初一上趣味课堂3(有理数).docx

第三讲：有理数（三）热场小游戏【说百者输】学生每两个人一组，第一个学生说一个在0到10之间的数字，然后两个学生轮流说数字，每次说的数字要比前一个人说的大，但差值不能超过10，最后，谁说到一百就为输，输的人要接受惩罚。学习目标1. 理解掌握有理数有关概念，有理数的运算法则、运算律、运算顺序以及近似数、科学计数法等有关知识；2. 培养学生综合运用知识解决问题的能力；3. 渗透数形结合的思想。知识清单学习内容 1、正数与负数：正数大于0,0大于负数，正数大于负数 实际中表示意义相反的量 带“-”号的数并不都是负数2.有理数的分类（1）按定义分类 （2）按性质分类 正整数 正整数整数 0 正有理数负整数 正分数有理数 有理数 0正分数 负整数分数 负有理数负分数 负分数3、数轴 原点三要素 正方向 单位长度 如何画数轴 数轴上的点与有理数的关系4、相反数只有符号不同的两个数，互为相反数。0的相反数是0 a的相反数-a a与b互为相反数a+b=05、绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点距离，表示成a。a（a0）a= （正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0）-a（a0）6、倒数乘积是1的两个数叫作互为倒数。 a的倒数是（a0） a与b互为倒数ab=17.有理数的运算运算名称运算法则运算律加法同号相加 取相同的符号，绝对值相加加法交换律：a+b=b+a异号相加绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，绝对值相减互为相反数的两个数相加得0加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)一个数同0相加，仍得这个数减法（减法转化为加法）减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法两个数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘任何数同0相乘，都得0.乘法交换律：ab=ba乘法结合律：（ab）c=a(bc)分配率：a(b+c)=ab+bc除法两个数相除，除数不为零，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（除以一个数，等于乘以这个数的倒数。）0除以任何一个不等于0的数，都得0.乘方正数的任何次幂都是正数负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数0的任何正整数次幂都是08.科学记数法与近似数科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成a10n（其中1a10，n为正整数）指数n与原数的整数位数之间的关系。近似数与有效数字准确数、近似数、精确度精确到万位精确度 精确到0.001保留三个有效数字近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位。例题讲解 知识点1：不定方程分油问题的一般性解法；正负数表示相反意义的量；有理数的加减运算例题：韩信分油韩信是汉高祖刘邦手下的大将，不但善于用兵打仗，而且精通天文、地理和数学。有一次，韩信在行军途中偶遇两个合伙卖油的商人。这两个商人争论不休，急得满脸通红。韩信驱马上前一问，原来是为了一件小事。这两个商人做生意剩下10公斤油，打算平分了，可没有带秤，只有一个能盛10公斤的油篓、一个能盛7公斤的油罐和一个能盛3公斤的油葫芦。两个人折腾了半天也没能把这10公斤油分好，便互相抱怨了起来。韩信问明原因后，在马背上略加思索，便想出了分油的办法。他笑着对这两个商人说：“好办，好办。葫芦归罐罐归篓，分好油来回家走。”说完他便扬鞭催马而去。两个商人一头雾水，抓耳挠腮好一阵子，才恍然大悟。按照韩信的办法，他们很快就把油分好，高高兴兴回家去了。从此，“韩信分油”的故事就广泛流传开来。人们在对韩信的智慧钦佩之余，不禁要问：这“葫芦归罐罐归篓”到底是怎么一回事呢？解析：“葫芦归罐罐归篓”就是把油篓中的油通过油葫芦倒到油罐中，当油罐被灌满时，再将油罐中的油全部倒到油篓中。具体倒法是：从油篓中往油葫芦里倒三次，前两次油葫芦中的油全部倒到油罐中，第三次油葫芦中的油只能往油罐中倒1公斤，油罐就满了；将油罐中的油全部倒回油篓，再将油葫芦中剩下的2公斤油倒到油罐中；从油篓中往油罐中倒1葫芦油（3公斤），这时，油篓和油罐中便各有5公斤油。问题因此得到解决。第二种解法答案：见下表：步数油篓10Kg油罐7Kg油葫芦3Kg01000137（+1）02343（-1）36404613（-1）59106901727（+1）18253（-1）9550拓展：分油问题的一般性解法（1）三个容器N1，N2，N按容积由小到大排列，分别为自然数N1,N2,N；得到的油M是小于N的自然数。（2）两个较小容器的容积数N1,N2互素的（不是互素的要简单一些）。互素指多个整数的最大公因数是1。（3）由于容器没有刻度，倒油过程中，较小容器总需要倒空或者填满。（4）小容器倒油的次数X、Y是整数，最后需要得到的油M也是正整数。（5）在小容器里得到数量较少的油，如容器N1得到小于等于N1的油；容器N2得到大于N1小于等于N2的油所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程。方程列为N2X+N1Y=M，其中，N=N1+N2,M=（N1+N2）/2，则是平均分油问题，是分油问题的一个特例。与一般不定方程有所不同的是，在倒油问题上，这里X和Y取正值，也可取负值。正值表示倒满某个小容器的次数且首先将此容器倒满，负值表示从满油小容器倒出的次数。如果方程有多解，需要寻找一个最优解：X和Y的绝对值越小，表明倒油的次数越少，表明是一个最优解。有了这个解，就可以用来帮助我们完成分油过程，中间倒油的过程为了满足某个较小容器倒满或者清空而倒来倒去，而具体如何实现只需要费一点点脑筋。在上题中，韩信分油问题的不定方程为：7x+3y=3，最优解为：x=2，y=-3。这里2表示先倒满油罐且整个过程中倒满它的次数为2次，而-3表示从满油的油葫芦中倒出的次数为3次。课堂练习1. 法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题：某人有12品脱美酒，想把一半赠人，但没有6品脱的容器，而只有一个8品脱和一个5品脱的容器，问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中？2一位出租车司机对自己两小时的运营状况进行记录：自地出发，向东记为正，则向西记为负所走路程（单位：千米）为：问：最后他们是否回到出发点？若没有，则在地的什么位置？答：他们 _（填：有或没有）回到出发点，在地的正 _方向，距地 _千米若每千米耗油15升，则今天共耗油 _升3为了简记我班某小组同学的数学成绩，采用了以80分为标准的办法，高于80分的记为正，低于80分的成绩记为负，现有10名同学的成绩记录如下：，求这10名同学的平均成绩 知识点2：“找补”问题；有理数的乘方运算例题：俄罗斯古题 甲、乙两人合养了若干头羊，而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等，全部卖完后，两人按照下面的方法分钱：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后，剩下不足10元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该找补给乙多少元？解析：根据“每头羊的卖价又恰与羊的头数相等”，所以羊的总价为n2元，由题意知n2元中含有奇数个10元，即完全平方数n2的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6.所以，n2的末尾数字是6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。答案：甲应该找补给乙2元。课堂练习1. 甲、乙两人合干一项工程，而每天的工资又恰与工作的天数相等，工程竣工后，两人按照下面的方法分钱：先由甲拿30元，再由乙拿30元，如此轮流，拿到最后，剩下的钱不足30元，但多于20元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该找补给乙多少元？2 与乘方有关的数字规律探究：观察下列算式：。通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是_。3观察下面三行数，2, -4， 8， -16， 32， -64， -2， -8， 4， -20， 28， -68， -1， 2， -4， 8， -16， 32，(1) 第行第10个数是多少？(2) 第行数与第行数分别有什么关系？(3) 取每行第10个数，计算这三个数的和。 知识点3：二进制思想在实际中的应用；有理数的乘方运算例题：巧分苹果小明是个卖苹果的，小红一次从小明那里买N（N1023）个苹果。小明每次都要数N个苹果给小红，唉，太麻烦了。于是小明想出了一种办法：他把苹果分在10个袋子中，则无论小红来买多少个苹果，他都可以整袋整袋地拿给小红。问怎样分配苹果到各个袋子？解析：运用二进制编码思想 按照二进制编码的特点，n位二进制的各个数位的权重从低到高分别是20，21，22，2n-1.n位无符号二进制数可以表示0到（2n）-1，共n个数。 而二进制数位只有1和0两种状态，正好对应题目中苹果袋子的“给”与“不给”两种状态。因此只要将各个袋子分别装入20，21，22，29个苹果即可满足题目要求。例如：需要66个苹果，因66的二进制是1000010，则小明只要将苹果个数为21（2个）和26（64个）的袋子给小红就可以了。答案：10个袋子分别装苹果1、2、4、8、16、32、64、128、256、512个课堂练习1. 一位老大爷带上了1000元钱上街买东西。东西的价格都是整元数，为了保证至少1000元的东西都能立即付钱，他把钱包分成若干包。付钱时只要拿出几包而无需折散也无需找零便行。他应如何包这些钱？2计算： 3观察下列等式，,想一想等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系?猜一猜可以引出什么规律,并把这种规律用等式写出来 知识点4：三进制思想在实际中的应用 例题：砝码问题 一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地上而碎成四块。后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这四块来称140磅之间的任意整数磅的重物。问这四块砝码碎块各重多少？解析：“平衡三进制”的问题，也称对称三进制“平衡三进制”是一种以3为基数，各个三进制位权重为30，31，32，3n，以-1，0，1为基本数码的三进制计数体系。N位三进制数表示的范围是：。需要明白的是，一个砝码可以放在要称量的物品的同侧，也可以放在对侧，当然也可以不放。砝码的三种状态可以表示为：不放（0）、放在物品对侧（+1）、放在物品同侧（-1）。因此各个砝码碎片的重量就是各个平衡三进制数位的权重，即1，3，9，27。答： 这四块砝码碎块重量分别是1，3，9，27。课堂练习1. 27个小球。其中一个比其他小球都要重一点。给你一个天平，最多称3次，找出这个特殊的小球。2已知： （1）请你猜想填空： ；（2）试计算：3比较下面算式结果的大小（在横线上填“”、“”或“” ）： 通过观察归纳，写出能反映这一规律的一般结论。能力提升1. 别莱利曼在趣味几何学中表述：一只水桶，装有12杓水，还有两只容量分别为9杓和5杓的空桶，如何将大水桶的水分成两半？2. 超市新进了箱橙子，每箱标准重量为，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：、那么超市购进的橙子共多少千克？3. 甲、乙两人合卖了若干苹果，而每个苹果的卖价又恰与苹果的个数相等，全部卖完后，两人按照下面的方法分钱：先由甲拿30元，再由乙拿30元，如此轮流，拿到最后，剩下不足10元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该找补给乙多少元？4. 已知，则，的大小关系是什么？5. 观察下列各式： 用你所发现的规律写出的末位数字_。6 为了称出1100克的所有整数克的重量，针对以下两种情况：用一架天平与至少几个砝码？（1）砝码只准放在天平的一边，物体放在另一边；（2）砝码允许放在天平的两边。答案：例一练习1.根据题意，可列不定方程8X+5Y=6 ，得到的解为：X=2,Y=-2，这是一个最优解。也就是从最大容器中先倒满8升容器并倒满2次，5升容器装满后倒出2次进入最大的容器，就会得到两个6升。过程如下表：步数12品脱容器8品脱容器5品脱容器01200148（+1）02435（-1）39304903518（+1）36165（-1）76602没有；东；1 40.53这10名同学的成绩分别为：100,70,75,95,89,77,90,88,84,64，所以平均成绩为83.2例二练习：1根据“每天的工资又恰与工作的天数相等”，所以总钱数为n2元，由题意知n2元中含有奇数个30元，再加上乙拿到的20多元，也就是含有奇数个10元，即完全平方数n2的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6.所以，n2的末尾数字是6，即乙最后拿的是26元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。2答案：43. （1）-1024（2）第行数减4得第行数，第行数除（-2）得第行数（3）三数的和=（-1024）+（-1024-4）+（-1024）（-2）=-1540例三练习：1应把1000元钱分别包成1元、2元、4元、8元、16元、32元、64元、128元、256元及489元共10包。支付金额不超过511元时，将金额转化为二进制数，易知取前九包中的若干包可按要求支付；而支付金额超过511元，可先支付489元，再把剩余的钱转化为二进制数再选取前9包中的若干包支付。2解：设L= 则2L= -得：-L=1-211所以=211-13等式左边各项幂的底数的和为右边幂的底数； 规律为：13+23+33+n3=（1+2+3+n）2例四练习：1可以使用三进制的原理来解决。三进制各个数位的权重分别为30，31，32，3n。三进制用0，1，2这3个数码表示数，因此每个三进制数位有3种状态。对于每一次天平称量的结果有3种：左边较重、右边较重、平衡。我们可以将左边较重编号为1，右边较重编号为2，平衡编号为0。首先将27个小球按照0到26编号，编号的三进制的形式如下：000001002010011012020021022100101102110111112120121122200201202210211212220221222第一称量将编号的三进制第1位为1的小球（9个）放在左边，编号第1位为2的小球（9个）放在右边，编号第1位为0的不放。第二次称量将编号的三进制第2位为1的小球（9个）放在左边，编号第2位为2的小球（9个）放在右边，编号第2位为0的不放。第三次称量将编号的三进制第3位为1的小球（9个）放在左边，编号