2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理)精校解析版.pdf

年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 数学 理科 考试时间 分钟 总分 分 考生注意事项 答题前 务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的姓名 座位号 并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名 座位号与本人姓名 座位号是否一致 务必在答题卡背 面规定的地方填写姓名和座位号后两位 答第 卷时 每小题选出答案后 用 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答第 卷时 必须使用 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写 要求字体工 整 笔迹清晰 作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出 确认后再用 毫米的黑色 墨水签字笔描清楚 必须在题号所指示的答题区域作答 超出答题区域书写的答案无效 在试题卷 草稿纸上答题无效 考试结束 务必将试题卷和答题卡一并上交 参考公式 如果事件A与B互斥 那么 棱柱体积V S h P A B P A P B 棱锥体积V S h 如果事件A与B相互独立 S表示底面积 h表示底面上的高 那么P A B P A P B 如果A与B是两个任意事件 P A 那么P A B P A P B A 第 卷 选择题 共 分 一 选择题 本大题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 i是虚数单位 i i A iB iC i D i 若集合A xl o g x 则 RA A B C D 设向量a b 则下列结论中正确的是 A a b B a b C a b与b垂直D a b 若f x 是R上周期为 的奇函数 且满足f f 则f f A B C D 双曲线方程为x y 则它的右焦点坐标为 A B C D 设a b c 二次函数f x a x b x c的图象可能是 设曲线C的参数方程为 x c o s y s i n 为参数 直线l的方程为x y 则曲线C上到直线l的距离为 的点的个数为 A B C D 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积为 第 题 A B C D 动点A x y 在圆x y 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转 秒旋转一周 已知时间t 时 点A的坐标是 则当 t 时 动点A的纵坐标y关 于t 单位 秒 的函数的单调递增区间是 A B C D 和 设 an 是任意等比数列 它的前n项和 前 n项和与前 n项和分别为X Y Z 则下 列等式中恒成立的是 A X Z YB Y Y X Z Z X C Y X ZD Y Y X X Z X 第 卷 非选择题 共 分 考生注意事项 请用 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答 在试题卷上答题无效 二 填空题 本大题共 小题 每小题 分 共 分 把答案填在答题卡的相应位置 命题 对任何x R x x 的否定是 x y y x 展开式中 x 的系数等于 设x y满足约束条件 x y x y x y 若目标函数z a b x y a b 的最大值 为 则a b的最小值为 如图所示 程序框图 算法流程图 的输出值x 第 题 甲罐中有 个红球 个白球和 个黑球 乙罐中有 个红球 个白球和 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以A A 和A 表示由甲罐取出的球是红 球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以B表示由乙罐取出的球是红球 的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 P B P B A 事件B与事件A 相互独立 A A A 是两两互斥的事件 P B 的值不能确定 因为它与A A A 中究竟哪一个发生有关 三 解答题 本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解 答写在答题卡上的指定区域内 本小题满分 分 设 A B C是锐角三角形 a b c分别是内角A B C所对边长 并且 s i n A s i n B s i n B s i n B 求角A的值 若A B A C a 求b c 其中b c 本小题满分 分 设a为实数 函数f x e x x a x R 求f x 的单调区间与极值 求证 当a l n 且x 时 e x x a x 本小题满分 分 如图 在多面体A B C D E F中 四边形A B C D是正方形 E F A B E F F B A B E F B F C B F F C H为B C的中点 求证 FH 平面E D B 求证 A C 平面E D B 求二面角B D E C的大小 第 题 本小题满分 分 已知椭圆E经过点A 对称轴为坐标轴 焦点F F 在x轴上 离心率e 求椭圆E的方程 求 F A F 的角平分线所在直线l的方程 在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点 若存在 请找出 若不存在 请说明理由 第 题 本小题满分 分 设数列a a a n 中的每一项都不为 证明 an 为等差数列的充分必要条件是 对任何n N 都有 a a a a anan n a an 本小题满分 分 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试 一种通常采用的测试方法如下 拿出n瓶外 观相同但品质不同的酒让其品尝 要求其按品质优劣为它们排序 经过一段时间 等 其记忆淡忘之后 再让其品尝这n瓶酒 并重新按品质优劣为它们排序 这称为一轮 测试 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分 现设n 分别以a a a a 表示第一次排序时被排为 的四种酒在第二 次排序时的序号 并令 X a a a a 则X是对两次排序的偏离程度的一种描述 写出X的可能值集合 假设a a a a 等可能地为 的各种排列 求X的分布列 某品酒师在相继进行的三轮测试中 都有X 试按 中的结果 计算出现这种现象的概率 假定各轮测试相互独立 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何 说明理由 年普通高等学校招生全国 统一考试 安徽卷 B 解析 i i i i i 故选B A 解析 由l o g x 得 x 所以 RA 故选A C 解析 由条件知 a b a b 故a与b不平行 a b b 所以 a b b A 解析 f f f f f f 故选A C 解析 由题知a b 所以c a b c 双曲线的右焦点为 故选C D 解析 A中 a c 由x b a 得b 则a b c 不符合 B中 a c 由x b a 得b 则a b c 则 a b c 不符合 C中 a c b 不符合 D中a c b 则a b c 符合 故选D B 解析 曲线C为圆 x y 圆心C 到 直线x y 的距离d 由圆的半径为 知 圆C上有且仅有两点到l的距离为 故选B C 解析 该几何体如图所示 表面积为 第 题 D 解 析 旋 转 的 速 度 为 如 图 所 示 动 点A从 点 到 点B 及 动 点A从 点C 到 点 y关于t的函数递增 由 得在第 秒运动到点C 递增区间为 和 故选D 第 题 D 解析 因为 an 成等比数列 所以X Y X Z Y成等比数 列 从而 Y X X Z Y 所以Y Y X X Z Y X Y X X Z X 故选D 存在x R 使得 x x 解析 全称命题的否定 是存在性命题 存在性命题的否定是全称命题 解 析 设 第r 项 含x 则 由 Tr C r x y r y x r C r r y r x r 得 r 得r C 故填 解析 作出可行域如图所示 因为a b 所以当直线 a b x y z过点A 时 z取最大值 从而a b a b a b a b 当且仅当a b 时取得等号 故填 第 题 解析 x 是奇数 x x 是奇数 x x 是奇数 x 循环结束 输出 故填 解析 P A P A P A P B A 从而可排除 故填 本题考查两角和的正弦公式 同角三角函数的基本关系 特殊角 的三角函数值 向量和数量积 利用余弦定理解三角等有关知 识 考查综合运算求解能力 因为s i n A c o s B s i n B c o s B s i n B s i n B c o s B s i n B s i n B 所以s i nA 又A为锐角 所以A 由A B A C 可得c bc o s A 由 知A 所以c b 由余弦定理 知a c b c bc o sA 将a 及 代入 得c b 所以 c b 即c b 因此 c b是一元二次方程t t 的两个根 解此方程并由c b 知c b 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调区间 求函数的 极值和证明函数不等式 考查运算能力 综合分析和解决问题的 能力 由f x e x x a x R知 f x e x x R 令 f x 得x l n 于是当x变化时 f x f x 的变化情 况如下表 x l n l n l n f x f x 单调递减 l n a 单调递增 故f x 的单调递减区间是 l n 单调递增区间是 l n f x 在x l n 处取得极小值 极小值为f l n e l n l n a l n a 设g x e x x a x x R 于是 g x e x x c x R 由 知当a l n 时 g x 的最小值为 g l n l n a 于是对任意x R 都有 g x 所以g x 在R内单调递增 于是当a l n 时 对任意x 都有g x g 而g 从而对任意x g x 即e x x a x 故e x x a x 本题考查空间线面平行 线面垂直 面面垂直的判断与证明 考 查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力 同时 考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 第 题 综合法 设A C与B D交于点G 则G为A C的中点 连接 E G GH 由于H为B C的中点 故GH A B 又 E F A B E F GH 四边形E FHG为平行四边形 E G FH 而E G 平面E D B FH 平面E D B 由四边形A B C D为正方形 有A B B C 又 E F A B E F B C 而E F F B E F 平面B F C E F FH A B FH 又 B F F G H为B C的中点 FH B C FH 平面A B C D FH A C 又 FH E G A C E G 又 A C B D E G B D G A C 平面E D B E F F B B F C B F 平面C D E F 在平面C D E F内过点F作FK D E交D E的延长线于K 则 FKB为二面角B D E C的一个平面角 设E F 则A B F C D E 又 E F D C KE F E D C s i n E D C s i n KE F FK E Fs i n KE F t a n FKB B F FK FKB 二面角B D E C为 向量法 四边形A B C D为正方形 A B B C 又 E F A B E F B C 又 E F F B E F 平面B F C E F FH A B FH 又 B F F C H为B C的中点 FH B C FH 平面A B C 以H为坐标原点 HB为x轴正向 HF 为z轴正向 建立如图 所示的坐标系 第 题 设BH 则A B C D E F 设A C和B D的交点为G 连接G E GH 则G G E 又 HF HF G E G E 平面E D B HF不在平面E D B内 FH 平面E B D A C G E A C G E A C G E 又 A C B D E G B D G A C 平面E D B B E B D 设平面B D E的法向量为n y z 则B E n y z B D n y y z 即n C D C E 设平面C D E的法向量为n y z 则n C D y n C E y z z 故n c o s n n n n n n n n 即二面角B D E C为 设椭圆E的方程为x a y b 由e 得c a b a c c x c y c 将A 代入 有 c c 解得c 椭圆E的方程为x y 解法一 由 知F F 所以直线A F 的 方程为y x 即 x y 直线A F 的方程为x 由椭圆E的图形 知 F A F 的角平分线所在直线的斜率为正数 设P x y 为 F A F 的角平分线所在直线上任一点 则有 x y x 若 x y x 得x y 其斜率为负 不合题 意 舍去 于是 x y x 即 x y 所以 F A F 的角平分线所在直线的方程为 x y 解法二 A F F A F A F A F A F A F A F k l y x 即 x y 解 法 一 假 设 存 在 这 样 的 两 个 不 同 的 点B x y 和C x y B C l kB C y y x x 设B C的中点为M x y 则x x x y y y 由于M在l上 故 x y 又B C在椭圆上 所以有x y 与 x y 两 式 相 减 得x x y y 即 x x x x y y y y 则 x x y y x x y y 并将直线B C的斜 率kB C和线段B C的中点表示代入该表达式中 得 x y 即 x y 得x y 即B C的中点为点A 而这是不可 能的 不存在满足题设条件的点B和C 解法二 假设存在B x y C x y 两点关于直线l对称 则l B C kB C 设直线B C的方程为y x m 将其代入椭圆方程 x y 得一元二次方程 x x m 即x m x m 则x 与x 是该方程的两个根 由韦达定理 得x x m 于是y y x x m m B C的中点坐标为 m m 又 线段B C的中点在直线y x 上 m m 得m 即B C的中点坐标为 与点A重合 矛盾 不存在满足题设条件的相异两点 本题考查等差数列 数学归纳法与充要条件等有关知识 考查推理 论证 运算求解能力 先证必要性 设数列 an 的公差为d 若d 则所述等式显然成立 若d 则 a a a a anan d a a a a a a a a an an anan d a a a a an an d a an d a n a a an n a an 再证充分性 证法一 数学归纳法 设所述的等式对一切n N都成立 首 先 在等式 a a a a a a 两端同乘a a a 即得a a a 所以a a a 成等差数列 记 公差为d 则a a d 假设ak a k