确定二次函数的关系式.doc

课题：确定二次函数的关系式民族中学：唐志前教材分析 确定二次函数的关系式是义务教育教科书数学（湖南教育出版社）九年级下册的教学内容。教材在上册中已经学过了一元二次方程，掌握了配方法，也在前面学习过了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的关系式。在本节内容前面又讲解了二次函数的一般式和顶点式。这些都使得学生在确定二次函数的关系式的问题中有了“循序渐进”和“水到渠成”的过程，有了一定的前提铺垫和知识储备，这就为探索确定二次函数的关系式奠定了基础。学生分析 学生在前面的学习中，已经学习了二次函数的概念、二次函数的图象及性质的有关内容，并经历了用待定系数法求一次函数和反比例函数关系式的过程，有了一定的知识积累。经过前面两年半的学习，学生已经具备了一定的独立思考、合作交流的能力。本节课的教学能进一步培养学生的观察能力和一题多解的能力，使学生能通过对问题特点的仔细观察，从多个角度来探究解决问题的途径，有条理地表达自己的思考过程。设计理念 在实施开放教学的过程中，注重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成与发展，培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作交流的精神和创新意识。将创新的教材、创新的教法与创新的课堂环境有机地结合起来，将学生自主学习与创新意识的培养落到实处。教学目标【知识与技能】1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式. 2.由已知条件的特点,灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数解析式,可使计算过程简便. 【过程与方法】通过例题讲解使学生初步掌握,用待定系数法求二次函数的解析式. 【情感态度】 通过本节教学,激发学生探究问题,解决问题的能力. 【教学重点】用待定系数法求二次函数的解析式. 【教学难点】灵活选择合适的表达式设法. 课前准备：多媒体课件教学流程一、知识回顾，引入新课（设计意图：通过对前面所学知识的回顾，为本课学习作好铺垫。）师：前面我们学习二次函数的性质时，已知道二次函数的两种表达式，大家还记得这两种表达式吗?生：（1）一般式：y=ax+bx+c（a0）（2）顶点式：y=a(x-h) +k（a0） 师：我们学习过用待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的表达式是y=kx+b，只要求出k和b的值，就可以确定一次函数的表达式.那我们如何确定二次函数y=ax+bx+c的表达式呢?师：我们也是用待定系数法求二次函数的表达式。待定系数法是二次函数表达式求解中的基本思想方法，一般过程是根据题目给出的具体条件，设出不同形式的表达式，找出满足表达式的点的坐标，代入表达式列出方程组，求出相应的系数。常用的方法有一般式、顶点式。二、思考探究，获取新知（设计意图：通过对例题的分析，让学生切实的感受到这类典型问题的解决方法，掌握这类问题解答过程。）类型1 ：已知三点求表达式例1：已知一个二次函数的图象经过三点（1,3），（-1，-5），（3，-13），求这个二次函数的表达式？解：设该二次函数的表达式为y=ax+bx+c.将三个点的坐标（1,3），（-1，-5），（3，-13）分别代入函数表达式，得到关于a，b，c的三元一次方程组：因此，所求的二次函数表达式是y=-3x2+4x+2 师：上述例题中的条件具有什么样的特点？生：已知图象上三个点的坐标。师：此类特点的问题适用于设哪种表达式求解？生：若已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可用一般式求二次函数的表达式。例2：已知三个点的坐标P（1，-5）、Q（-1，3）、M（2，-9），是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？解：设有二次函数y=ax+bx+c，它的图象经过P,Q,M 三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：师：a=0，这说明什么问题？生：这说明所求的函数不是二次函数。因此，一次函数 y=- 4x-1 的图象经过P，Q，M三点。这说明没有一个这样的二次函数，它的图象经过P，Q，M三点。师：那为什么这个问题中的三个点又不能确定一个二次函数呢？生：给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数，而若给定共线三点的坐标，则不能确定二次函数。 现学现用：1、已知二次函数的图象经过A（0,2），B（1，3）， C（-1,-1）三点.求这个二次函数的解析式？解：设有二次函数y=ax+bx+c，它的图象经过P,Q,M 三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：因此，所求的二次函数表达式是y=-x2+2x+2类型2 利用顶点式求表达式例3：已知二次函数图象的顶点坐标是（1，-3），且经过点P（2，0），求这个二次函数的表达式。 解：由于抛物线顶点为A(1，-3)，故可设抛物线解析式为y=a(x-1)2-3，把点P（2，0）代入得0=a-3，解得a=3, 所以这个二次函数的表达式为y=3(x-1)2-3，即y=3x2-6x 师：上述例题中的条件又具有什么样的特点？生：已知图象的顶点和图象上另一个点的坐标。师：此类特点的问题适用于设哪种表达式求解？生：若已知二次函数图象的顶点坐标和图象上的另外任意一点的坐标，可用顶点式求二次函数的表达式。现学现用：2、已知二次函数的顶点为A(1，-4)且过 B(3，0)，求二次函数解析式。解：由于抛物线顶点为A(1，-4)，故设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4，把点B（3，0）代入得0=4a-4，即a=1所求的二次函数表达式是y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3 三、课堂检测（设计意图：此三个问题难度逐渐加大，重在体现分层教学的理念，让不同层次的学生能有所收获。）1、 已知二次函数y=ax+bx+c，函数与自变量x之间的部分对应值如下表所示，求这个二次函数的解析式。x 0 1 2 3 y 5 2 1 2 （设计意图：此例设一般式求解并不难，但在题是实际上可找出二次函数的顶点坐标，因此还可设顶点式来求解。如何找顶点坐标，这是值得学生思考的。教师鼓励学生先独立思考，然后相互对比答案，对有困难的问题，教师可作适当的启发，同桌之间可以相互交流讨论，从而培养学生的自主学习、合作学习的精神，从多角度思考问题的能力。）解 ：根据题意可知二次函数的图象过将点（0，5），（1，2），（2，1），分别代入函数表达式，得到关于a，b，c的三元一次方程组：因此，所求的二次函数表达式是y=x2-4x+5 师：除了上述方法外，你还能用其他的方法来求解吗？你能由表中的数据找出这个二次函数的顶点坐标吗？生：由表中的后三个数据，可知这个二次函数的顶点坐标是（2，1），所以可设顶点式来求二次函数的表达式。2、请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax+bx+c (a 0)同时满足下列条件：（1）图像开口向下；（2）当x 2时，y随x的增大而增大；当x 2时，y随x的增大而减小。这样的二次函数的表达式可以是 。 （设计意图：此题是一个开放性问题，重在要学生熟练掌握二次函数的性质，利用顶点式写出符合这个特点的二次函数表达式。老师要鼓励学生大胆说出自己的结论，并与同伴交流自己的问题，让学生在自主探索，合作交流中提高分析和解决问题的能力，进一步梳理所学知识，培养学生的数学能力。）【方法指导】：由（1）可知a 0； 由（2）知二次函数图像的对称轴是直线x=2，故可设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+k，如当a=-1,k=4时，二次函数的表达式为y=-(x-2)2+4= -x2+4x 3、如图所示一抛物线经过一次函数y=2x+2与x轴的交点A，与y轴的交点B，且与x轴交于另一点C（2，0），求二次函数解析式.（设计意图：此题是二次函数与一次函数的一个综合，难度上稍有加大。同时此的第二种解法也是为了为学生了解二次函数的第三种表达形式交点式，作一个引入，这种表达式可作为课外拓展知识让学生了解一下。）解：把y=0代入y=2x+2 得x=2，即A（-1，0），把x=0代入y=2x+2 得y=2，即B（0，2）， 设该二次函数的表达式为y=ax+bx+c将A（- 1,0），B（0，2）， C（2,0） 分别代入得：所以二次函数解析式为y=-x2+x+2 师：除了上述方法外，你还能用其他的方法来求解吗？课外拓展：二次函数的第3种表达式 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a 0),其中（x1 ,0）（ x2 ，0）是二次函数图象与x轴的两个交点。 师：当已知抛物线与x轴的两个交点或交点的横坐标时，通常设所表示的二次函数的表达式为交点式，再利用第三个条件求解。上题还可用如下方法求解。解：把y=0代入y=2x+2 得x=2，即A（-1，0） 把x=0代入y=2x+2 得y=2，即B（0，2）， A（-1，0），C（2，0）在x轴上， 可设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-2). 代入B（0，2）得：2=a(0+1)(0-2), 解得：a=-1, 二次函数解析式为y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2 师：你认为哪种方法更简便呢？生：相对比设交点式更简便一些。五、课堂小结：(设计意图：培养学生反思自己学习过程的意识和归纳意识，对本课进行简单小结，让学生更进一步地理解如何利用二次函数的不同形式解决不同的问题，有利于学生掌握、运用知识。)这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 求二次函数解析式的三种表达式的形式. 1、已知三点坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c. 2、已知顶点坐标，设二次函