整数值 时 二次三项式 a x c 总取整数值 则 2 a a b c 都是整数 2 先写出 1 的逆命题 再判断真假 并 证明你的结论 二 2 5分 如 图 3 从o 0外的一点 P 作o0的两条切线 切 点分别为 A 在劣弧 A B 上任取一点 C 先过 点 c作o 0的切线 分 别交 P A P B于点D E 再过点 C作 C F 上 A B 垂足为 F 求证 CF D CF E 尸 图 3 三 2 5 分 有三堆石子的个数分别为 2 l 1 0 1 1 现进行如下操作 每次从三堆的任 意两堆中分别取出 1 粒石子 然后把这2 粒 石子都加到另一堆上去 问 能否经过若干次 这样的操作 使得 1 三堆石子的石子数分别为4 1 4 2 4 2 三堆石子的石子数均为 l 4 如能满足要求 请用最少的操作次数完 成 如不能满足要求 请说明理由 参 考 答 案 第 一 试 一 1 C 因为 x y z O 则 Y 全不为0 故 Y 0 又 Y Y 2 x y y z 0 所以 z 帽 0 故 r 0 由题设知 一 j a 2 a 3 a 4一 q 又 a l a l q a l q 即 1 q q 0 所 以 4 一 1 1 0 q t l 解得 t l 因为 口 o 所以 1 二 3 D 如图4 过点A作A 0 D G 交B C于点0 则 s s s 一 s 0 c S z 3 e m s 一 S 故S o s 1 s s 0 c 音S c B c 又 丽D E 0 s b 乙 一 一 B G o F C 图4 C F B G 于是 s 9 故 s D E F G 9 一 1 3 1 4 联 立 方 程 组 y a x 可 得 L V 懈 C 似 一 一c 0 所 以 詈 一 詈 将 y o i4 A Y bx c 中 得 物 一 詈 所以 1 一 1 一 故 5 A 如图 5 作 P K O Q Q L O R R M O P 分别交 B C C A A B 于点 M 易知 P K K Q Q L B 0 R K Q C 图 5 维普资讯 2 0 0 5 年第4期 令 B K Q C 则 B C 0 j 由 P K B C 器 有 一 b 一 17 c 一 17 代人式 得 0 0 0 0 所以 T 百 6 A 因 为 0 由 知 y 2 1 则 1 若 1 由x y 一 得 一 1 这是不可能 的 因此 一1 由 一 得 一 所以 一 1 一 1 一 3 二 1 2 设 IC 后 易知 后 0 由 2 得 一x y y 2 2 从 而 后 一 由此可知 是关于t 的方程 缸 0 的两个实根 于是 有 号 2 1 0 解得 后 2 故 的最大值为2 2 7 云 由勾股定理 得 仙 一A C 2 5 即 仙 a c 仙 一a c 2 5 因为2 5 的正整数因数有 1 5 2 5 则有 r 仙 A C 2 5 L 仙一A C 1 解得 仙 1 3 A C 1 2 由射影定理 得 A D 4 所 以 尺 A D 7 去 3 9 设 A B C的面积为S 则有 s 吉 以 故 击 去 去 2 S 2 S 17 去 丢 1 6 c 1 3 4 6 9 丢 4 1 0 0 1 设 则 一 的末三位数都是0 所以 一 1 是 1 0 0 0 的倍数 因为 1 0 0 0 2 3 5 又 与 一1 互质 因此 一 1 是5 的倍数或 是5 的倍数 当 IC 一 1 1 2 5 1 2 5 X 3 1 2 5 X 5 1 2 5 X 7 时 检验 知 只有 I C 一1 1 2 5 X 3 即 I C 3 7 6符合题意 当 1 2 5 1 2 5 X 3 1 2 5 X 5 1 2 5 X 7 时 检验知 只有 IC 1 2 5 X 5 6 2 5 符合题意 故所求的所有三位数的和为3 7 6 6 2 5 1 0 0 1 第 二 试 一 1 记 M 戤 c 当 IC 0 时 为整数 即c 是整数 当 IC 1 时 为整数 即 17 6 c 是整数 于是 17 b 17 b c 一 c 为两个整数之差 也是整数 当 IC 2 时 是整数 可推出4 0 2 6 c 为整数 而2 0 4 0 2 6 c 一 2 17 b 一 c 当 然是整数 因此 2 a 17 b c 都是整数 2 逆命题为 若2 a 17 b c 都是整数 则当 IC 取任意整数 时 二次三项式 戤 c 总取整数值 这是一个真命题 证明 因为2 a 17 b c 都是整数 由 戤 c 戤 一 戤 戤 c 戤 IC 一1 17 b I C c 2 0 丛 0 b c 当 IC 为整数时 一1 一 个是偶数 于是 是相邻的整数 故必有 是整数 因2 o是整数 则 2 是整数 Y N 6 c 是整数 则 维普资讯 4 2 中 等 数 学 数学奥林匹克高中训练题 7 5 第 一 试 一 选择题 每小题 6 分 共 3 6 分 1 用反证法证明命题 若P则q 其第一 步是反设命题不成立 这个正确的反设是 A 若P则不q B 若不P则q C 若不 P 则不q D P 且不q 2 实数 口 b c 是 不等式 口 b c 1 3 a b c 取等号 的 条件 A 充分而不必要 B 充分必要 c 必要而不充分 D 既不充分又不必要 3 圆 Y 4 上与直线 4 3 一1 2 0 距离最小的点的坐标是 A 导 了8 B 导 了6 c c 萼 cD 萼 4 若A A B C沿三条中位线折起能拼接 成一个三棱锥 则A A B C的形状为 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 不能确定 都有可能 5 在A A B C中 已知t a l l2 B t a n A ta n C 则 B的取值范围是 A 詈 芝 B 号 c o 詈 u 孥 丌 D 詈 u 擎 6 已 知数列 o b c 是整数 因此 当 取任意整数时 二 次三项式 吡 c 总取整数值 D 二 如图6 分别过点 p E作 D M上A B E N上 A B 垂足为 由 P A P B知 D A M E B N 叉 A MD B N E 9 0 所以 mA A D M R t A B E N D M D 酸 丽 丽 因为 A D C B E E C 所以 D M DC E N 面 电 D Mf f C F f E N DC MF C E 雨 从而 所以 R t D M FG O R t A E N F 图 6 故 D F M E F N 因此 C F D 三 1 能达到 最少经过6 次操作 如 2 1 1 0 1 1 2 3 9 1 0 2 2 8 1 2 一 2 4 7 1 1 一 2 3 6 1 3 一 2 5 5 1 2 一 2 4 4 1 4 因为最少一堆从 1 0 个到 4 个 至少要经过 6 次 操作 故不可能比6 次更少 2 不能达到 由于每次操作后 每堆石