【名师导学】高中数学 第二章 数列（含解析）苏教版必修5.doc

第1课时数列(1) 教学过程一、 问题情境如图1,某剧场有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位,那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28,.(图1)某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为1,2,4,8,16,.从1984年到2004年,我国共参加了6次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32.这些问题有什么共同的特点?二、 数学建构1. 数列定义:像这样按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项.问题1你能举出学习与生活中相关的例子吗?1师生共同点评,找几个有代表性的例子进行分析.例如: 学生的学号由小到大为:1,2,3,4,5,50. “一尺之棰,日取其半,万世不竭”,依次写出每次得到的数:1,. 堆放的钢管如图2所示,各层的钢管数从下至上为:9,8,7,6,5,4.(图2) 某人2011年112月份的工资依次为:2500,2500,2500. (-1)n,n=1,2,3,取到的值为:-1,1,-1,1,.2问题2下列说法是否正确?为什么?(1) 数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列;(2) 数列1,2,3与数列1,2,3,是同一数列;(3) 数列a,b,c与数列c,b,a一定不是同一数列.(都不对,对于(2),前一个数列只有3项,后一个数列不止3项;对于(3),可举反例,如:a=b=c=1)问题3观察所举例子,请你分析各数列项的个数.32. 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.问题4数的所有不足近似值按从小到大依次排列得到一个数列,你能写出它的前7项吗?原数列是有穷数列还是无穷数列?(前7项分别为3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.141592.原数列是无穷数列)数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,简记为,其中a1称为数列的第1项(或称为首项),a2称为第2项,an称为第n项.探讨活动:体会数列与函数概念的联系.教师将序号写在举例数列相应项的上面,引导学生说出上下两行分别是两组变量,并体会项与序号的关系.(让学生自主思考或交流讨论,通过联想函数变量之间的关系,进而认识数列是函数.然后师生共同找出数列的定义域)数列可以看成以正整数集n*(或它的有限子集1,2,3,4,k)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数列:f(1),f(2),f(3),f(n),.三、 数学运用【例1】(根据教材p32例1改编)已知数列的第n项an为2n-1,写出这个数列的首项、第2项、第3项、第n-1项和an+1.(见学生用书课堂本p17)处理意见教师可以提出以下问题: 数列的第n项an为2n-1,这里的n可以是哪些数?如何求第1项?(答案:n可以是1,2,3,等任意的正整数.只需用1代换2n-1中的n就可以求出第1项) 如何求数列中的第n-1项?(答案:与求第1项的方法相同,只需用n-1代换2n-1中的n即可) (本问可在学生解完例1后再提问,本问的目的是引出数列与函数的关系)求第1项即用1代换2n-1中的n,求第2项即用2代换2n-1中的n,求第n+1项即用n+1代换2n-1中的n,这种方法你在哪个知识里曾遇到过?(答案:在函数中遇到过,如已知函数解析式f(x),求f(1),f(2),f(x+1)规范板书解首项为a1=21-1=1;第2项为a2=22-1=3;第3项为a3=23-1=5;第n-1项为an-1=2(n-1)-1=2n-3;an+1即数列的第n+1项,an+1=2(n+1)-1=2n+1.题后反思 如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 数列的通项公式反映了第n项与序号n之间的关系.变式已知数列的通项公式为an=,那么5是否为该数列中的项?如果是,是第几项?规范板书解令=5,解得n=7,所以5是该数列中的第7项.【例2】某家庭记录了2011年内每月的用电量如下:月份123456789101112用电量(kwh)1101209080628010311584658195将用电量按月份排列得到一个12项的数列,试写出该数列的最大项、最小项、首项、末项;并以月份作为横坐标,用电量作为纵坐标,在平面直角坐标系中标出该家庭这一年中每月用电量的大致情况.(见学生用书课堂本p18)处理意见由学生自主思考或交流讨论.规范板书解每一个月的用电量依次记为a1,a2,a12,最大项为a2=120,最小项为a5=62,首项为a1=110,末项为a12=95.它们的图象如图所示.(例2)题后反思(1) 数列可以用通项公式、列表或图象表示.(2) 数列的图象是一个个孤立的点.【例3】写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:(1) -3,0,3,6,9;(2) 3,5,9,17,33;(3) ,;(4) -1,1,-1,1.(见学生用书课堂本p18)处理意见由学生先自主思考并交流讨论,教师进行适当引导.观察各项与序号之间的关系:(1) 后一项均等于前一项加3,那么第n项就是第一项加n-1个3.(2) 每一项减1为2的幂.(3) 各项是分式,且分子是2的幂,分母加1是偶数的平方.(4) 各项是-1的幂;奇数项为-1,偶数项为1.(其中第(4)小题答案较多,可让学生分组讨论交流)规范板书解(1) an=3n-6;(2) an=2n+1;(3) an=;(4) an=(-1)n或an=cosn或an=题后反思(1) 同一数列的通项公式可以不同;(2) 数列是个特殊的函数,它的通项公式也可以和分段函数一样表示成分段的形式;(3) 有一类数列叫周期数列(说明:对于周期数列不用下严格定义,只要让学生了解即可).思考数列都有通项公式吗?(答案:不是,如例2中的数列没有通项公式)变式(教材p33例3)写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1) ,-,-;(2) 0,2,0,2.规范板书解(1) an=.(2) an=1+(-1)n或an=1+cosn或an=*【例4】已知数列的通项公式an=.(1) 写出该数列的前5项;(2) 判断并证明该数列的单调性.处理意见第(1)题及第(2)题中判断该数列的单调性比较简单,可由学生自己作答.第(2)题中证明该数列的单调性可先让学生回忆函数单调性的定义及数列与函数的关系,再引导学生得出数列单调性的定义.规范板书解(1) 前5项分别是1,.(2) 数列是单调递减数列.因为an+1-an=-=0,所以an+1an,所以数列是单调递减数列.题后反思对于数列来说: 若anan+1,则称数列an是单调递减数列.变式已知数列的通项公式为an=n2-5n+4.(1) 该数列中有多少项是负数?(2) n为何值时,an有最小值?并求出最小值.处理意见第(1)题让学生自主思考或交流讨论;第(2)题要引导学生注意数列是个特殊的函数,那么函数如何求最值呢?规范板书解(1) 由an=n2-5n+40,解得1n0,得n3,所以a1a2=a3,a2=a3a4a50时,数列是单调递增数列;当d0,公差d0,则当满足时,前n项和sn最大. 思考:在等差数列中,若首项a10,那么满足什么条件时前n项和sn最小?答案:变式设等差数列an的前n项和为sn,已知a3=12,s120,s130.(1) 求公差d的取值范围;(2) s1,s2,s12中哪一个值最大?并说明理由.处理建议让学生先讨论,模仿上面问题的处理方法来解决问题,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.规范板书解(1) 解得因为a3=a1+2d=12,代入上式得所以-d-3.(2) 因为s13=13a70,所以a70,所以a6+a70,所以a60.所以数列an是单调递减数列,所以s6最大.*【例3】一个“v”型铅笔架(如图)的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支,这个v形架上共放着多少支铅笔?5(例3)处理建议让学生先讨论,主要是引导学生能够建立等差数列模型.规范板书解由题意可知,这个v形架上共放着120层铅笔,且自下而上各层的铅笔数成等差数列,记为,其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和公式,得=7260.答:v形架上共放着7260支铅笔.题后反思通过本例让学生体会到生活中的数学无处不在,也让他们体会到用数学的乐趣.四、 课堂练习 1. 若等差数列满足a1+a2+a3+a101=0,则(c)a. a1+a1010b. a1+a1010c. a1+a101=0d. a51=51提示因为a1+a2+a3+a101=0,所以a1+a101=0. 2. 设sn是等差数列an的前n项和,若=,则=1.提示=1. 3. 在等差数列中,若sn=3n2+2n,则公差d=6.提示因为等差数列的前n项和公式可整理成sn=n2+n,所以解得d=6. 4. 求集合m=m|m=7n,nn*且m100中元素的个数,并求出这些元素的和.解由7n100,得n0, q1或a10, 0q0, 0q1或a11时,等比数列是单调递减数列;当q=1时,等比数列是常数数列;当q0时,等比数列是摆动数列.(三) 巩固概念问题5上面问题情境中的几个数列的公比分别是多少?问题6常数数列一定是等比数列吗?(不一定,