高中数学 第2章 函数 2.2.2 函数的奇偶性课件 苏教版必修1(1).ppt

2 2 2函数的奇偶性 1 奇函数和偶函数 1 一般地 设y f x 的定义域为a 如果对于任意的x a 都有f x f x 那么称函数y f x 是偶函数 2 如果对于任意的x a 都有f x f x 那么称函数y f x 是奇函数 交流1既是奇函数又是偶函数的函数存在吗 为什么 提示存在 因为如果对于函数f x 的定义域内任意一个x f x f x 与f x f x 同时成立 则这样的函数f x 既是奇函数又是偶函数 表达式是f x 0 定义域是关于原点对称的非空数集 2 奇偶性 1 如果函数f x 是奇函数或偶函数 我们说函数f x 具有奇偶性 2 偶函数的图象关于y轴对称 奇函数的图象关于原点对称 交流2若奇函数f x 在x 0处有定义 则在x 0处的函数值是什么 若g x 是偶函数且在x 0处有定义 能确定g 0 的值吗 提示根据奇函数的定义 有f 0 f 0 f 0 0 即在x 0处的函数值为0 若偶函数g x 在x 0处有定义 则g 0 的值不确定 如g x x2 a是偶函数 而g 0 a是任意实数 不能确定是哪一个数 交流3 1 有下列函数 其中奇函数有 偶函数有 填序号 2 已知f x ax3 bx 3中 f 2 3 则f 2 提示 1 2 9 典例导学 即时检测 一 二 三 典例导学 即时检测 一 二 三 解 1 函数的定义域为 x x 1 不关于原点对称 所以f x 既不是奇函数也不是偶函数 2 函数的定义域为r 关于原点对称 f x x 3 2 x 2x x3 f x 所以f x 是奇函数 3 函数的定义域为r 关于原点对称 当a 0时 f x 既是奇函数又是偶函数 当a 0时 f x a f x 即f x 是偶函数 4 函数的定义域为r 关于原点对称 当x 0时 x0 此时f x x 1 x x 1 x f x 当x 0时 x 0 此时f x 0 f x 0 即f x f x 综上 f x f x 在定义域r内都成立 所以f x 为奇函数 典例导学 即时检测 一 二 三 典例导学 即时检测 一 二 三 解 1 函数f x 的定义域是 x x 0 关于原点对称 f x 为奇函数 2 函数f x 的定义域为r 关于原点对称 又f x 2 x 2 x f x f x 为偶函数 3 函数f x 的定义域为 1 1 关于原点对称 且f x 0 又f x f x f x f x f x 既是奇函数又是偶函数 4 显然函数f x 的定义域为 x x 1 不关于原点对称 f x 是非奇非偶函数 典例导学 即时检测 一 二 三 判断函数的奇偶性 首先要检查函数定义域是否关于原点对称 再由定义判断f x f x 或f x f x 是否成立 也可以判断f x f x 是否为0 或判断是否等于 1 对分段函数奇偶性的判定与分类讨论思想有关 要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互关系 典例导学 即时检测 一 二 三 二 函数奇偶性的应用已知f x 是定义域在r上的奇函数 当x 0时 f x x 1 x 1 试求当x 0时的解析式 2 写出f x 在r上的解析式 并画出函数f x 的图象 导学号51790054 思路分析解答这类问题时 求哪个区间上的解析式 就在哪个区间上设x 变号后代入已知解析式 借助函数奇偶性求解 典例导学 即时检测 一 二 三 解 1 设x0 x 0时 f x x 1 x f x x 1 x 又f x 是奇函数 f x f x x 1 x x 0时 f x x 1 x 其图象如下 典例导学 即时检测 一 二 三 已知f x 是奇函数 g x 是偶函数 且f x g x x2 2x 3 求f x 和g x 的解析式 导学号51790055 解由条件得f x g x x 2 2 x 3 x2 2x 3 又f x 为奇函数 g x 为偶函数 f x f x g x g x f x g x x2 2x 3 f x g x x2 2x 3 两式相减 得f x 2x 两式相加 得g x x2 3 典例导学 即时检测 一 二 三 利用函数奇偶性求函数解析式的关键 是利用奇 偶函数的关系式f x f x 或f x f x 但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x 然后把x转化为 x 另一个已知区间上的解析式中的变量 通过适当推导 求得所求区间上的解析式 典例导学 即时检测 一 二 三 三 奇偶性与单调性的综合应用设定义在 2 2 上的奇函数f x 在区间 0 2 上是单调减函数 若f m f m 1 0 求实数m的取值范围 导学号51790056 思路分析欲求m的取值范围 应列出关于m的不等式 组 要充分利用已知条件及单调性与奇偶性 将抽象不等关系转化为不等式 组 典例导学 即时检测 一 二 三 典例导学 即时检测 一 二 三 2016山东济南一中高一期中 定义在 1 1 上的函数y f x 是增函数 且是奇函数 若f a 1 f 4a 5 0 求实数a的取值范围 导学号51790057 典例导学 即时检测 一 二 三 典例导学 即时检测 一 二 三 函数的奇偶性同单调性一样 是高考的重点内容之一 主要考查点包括 利用定义判断函数的奇偶性 利用函数的奇偶性 关系 图象 解决某些问题 如利用奇偶性研究函数的取值 定义域 值域 单调性 作函数的图象等 常与单调性综合考查 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6 a 奇函数b 偶函数c 既是奇函数又是偶函数d 非奇非偶函数答案 a解析 函数的定义域为 x x 0 关于原点对称 由函数奇偶性的定义有f x f x 为奇函数 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6 2 已知函数y f x 是奇函数 若f 3 f 2 1 则f 2 f 3 a 0b 1c 2d 3答案 b解析 f x 是奇函数 且f 3 f 2 1 f 2 f 3 f 2 f 3 f 3 f 2 1 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6 3 2016山东诸城高一期末 设f x 是奇函数 对任意的实数x y 有f x y f x f y 当x 0时 f x 0 当x 0时 f x 0 f x2 x1 0 即f x2 f x1 0 f x 是奇函数 有f x2 f x1 0 f x2 f x1 f x 在r上是减函数 f x 在区间 a b 上有最大值f a 最小值f b 故选a 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6 4 1 一次函数y kx b k 0 是奇函数 则b 2 二次函数y ax2 bx c a 0 是偶函数 则b 答案 1 0 2 0解析 1 由 kx b kx b 得b 0 2 a x 2 b x c ax2 bx c bx bx 故b 0 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6 5 已知偶函数y f x 在区间 0 4 上是单调增函数 则f 3 与f 的大小关系是 答案 f 3 f 解析 f x 为偶函数 f 3 f