高考数学一轮复习 第三章 三角函数与解三角形 第8讲 解三角形应用举例配套课件 理.ppt

第8讲解三角形应用举例 1 解三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个 除三个角外 才能求解 常见类型及其解法如下表所示 续表 2 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航 海问题等 3 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上方的角叫做仰角 目标视线在水平视线下方的角叫做俯角 如图3 8 1 1 图3 8 1 2 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如点b的 方位角为 如图3 8 1 2 4 坡角 坡面与水平面所成的二面角的度数 1 若点a在点b的北偏西30 则点b在点a的 a 北偏西30 c 南偏东30 b 北偏西60 d 东偏南30 c 解析 如图d21 点b在点a的南偏东30 图d21 2 江岸边有一炮台高30m 江中有两条船 由炮台顶部测得俯角分别为45 和30 且两条船与炮台底部连线成30 角 则两条船相距 解析 如图d22 过炮台顶点a作水平面的垂线 垂足为b 设a处测得船c d的俯角分别为45 30 连接bc bd 在rt abc中 acb 45 则ab bc 30m 在rt abd 图d22答案 d 3 如图3 8 2 某河段的两岸可视为平行 在河段的一岸边选取两点a b 观察对岸的点c 测得 cab 75 cba 45 且ab 200m 则a c两点的距离为 图3 8 2 a 4 一船向正北航行 看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西60 另一灯塔在船的南偏西75 则这艘船的速 度是 a 5海里 时 解析 如图d23 依题意有 bac 60 bad 75 故 cad cda 15 从而cd ca 10 在rt abc中 时 图d23 答案 c 考点 测量问题 考向1 测量距离问题 例1 2016年广东广州模拟 如图3 8 3 某测量人员为了测量长江北岸不能到达的两点a b之间的距离 在长江南岸找到一个点c 从点c可以观察到点a b 找到一个点d 从点d可以观察到点a c 找到一个点e 从点e可以观察到点b c 测量得到数据 acd 90 adc 60 acb 15 bce 105 ceb 45 dc ce 1m 1 求 cde的面积 2 求a b之间的距离 图3 8 3 解 1 在 cde中 dce 360 90 15 105 因为cos15 cos 60 45 cos60 cos45 sin60 sin45 连接ab 在 abc中 由余弦定理ab2 ac2 bc2 2ac bccos acb 规律方法 1 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在 有关的三角形中 建立一个解三角形的模型 2 利用正弦 余弦定理解出所需要的边和角 求得该数学 模型的解 互动探究 1 2014年四川 如图3 8 4 从气球a上测得正前方的河流的两岸b c的俯角分别为75 30 此时气球的高是60m 则河流的宽度bc 图3 8 4 答案 c 2 2017年四川成都外国语学校统测 如图3 8 5 a b两点都在河的对岸 不可到达 为了测量a b两点间的距离 选取一条基线cd a b c d在同一平面内 测得cd 200m adb acb 30 cbd 60 则ab d 数据不够 无法计算 图3 8 5 解析 如题图 adb acb 30 cbd 60 ac bd 设ac bd o 则 aod boc 设oa xm 答案 a 考向2 测量高度问题 例2 1 2015年湖北 如图3 8 6 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达b处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度cd m 图3 8 6 2 2014年新课标 如图3 8 7 为测量山高mn 选择点a和另一座山的山顶c为测量观测点 从点a测得点m的仰角为 man 60 点c的仰角为 cab 45 以及 mac 75 从点c测得 mca 60 已知山高bc 100m 则山 高mn m 图3 8 7 答案 150 规律方法 1 测量高度时 要准确理解仰角 俯角的 概念 2 分清已知量和待求量 分析 画出 示意图 明确在哪个 三角形内运用正弦或余弦定理 互动探究 3 在200m高的山顶上 测得山下一塔顶和塔底的俯角分 别是30 60 则塔高为 m 解析 如图d24 由已知可得 bac 30 cad 30 图d24 bca 60 acd 30 adc 120 在 acd中 由余弦定理 得ac2 2cd2 2cd2 cos120 3cd2 答案 4003 考向3 测量角度问题 例3 如图3 8 8 在一个坡度一定的山坡ac的山顶上有一高度为25m的建筑物cd 为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 在山坡的a处测得 dac 15 沿山坡前进50m到达b处 又测得 dbc 45 根据以上数据计算可得cos 图3 8 8 规律方法 关于角度的问题同样需要在三角形中进行 同时要理解实际问题中常用角的概念 仰角和俯角 方向角 方位角 坡角等 互动探究 b 4 两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等 灯塔a在观察站北偏东40 灯塔b在观察站南偏东60 则灯塔a在 灯塔b的 a 北偏东10 c 南偏东10 b 北偏西10 d 南偏西10 难点突破 三角函数在解三角形中的应用 例题 2014年新课标 四边形abcd的内角a与c互补 ab 1 bc 3 cd da 2 1 求角c和bd 2 求四边形abcd的面积 解 1 由题设及余弦定理 得 bd2 bc2 cd2 2bc cdcosc 13 12cosc bd2 ab2 da2 2ab dacosa 5 4cosc 互动探究 5 已知圆内接四边形abcd的边长分别为ab 2 bc 6 cd da 4 求四边形abcd的面积 解 如图d2