2011北京大学生数学竞赛试题讲解.pdf

1 2011北京大学生数学竞赛试题 讲解 解 5ln6 15 2sin 1ln lim 3 5ln2 lim 5ln 2 lim 5ln 2sin lim 15 2sin 1ln lim 0 2 0 000 x x x xx x x x xf x xf x x xf x x xf x xf 解 由已知 1 1 2 1 3 x e xfxf x 解 0 1 f 所以 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 2lim lim 1 1 1 1 3 11 x x x e x e xfxf x x x x xx x f 故在1的某空心邻域内大于0 f x 图像下凸 f 1 为极小值 解 4 arctan 2 1 limarctan 2 1 lim 1 1 2 1 lim 1 lim 1 0 2 1 0 2 42 1 0 42 nnx nxd xn dx xn nx nn nn 解 83 0 sin cos sin cossin cos sinsin sinsin sin sin sin 0 0 0 00 0 0 0 00 000 fff xdxxfxxfxdxxf xxdfxdxxf xdxxfxfxxdxxf xfxdxdxxf xdxxfxdxxfxdxxfxf 解 设 6 1 3 2 lim 3 cos1 lim sin lim 2 2 0 2 0 3 0 r r r r r rr rrr 则原极限变为 22 ryx 2 解 c y z b x z a bFaF F y z bFaF F x z y z bcF y z aF x z bF x z acF yx 故 解得 求偏导 可得和方程两边分别对 c c 0 0 21 2 21 1 21 21 471143 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2121 2121 212 1 ffff ffffffg xxfxxfxxfxf xxfxfxg解 4 0 2 0 2 2 2 2 2 22 2 0 2 0 2 2 0 fF ttfttftF ttftF rdrrfrdrrfdtF tt 解 3ln 3ln 1 1 1 2 lim 4 1 xx e e u u x x x n n n 解得令 解 3 4 5 2010北京大学生数学竞赛 试题解答 2 1 1 1 2 1 1 21 32 ff x x xx f 故 代入 解 2 2 lim 1 lim lim 2 0 2 0 0 2 2 22 k C x x ex e C x ee k x xk x x k xx x 故 解 1 2 2 3 2 1 3 2 xxxxx xxxxxxf解 不可导点为x 0 x 1 0 1 4 2 1 1 2 4 3 2 1 2 2 2 22 2 2 4 0 奇函数 解 设 dtttt dtttttt dxxxxxx xt 6 8 3 01 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 yx u uyx e xyee e y u yee yx u e x F F y u e y F F x u eFxFyF xyeuuyxF u uu u uu u u y u u x u uyx u 代入上式 得时 则 解 设 解 1 2 1 2 1 1 1 2 arctan2 0 arctan 2 arctanarctanarctan2 2 1 arctan 1 arctan 2 2 2 2 xxxx xf xxF CCx xF Cxtd t dtt tt t tx dx xx x dxxFxF xfxF 代入已知条件 得 解 12 1 2 1 1 11 lim 2222 nnnnn n 用夹逼定理 222222 22 12 1 2 1 1 11 12 22 n n nnnnnnn n 所求极限为2 2 4 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 111 1112 e e dxe x dxe x e x dxe x de x dxe xx dyyedx xxx xxx x xy 2ln2 1 1ln 1 1 2ln2 1 1ln 1 1 ln 1 1ln 1 ln ln 1ln 1 nn S nnnn nnnn nnnn u n n 解 x x x xxx xx x x txu exf CC