八年级数学下册 第七章 二次根式小结与复习 鲁教版五四制.doc

二次根式知识梳理二次根式相关概念二次根式一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式.最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.二次根式性质（1）（）2a（a0）；（2）|a|（3） （a0，b0）；（4）（a0，b0）；（5）0（a0）.二次根式的乘除：（1）乘法运算法则：（a0，b0）；（2）除法运算法则：（a0，b0）.二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.二次根式的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减.二次根式的实际应用：利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.考点呈现考点1二次根式的意义例1若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）a. xl b. xl c. x1 d. x1解析：因为式子在实数范围内有意义，所以x10，解得x1.故选b.点评：注意二次根式的被开方数为非负数.考点2二次根式的性质例2计算的结果是（）a.3b.3c.9d.9解析：根据二次根式的性质计算即可得到结果.|3|3.故选b.点评：此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.考点3最简二次根式例3 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）a. b. c. d.解析：利用最简二次根式的概念逐个辨析即可求解.3；2；.根据最简二次根式的概念，可以发现只有符合要求.故选b.点评：最简二次根式必须满足两个条件：（1）根号内不含有开得尽方的因数或因式；（2）根号内不含有分母.考点4二次根式的乘除例4 计算：.解析：利用二次根式乘法法则直接计算.2.点评：熟练掌握相关的运算法则是求解的关键，注意结果要化成最简二次根式.考点5二次根式的加减例5 计算4+3的结果是（ ） a.+ b. c. d.解析：先把各二次根式化成最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式合并.4+32+2.故选b.点评：把二次根式化成最简二次根式后进行加减运算，注意被开方数不相同的二次根式不能合并.考点6估值例6 估计+1的值在（ ）a.2到3之间 b.3到4之间 c.4到5之间 d.5到6之间解析：因为，所以23，所以3+14，即+1的值在3到4之间.故选b.点评：实数的估算一般是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，进而估计一个带根号的数的整数部分及其大致范围.考点7阅读理解例7 （2013年黔西南州）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如3+2(1+)2，善于思考的小明进行了如下探索：设a+b(m+n)2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a+bm2+2mn+2n2，所以am2+2n2，b2mn.这样，小明找到了把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决问题：（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b(m+n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a，b.（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n，填空：+(+)2.（3）若a+4(m+n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值.分析：（1）首先认真阅读所给材料，分析探究小明解决问题的方法，然后进行归纳、迁移，进而求解；（2）此题可以采用与小明方法类似的解法，也可以进行逆推，执果索因，即把m，n选定一组正整数，然后去括号，即可求解.注意本题答案不唯一，只要符合题中正整数要求即可；（3）认真分析此题，与（1）进行对比，易知b4，即42mn，所以mn2，然后根据正整数的特点进行分类讨论，确定出m，n的值，进而即可求解a的值.解：（1）依题意，得am2+3n2，b2mn.（2）答案不唯一.如，a13，b4，m1，n2等.（3）由b2mn，得42mn，即mn2，由于a，m，n均为正整数，所以mn12或mn21，即m1，n2或m2，n1.当m1，n2时，am2+3n213；当m2，n1时，am2+3n27.所以a的值为13，或7.点评：阅读理解题的主要类型有：定义新运算型、定义新概念型、方法模拟型.解题思路是先通过阅读，理解概念，掌握方法，领悟思想，抓住本质，然后解答问题.解题时要注意三点：一是阅读材料时要理解其中的因果关系；二是看懂过程的同时要注意蕴含的数学思想和方法；三是注重迁移发展，探索求新.误区点拨例1化简：a.错解：a.剖析：由被开方式有意义可知，0，即a0，就是说，a本身是一个负值，造成错解的原因是没有注意到被开方式的非负性这个隐含条件.正解：因为a有意义，所以0，即a0.所以a.例2若m，求的值.错解：m121（2+）12.剖析：由题意得m21，错解具体化简时忽视了这一隐含条件.正解：因为m21，所以+m1+21+（2+）3.思想方法1. 数形结合思想05.1ab例1 （2013年淮安）如图，数轴上a，b两点表示的数分别为和5.1，则a，b两点之间表示整数的点共有（）a. 6个b. 5个c. 4个d. 3个解析：因为12，55.16，所以a，b两点之间表示整数的点有2，3，4，5，共4个.故选c.点评：本题主要考查了无理数的估算，根据实数与数轴上的点一一对应，把“数”和“形”结合起来，二者相互补充，相辅相成.2.方程思想例2 （2013年汕头）若实数a，b满足|a+2|+0，则.解析：因为|a+2|和都是非负数，所以由|a+2|+0，得a+20，b40，解得a2，b4.当a2，b4时，1.点评：两个或多个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.3. 分类讨论思想例3 已知xy9，求x+y的值.解析：因为x+yx+yx+y，而xy9，所以当x0，y0时，原式226；当x0，y0时，原式226.点评：两个数的积是正数，有两种情形，一是两数同正，二是两数同负.本题的条件中没有说明字母x，y的符号情况，故必须分类讨论.跟踪训练1. 要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）a. x2 b. x2 c. x2 d. x22. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）a. b. c. d. 3. 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（）a. 2与3之间b. 3与4之间c. 4与5之间d. 5与6之间4. 已知|a1|+0，则a+b.5. 已知长方形的面积为15，长a3，则宽b.6. 若a1，化简1.7. （1）计算：.（2）先化简()，再求得它的近似值.（精确到0.01，1.414，1.732）8. 设mn0，m2+n24mn，试求的值.9. 已知等腰三角形的两条边长为和，试求这个三角形的周长.第七章 二次根式小结与复习跟踪训练：1. c 2. c 3. b4. 6 5. 6. a7. 解：（1）2.（2）()+3331.7325.20.8. 解：因为m2+n24mn，mn0，所以m2+n2+2mn6mn，m2+n22mn2