【全程复习方略】高中数学 单元质量评估（一）新人教A版选修23.doc

单元质量评估 (一)第一章一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014石家庄高二检测)已知1,2z1,2,3,4,5,满足这个关系式的集合z共有()a.2个b.6个c.4个d.8个【解析】选d.由题意知集合z中必含有元素1,2,另外,从3,4,5中可以不取,取1个,取2个,取3个,故共有c30+c31+c32+c33=8(个).2.(2014滁州高二检测)一次考试中,要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题,要求至少包含前5个题目中的3个,则考生答题的不同选法的种数是()a.40b.74c.84d.200【解析】选b.分三类:第一类,前5个题目的3个,后4个题目的3个,第二类,前5个题目的4个,后4个题目的2个,第三类,前5个题目的5个,后4个题目的1个,由分类加法计数原理得c53c43+c54c42+c55c41=74(种).3.用4种不同的颜色涂图中的矩形a,b,c,d,若要求有公共边界的矩形涂色不同,则不同涂法有()abcda.72种b.48种c.24种d.108种【解析】选d.涂a共4种涂法,则b有3种涂法,c有3种涂法,d有3种涂法.所以共有4333=108种涂法.4.(2014邢台高二检测)(1+3x)n(其中nn且n6)的展开式中x5与x6的系数相等,则n=()a.6b.7c.8d.9【解析】选b.注意到二项式(1+3x)n的展开式的通项是tr+1=cnr1n-r(3x)r=cnr3rxr,于是依题意有cn535=cn636,即n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)5!=3n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)6!(n6),解得n=7.5.(2014昆明高二检测)五本不同的书在书架上排成一排,其中甲、乙两本必须连排,而丙、丁两本不能连排,则不同的排法共有()a.12种b.20种c.24种d.48种【解析】选c.甲、乙看作一本,除去丙、丁后排列,再将丙、丁插入,共有a22a32a22=2322=24种.6.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn(nn*),若a0+a1+an=30,则n等于()a.5b.3c.4d.7【解析】选c.令x=1得a0+a1+an=2+22+2n=30得n=4.7.(2014武汉高二检测)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有()a.12种b.18种c.24种d.48种【解析】选c.甲、乙两机必须相邻着舰,则将甲、乙“捆绑”视作一整体,有2种着舰方法:丙、丁不能相邻着舰,则将剩余3机先排列,再丙、丁进行“插空”;由于甲、乙“捆绑”视作一整体,剩余3机实际排列方法共22=4种.有三个“空”供丙、丁选择,即32=6种.由分步乘法计数原理,共有46=24种着舰方法.8.(2014吉安高二检测)在(1+x)n的展开式中,奇数项之和为p,偶数项之和为q,则(1-x2)n等于()a.0b.pqc.p2-q2d.p2+q2【解析】选c.由于(1+x)n与(1-x)n展开式中奇数项相同,偶数项互为相反数,因此(1-x)n=p-q,所以(1-x2)n=(1-x)n(1+x)n=(p+q)(p-q)=p2-q2.9.设f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1,则f(x)等于()a.(2x+2)5b.2x5c.(2x-1)5d.(2x)5【解析】选d.f(x)=c50(2x+1)5(-1)0+c51(2x+1)4(-1)1+c52(2x+1)3(-1)2+c53(2x+1)2(-1)3+c54(2x+1)1(-1)4+c55(2x+1)0(-1)5=(2x+1)-15=(2x)5.10.(2014成都高二检测)若xa,则1xa,就称a是伙伴关系集合,集合m=-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为()a.15b.16c.28d.25【解题指南】1自成一组,-1也自成一组,13与3成一组,12与2成一组.【解析】选a.具有伙伴关系的元素组有-1;1;12,2;13,3共四组,它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合,个数为c41+c42+c43+c44=15.11.在图中,“构建和谐社会,创美好未来”,从上往下读(不能跳读),共有不同的读法种数是()a.250b.240c.252d.300【解析】选c.解本题相当于在图中先在始点标上1,再在上半部两腰的各点旁标上1,然后从上到下依次逐点累加,图中间每一点处的数等于它肩上两数的和,一直计算到下面最后一点.由此可见,共有252种不同读法.【一题多解】考虑到杨辉三角,第n行第k个数为cnk-1,252是第10行第6个数,所以应为c105=252种.12.(2014大理高二检测)若2x-1xn展开式中含1x2项的系数与含1x4项的系数之比为-5,则n等于()a.4b.6c.8d.10【解析】选b.展开式通项为tr+1=cnr(2x)n-r-1xr=(-1)r2n-rcnrxn-2r.选项a中若n=4,则tr+1=(-1)r24-rc4rx4-2r,当4-2r=-2时,r=3,当4-2r=-4时,r=4,则t4=(-1)324-3c43x-2=-8x-2,t5=(-1)420c44x-4=x-4,此时系数比不是-5.选项b中若n=6,则tr+1=(-1)r26-rc6rx6-2r,当6-2r=-2时,r=4,当6-2r=-4时,r=5,则t5=(-1)422c64x-2=60x-2,t6=(-1)521c65x-4=-12x-4,此时系数比为-5,所以b正确,同理可以验证c,d选项不正确.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中的横线上)13.(2014赣州高二检测)设二项式x-ax6(a0)的展开式中x3的系数为a,常数项为b,若b=4a,则a的值是.【解析】x-ax6展开式的通项为tr+1=c6rx6-r-axr=(-a)rc6rx6-3r2,当r=2时,x3的系数a=(-a)2c62=15a2,当r=4时,常数项b=(-a)4c64=15a4,因为b=4a,得15a4=415a2,所以a0,得a=2.答案:214.(2014焦作高二检测)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有对.【解析】由六棱锥图形分析可知,一条侧棱所在直线与底面上不和该直线相交的四条棱所在的四条直线中的一条才能构成异面直线,故完成这件事分两步:第一步从六条侧棱中任取一条,有六种方法;第二步从底面上不与此侧棱相交的四条棱中任取一条,有四种方法.根据分步乘法计数原理,有64=24(对).答案:24【变式训练】直线l1l2,l1上有4个点,l2上有6个点,以这些点为端点连成线段,他们在l1与l2之间最多的交点个数是()a.24b.45c.80d.90【解析】选d.因为在直线l1和l2上分别取2个点构成四边形的个数为c42c62=90,又因为每一个四边形的对角线有1个交点,故交点的个数最多为90个.15.(2013安徽高考)若x+a3x8的展开式中x4的系数为7,则实数a=.【解析】因为通项公式为c8rx8-ra3xr=c8rarx8-43r,所以8-43r=4,则r=3,c83a3=7.所以a=12.答案:1216.(x+1)3+(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a8(x-1)8,则a6=.【解析】因为(x+1)3+(x-2)8=(x-1)+23+(x-1)-18所以a6(x-1)6=c82(x-1)6(-1)2=28(x-1)6,所以a6=28.答案:28三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2014广州高二检测)已知a=x|1log2x3,xn*,b=x|x-6|3,xn*,试问:从集合a和b中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标,共可得到多少个不同的点?【解题指南】注意a,b两集合中相同的元素在组合为点的坐标时无顺序之分.【解析】a=3,4,5,6,7,b=4,5,6,7,8.从a中取一个数作为横坐标,从b中取一个数作为纵坐标,有55=25(个),而8作为横坐标的情况有5种,3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种,故共有55+5+4=34个不同的点.18.(12分)(2014临沂高二检测)有6本不同的书,分给甲、乙、丙三个人.(1)如果每人得两本,有多少种不同的分法.(2)如果一个人得一本,一个人得2本,一个人得3本,有多少种不同的分法.(3)如果把这6本书分成三堆,每堆两本,有多少种不同分法.【解析】(1)假设甲先拿,则甲从6本不同的书中选取2本有c62=15种分法,不论甲取走的是哪两本书,乙再去取书时只能有c42=6种,此时剩下的两本书自然给丙,就只有c22=1种方法,由分步乘法计数原理得一共有c62c42c22=90种不同分法.(2)先假设甲得1本,乙得2本,丙得3本则有c61c52c33种分法,一共有c61c52c33a33=61016=360(种).(3)把6本书分成三堆,每堆2本,与次序无关.所以一共有c62c42c22a33=15(种)不同分法.19.(12分)求(x-3x)9的展开式中的有理项.【解题指南】要求展开式中的有理项,必须观察展开式通项公式中x的指数,当r取什么值时,能使x的指数为整数.【解析】tr+1=c9r(x)9-r(-3x)r=(-1)rc9rx27-r6.因为27除以6的余数为3,要使27-r6为整数,r必为3的奇数倍.因为0r9,所以需检验当r=3和9时27-r6的值.当r为3和9时,27-r6分别为4和3,所以展开式中的有理项为t4=(-1)3c93x4=-84x4,t10=(-1)9c99x3=-x3.【误区警示】在求使27-r6为整数的r值时,一方面要注意r的取值范围是0r9,另一方面还要尽可能观察、分析r需要满足的条件,以减少检验的次数,例如,若仅注意到r为3的倍数,则需检验r分别为0,3,6,9时,27-r6的4个值,然后再进行取舍.有时题中不是求出有理项,而是问第几项是有理项,这时应注意,求出的r表示第r+1项是有理项.20.(12分)(2014枣庄高二检测)某校高三年级有6个班级,现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛,且规定每班至少要选1人参加.这10个名额有多少不同的分配方法?【解析】除每班1个名额以外,其余4个名额也需要分配.这4个名额的分配方案可以分为以下几类:(1)4个名额全部给某一个班级,有c61种分法;(2)4个名额分给两个班级,每班2个,有c62种分法;(3)4个名额分给两个班级,其中一个班级1个,一个班级3个.由于分给一班1个,二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法,因此是排列问题,共有a62种分法;(4)分给三个班级,其中一个班级2个,其余两个班级每班1个,共有c61c52种分法;(5)分给四个班,每班1个,共有c64种分法.故共有n=c61+c62+a62+c61c52+c64=126(种)分配方法.【一题多解】该问题也可以从另外一个角度去考虑:因为是名额分配问题,名额之间无区别,所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球,要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球).这样,每一种分隔办法,对应着一种名额的分配方法.这10个球之间(不含两端)共有9个空位,现在要在这9个位子中放进5块隔板,共有n=c95=126(种)放法.21.(12分)设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,nn*),若其展开式中关于x的一次项系数的和为11,试问m,n为何值时,含x3的系数最小?这个最小值是多少?【解析】据题意可得cm1+cn1=11,所以m+n=11,含x3的系数为cm3+cn3=m(m-1)(m-2)6+n(n-1)(n-2)6=m3-3m2+2m+n3-3n2+2n6=(11-n)3-3(11-n)2+2(11-n)+n3-3n2+2n6=27n2-297n+9906=92n-1122+2318.所以当m=5,n=6或m=6,n=5时,x3的系数最小为30.22.(14分)设数列an是等比数列,a1=c2m+33mam-21,公比q是x+14x24的展开式中的第二项.(1)用n,x表示通项an与前n项和sn.(2)若an=cn1s1+cn2s2+cnnsn,用n,x表示an.【解析】(1)因为a1=c2m+33mam-21,所以2m+33m,m-21,即m3,m3.所以m=3.所以a1=1.又由x+14x24知t2=c41x4-114x2=x,所以an=xn-1,sn=n,x=1,1-xn1-x,x1.(2)当x=1时,sn=n,an=cn1+2cn2+3cn3+ncn