【全程复习方略】高中数学 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时提升作业（一）新人教A版选修23.doc

课时提升作业(一)分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用一、选择题(每小题3分,共18分)1.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是()a.56b.65c.5654322d.65432【解析】选a.要完成选择听讲座这件事,需要分六步完成,即6名同学逐个选择要听的讲座,因为每名同学均有5个讲座可选择,由分步乘法计数原理,6位同学共有555555=56种不同的选法.2.已知a1,2,3,b4,5,6,7,r8,9,则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数为()a.9b.12c.8d.24【解题指南】确定圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径,可以用分步乘法计数原理解决.【解析】选d.完成表示不同的圆这件事有三步:第一步,确定a有3种不同的选取方法;第二步,确定b有4种不同的选取方法;第三步,确定r有2种不同的方法.由分步乘法计数原理,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有342=24个.3.甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有()a.4种b.5种c.6种d.12种【解析】选c.若甲先传给乙,则有:甲乙甲乙甲,甲乙甲丙甲,甲乙丙乙甲,3种不同的传法;同理甲先传给丙,也有3种不同的传法,共有6种不同的传法.4.(2014天津高二检测)计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有()a.24种b.36种c.42种d.60种【解析】选d.每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行,共有43=64种安排方案;三个项目都在同一个体育馆进行,共有4种安排方案.所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有60种.5.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为()a.25b.26c.36d.37【解析】选c.设另两边长分别为x,y,且不妨设1xy11,要构成三角形,必须x+y12.当y取11时,x=1,2,3,11,可有11个三角形;当y取10时,x=2,3,10,可有9个三角形;当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.【误区警示】本题易因分类不全而导致错误.6.(2014北京高二检测)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有()a.18个b.15个c.12个d.9个【解析】选b.根据“六合数”的定义,首位数字为2,则第二位数字最大为4,此时对应的数字只有1个,为2400;当第二位数字为3时,后面两位分别为1,0,共有2种数字对应,分别为2310或2301;当第二位数字为2时,后两位有2,0或1,1对应,因此有3种数字对应,分别为2220,2202,2211;当第二位数字为1时,后两位分别为3,0或2,1,共有4种数字与之对应,分别为2103,2130,2121,2112;当第二位数字为0时,后两位数分别为4,0或2,2或1,3,对应5种数字,分别为2040,2004,2022,2013,2031,因此“六合数”的个数为15个.【变式训练】已知a,b0,1,2,9,若满足|a-b|1,则称a,b“心有灵犀”.则a,b“心有灵犀”的情形共有()a.9种b.16种c.20种d.28种【解析】选d.当a为0时,b只能取0,1两个数;当a为9时,b只能取8,9两个数,当a为其他数时,b都可以取3个数.故共有28种情形.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知集合a=0,3,4,b=1,2,7,8,集合c=x|xa或xb则当集合c中有且只有一个元素时,c的情况有种.【解析】分两类进行,第一类,当元素属于集合a时,有3种.第二类,当元素属于集合b时,有4种.所以共有3+4=7种.答案:78.(2014郑州高二检测)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有种.【解析】将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种,即2143,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应着3种填法,因此共有填法为33=9(种).答案:99.(2014嘉兴高二检测)已知a,b1,2,3,4,5,6,7,8,9,u=logab,则u的不同取值个数为.【解析】要保证u的取值不同,则有a=2时,b可取1,2,3,4,5,6,7,8,9共9种;当a=3时,b可取2,4,5,6,7,8共6种情况;当a=4时,b可取2,3,5,6,7,8共6种情况;当a=5时,b可取2,3,4,6,7,8,9共7种情况;当a=6时,b可取2,3,4,5,7,8,9共7种情况;当a=7时,b可取2,3,4,5,6,8,9共7种情况;当a=8时,b可取2,3,4,5,6,7,9共7种情况;当a=9时,b可取2,5,6,7,8共5种情况.所以u的不同取值个数为9+6+6+7+7+7+7+5=54.答案:54三、解答题(每小题10分,共20分)10.某出版社的7名工人中,有3人只会排版,2人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷,现从7人中安排2人排版,2人印刷,有几种不同的安排方法?【解析】首先分类的标准要正确,可以选择“只会排版”“只会印刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准.下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准,按照被选出的人数,可将问题分为三类:第一类:2人全不被选出,即从只会排版的3人中选2人,有3种选法;只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步乘法计数原理知共有31=3种选法.第二类:2人中被选出一人,有2种选法.若此人去排版,则再从会排版的3人中选1人,有3种选法,只会印刷的2人全被选出,有1种选法,由分步乘法计数原理知共有231=6种选法;若此人去印刷,则再从会印刷的2人中选1人,有2种选法,从会排版的3人中选2人,有3种选法,由分步乘法计数原理知共有232=12种选法.再由分类加法计数原理知共有6+12=18种选法.第三类:2人全被选出,同理共有16种选法.所以共有3+18+16=37种选法.11.王华同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,则有多少种不同的带法?(2)若带外语、数学、物理参考书各1本,则有多少种不同的带法?(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,则有多少种不同的带法?【解析】(1)完成的事情是带一本书,无论带外语书,还是数学书、物理书,事情都已完成,从而确定应用分类加法计数原理,结果为5+4+3=12种.(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书,只有从外语、数学、物理书中各选1本后,才能完成这件事,因此应用分步乘法计数原理,结果为543=60种.(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理,有54=20种选法;同样,选外语书、物理书各1本,有53=15种选法;选数学书、物理书各1本,有43=12种选法.即有三类情况,应用分类加法计数原理,结果为20+15+12=47种.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013福建高考)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为()a.14b.13c.12d.10【解析】选b.对a进行讨论,为0与不为0,当a不为0时,还需将判别式与0比较.若a=0,则b=-1,0,1,2,此时(a,b)的取值有4个;若a0,则方程ax2+2x+b=0有实根,需=4-4ab0,所以ab1.此时(a,b)的取值为(-1,0),(-1,1),(-1,-1),(-1,2),(1,1),(1,0),(1,-1),(2,-1),(2,0),共9个.所以(a,b)的个数为4+9=13.2.已知集合m1,-2,3,n-4,5,6,-7,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()a.18b.10c.16d.14【解析】选d.m中元素作为横坐标,n中元素作为纵坐标,则在第一、二象限内点的个数有32=6;m中元素作为纵坐标,n中元素作为横坐标,则在第一、二象限内点的个数有42=8,共有6+8=14个.【误区警示】误认为m中元素为横坐标,n中元素为纵坐标而未分类致误.【变式训练】已知x1,2,3,4,y5,6,7,8,则xy可表示不同值的个数为()a.16b.4c.8d.15【解析】选d.完成xy这件事分两步走,第一步:从集合1,2,3,4中选一个数,共有4种选法;第二步:从集合5,6,7,8中选一个数,共有4种选法,共有44=16种选法.其中38=46,所以xy可表示的不同值的个数为15.3.(2014南昌高二检测)已知直线ax+by=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数中每次取两个不同的数作为a,b的值,则可表示出的不同直线的条数是()a.19b.20c.21d.22【解析】选d.当a或b中有一个为0时,则可表示出2条直线;当a,b均不为0时,a有5种选法,b有4种选法,则可表示出54=20条不同的直线,由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线.4.(2014石家庄高二检测)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000的“良数”的个数为()a.27b.36c.39d.48【解析】选d.一位“良数”有0,1,2,共3个;两位数的“良数”十位数可以是1,2,3,两位数的“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32,共9个;三位数的“良数”有百位为1,2,3,十位数为0的,个位可以是0,1,2,共33=9个,百位为1,2,3,十位不是零时,十位、个位可以是两位“良数”,共有39=27个.根据分类加法计数原理,共有48个小于1000的“良数”.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2014龙岩高二检测)将1,2,3,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为.34【解析】根据数的大小关系可知,1,2,9的位置是固定的,则剩余5,6,7,8四个数字,如图所示,8只能放在a,b两个位置,12d34acb9若8放在b处,则可以从5,6,7三个数字中选一个放在c处,剩余两个按照大小放在a,d处,此时共有3种,同理若8放在a处,则可以从5,6,7三个数字中选一个放在d处,剩余两个按照大小放在b,c处,此时也有3种,所以共有6种填法.答案:66.圆周上有2n个等分点(n大于2),任取3个点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为.【解析】先在圆周上找一点,因为有2n个等分点,所以应有n条直径,不过该点的直径应有n-1条,这n-1条直径都可以与该点形成直角三角形,即一个点可形成n-1个直角三角形,而这样的点有2n个,所以一共可形成2n(n-1)个符合条件的直角三角形.答案:2n(n-1)三、解答题(每小题13分,共26分)7.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),a1,2,3,4,5,6,7,b1,2,3,4,5,这样的椭圆共有多少个?【解题指南】根据分类加法计数原理依次讨论a,b的取值.【解析】依题意按a,b的取值分为6类,第一类:a=2,b=1;第二类:a=3,b=1,2;第三类:a=4,b=1,2,3;第四类:a=5,b=1,2,3,4;第五类:a=6,b=1,2,3,4,5;第六类:a=7,b=1,2,3,4,5.由分类加法计数原理得:这样的椭圆共有1+2+3+4+5+5=20个.8.某校高二共有三个班,各班人数如下表.男生人数女生人数总人数高二(1)班302050高二(2)班303060高二(3)班352055(1)从三个班中选1名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?【解题指南】(1)从每个班选1名学生任学生会主席都能独立完成这件事,因此应采用分类加法计数原理.(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分类加法计数原理.【解析】(1)从每个班选1名学生任学生会主席,共有3类不同的方案:第1类,从高二(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高二(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;第3类,从高二(3)班中选出1名学生,有