高考数学一轮复习 第五章 数列 第2讲 等差数列配套课件 理.ppt

第2讲等差数列 1 等差数列的定义如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等 差数列的公差 通常用字母 表示 d 2 等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是an a1 n 1 d 3 等差中项 如果a a b2 那么a叫做a与b的等差中项 4 等差数列的前n项和公式 5 等差数列的前n项和公式与函数的关系 数列 an 是等差数列 sn an2 bn a b为常数 6 等差数列的常用性质 1 若数列 an 是等差数列 则数列 an p pan p是常数 都是等差数列 2 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 特别地 若m n 2p m n p n 则am an 2ap 4 若等差数列 an 的前n项和为sn 则sk s2k sk s3k s2k s4k s3k是等差数列 5 等差数列的单调性 若公差d 0 则数列单调递增 若公差d0 d0 则sn存在最 值 小 b 1 2015年重庆 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6 a 1b 0c 1d 6解析 由等差数列的性质 得a6 2a4 a2 2 2 4 0 故选b 27 b 3 在等差数列 an 中 a1 2 a3 a5 10 则a7 a 5b 8c 10d 14解析 方法一 a1 2 a3 a5 2a1 6d 4 6d 10 d 1 则a7 a1 6d 8 方法二 a1 2 a3 a5 10 a1 a7 a7 8 b 4 在等差数列 an 中 a3 a9 27 a6 sn表示数列 an 的前n项和 则s11 a 18b 99c 198d 297解析 因为a3 a9 27 a6 2a6 a3 a9 所以3a6 27 考点1 等差数列的基本运算 例1 1 2017年新课标 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 a 1b 2c 4d 8解析 方法一 设公差为d a4 a5 a1 3d a1 4d 2a1 7d 24 答案 c 2 2016年新课标 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100 b 99 c 98 d 97 1 d 1 a100 a1 99d 1 99 98 故选c 答案 c 3 2015年新课标 已知 an 是公差为1的等差数列 sn为 an 的前n项和 若s8 4s4 则a10 答案 b 答案 c 4 2013年新课标 设等差数列 an 的前n项和为sn sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m a 3b 4c 5d 6解析 因为sm sm 1 am 2 sm 1 sm am 1 3 所以am 1 am d 1 规律方法 在解决等差数列问题时 已知a1 an d n sn中的任意三个 可求其余两个 称为 知三求二 而求得a1和d是解决等差数列 an 所有运算的基本思想和方法 考点2 等差数列的基本性质及应用 例2 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 且s5 10 s10 30 则s15 a 60b 70c 90d 40解析 因为数列 an 为等差数列 所以s5 s10 s5 s15 s10也成等差数列 设s15 x 则10 20 x 30成等差数列 所以2 20 10 x 30 所以x 60 即s15 60 答案 a 2 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 a 13 b 12 c 11 d 10 答案 a 解析 a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又a1 an a2 an 1 a3 an 2 3 a1 an 180 a1 an 60 a 7 b 14 c 24 d 48 答案 b 3 2017年广东调研 已知sn是等差数列 an 的前n项和 若4s6 3s8 96 则s7 4 可以把an与sn结合起来 给计算带来很大便利 是解决等差数列的有效方法 巧用性质 减少运算量 在等差数列 等比数列的计算中非常重要 但也要用好 基本量法 运用方程的思想 知三求二 规律方法 1 利用等差数列 an 的性质 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 2 等差数列 an 的前n项和为sn 则sk s2k sk s3k s2k s4k s3k是等差数列 互动探究 a 4c 5 b 4d 5 1 2017年广东深圳第二次调研 在等差数列 an 中 若前10项的和s10 60 且a7 7 则a4 答案 c 考点3 等差数列前n项和的最值问题 例3 1 2013年新课标 等差数列 an 的前n项和为sn 已知s10 0 s15 25 则nsn的最小值为 解析 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 由等差数列前n项和公式可得 答案 49 2 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 解析 由等差数列的性质 a7 a8 a9 3a8 a8 0 a7 a10 0 a8 a9 0 a9 0 公差d 0 故数列 an 的前8项和最大 答案 8 互动探究 2 在等差数列 an 中 a1 7 公差为d 前n项和为sn 当且仅当n 8时 sn取最大值 则d的取值范围为 思想与方法 利用函数的思想求等差数列的最值 例题 在等差数列 an 中 若a1 25 s17 s9 则sn的最大值为 思维点拨 利用等差数列前n项和公式和二次函数的性质求解 解析 设公差为d 方法一 由s17 s9 得 图5 2 1 方法三 由s17 s9 得a10 a11 a17 0 而a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 故a13 a14 0 d 20 a13 0 a14 0 故当n 13时 sn有最大值169 方法四 由d 2 得sn的图象如图5 2 1 图象上一些孤立点 由s17 s9 知图象的对称轴为n 9 172 13 故当n 13时 sn取得最大值169 答案 169 规律方法 求等差数列前n项和的最值常用的方法 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 利用等差数列的性质求出其正负转折项 便可求得和的最值 将等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数 看作二次函数 根据二次函数的性质或图象求最值 互动探究 3 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出s1 s2 s12中哪一个值最大 并说明理由 解 1 依题意有 2 方法一 由d 0 可知a1 a2 a3 a12 a13 因此 若在1 n 12中 存在自然数n 使得an 0 an 1 0 则sn就是s1 s2 s12中的最大值 由于s12 6 a6 a7 0 s13