五年高考荟萃 第六章 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和(09年9月最新更新).doc

第六章第六章 数列数列 第一节第一节 等差数列 等比数列的概念及求和等差数列 等比数列的概念及求和 第一部分第一部分 五年高考体题荟萃五年高考体题荟萃 2009 年高考题年高考题 一 选择题 1 2009 年广东卷文 已知等比数列 n a的公比为正数 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 则 1 a A 2 1 B 2 2 C 2 D 2 答案 B 解析 设公比为q 由已知得 2 284 111 2a qa qa q 即 2 2q 又因为等比数列 n a的 公比为正数 所以2q 故 2 1 12 22 a a q 选 B 2 2009 安徽卷文 已知为等差数列 则等 于 A 1 B 1 C 3 D 7 解析 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 204 1aad 选 B 答案 B 3 2009 江西卷文 公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S 若 4 a是 37 aa与的等比 中项 8 32S 则 10 S等于 A 18 B 24 C 60 D 90 答案 C 解析 由 2 437 aa a 得 2 111 3 2 6 adad ad 得 1 230ad 再由 81 56 832 2 Sad 得 1 278ad 则 1 2 3da 所以 101 90 1060 2 Sad 故选 C 4 2009 湖南卷文 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等 于 A 13 B 35 C 49 D 63 解析 1726 7 7 7 7 3 11 49 222 aaaa S 故选 C 或由 211 61 31 5112 aada aadd 7 1 6 213 a 所以 17 7 7 7 1 13 49 22 aa S 故选 C 5 2009 福建卷理 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 且 3 S 6 1 a 4 则公差 d 等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 答案 C 解析 313 3 6 2 Saa 且 311 2 4 d 2aad a 故选 C 6 2009 辽宁卷文 已知 n a为等差数列 且 7 a 2 4 a 1 3 a 0 则公差 d A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 解析 a7 2a4 a3 4d 2 a3 d 2d 1 d 1 2 答案 B 7 2009 四川卷文 等差数列 n a 的公差不为零 首项 1 a 1 2 a是 1 a和 5 a的等比中 项 则数列的前 10 项之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 答案答案 B B 解析解析 设公差为d 则 41 1 1 2 dd d 0 解得d 2 10 S 100 8 2009 宁夏海南卷文 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 已知 2 11 0 mmm aaa 21 38 m S 则m A 38 B 20 C 10 D 9 答案 C 解析 因为 n a是等差数列 所以 11 2 mmm aaa 由 2 11 0 mmm aaa 得 2 m a 2 m a 0 所以 m a 2 又 21 38 m S 即 2 12 121 m aam 38 即 2m 1 2 38 解得 m 10 故选 C 9 2009 重庆卷文 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 答案 A 解析 设数列 n a的公差为d 则根据题意得 22 22 25 dd 解得 1 2 d 或 0d 舍去 所以数列 n a的前n项和 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 二 填空题 10 2009 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 答案 24 解析 n a 是等差数列 由 9 72S 得 59 9 Sa 5 8a 2492945645 324aaaaaaaaaa 11 2009 浙江理 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a 答案 15 解析 对于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq 12 2009 北京文 若数列 n a满足 11 1 2 nn aaa nN 则 5 a 前 8 项的和 8 S 用数字作答 答案 225 解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题 属于基础知识 基本运 算的考查 121324354 1 22 24 28 216aaaaaaaaa 易知 8 8 21 255 2 1 S 应填 255 13 2009 全国卷 文 设等比数列 n a 的前 n 项和为 n s 若 361 4 1ssa 则 4 a 答案 3 3 解析 本题考查等比数列的性质及求和运算 由由 361 4 1ssa 得 q3 3 故 a4 a1q3 3 14 2009 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 53 5aa 则 9 5 S S 解解析 n a 为等差数列 95 53 9 9 5 Sa Sa 答案 9 15 2009 辽宁卷理 等差数列 n a的前n项和为 n S 且 53 655 SS 则 4 a 解析 Sn na1 1 2 n n 1 d S5 5a1 10d S3 3a1 3d 6S5 5S3 30a1 60d 15a1 15d 15a1 45d 15 a1 3d 15a4 答案 3 1 三 解答题 16 2009 浙江文 设 n S为数列 n a的前n项和 2 n Sknn nN 其中k是常 数 I 求 1 a及 n a II 若对于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比数列 求k的值 解 当1 1 11 kSan 12 1 1 2 22 1 kknnnknknSSan nnn 经验 1 n 式成立 12 kknan mmm aaa 42 成等比数列 mmm aaa 4 2 2 即 18 12 14 2 kkmkkmkkm 整理得 0 1 kmk 对任意的 Nm成立 10 kk或 17 2009 北京文 设数列 n a的通项公式为 0 n apnq nNP 数列 n b定义 如下 对于正整数m m b是使得不等式 n am 成立的所有n中的最小值 若 11 23 pq 求 3 b 若2 1pq 求数列 m b的前 2m项和公式 是否存在p和q 使得32 m bmmN 如果存在 求p和q的取值范围 如 果不存在 请说明理由 解析解析 本题主要考查数列的概念 数列的基本性质 考查运算能力 推理论证能力 分类讨论等数学思想方法 本题是数列与不等式综合的较难层次题 解 由题意 得 11 23 n an 解 11 3 23 n 得 20 3 n 11 3 23 n 成立的所有n中的最小整数为 7 即 3 7b 由题意 得21 n an 对于正整数 由 n am 得 1 2 m n 根据 m b的定义可知 当21mk 时 m bk kN 当2mk 时 1 m bkkN 1221321242mmm bbbbbbbbb 1232341mm 2 13 2 22 m mm m mm 假设存在p和q满足条件 由不等式pnqm 及0p 得 mq n p 32 m bmmN 根据 m b的定义可知 对于任意的正整数m 都有 3132 mq mm p 即 231pqpmpq 对任意的正整数m都成立 当310p 或310p 时 得 31 pq m p 或 2 31 pq m p 这与上述结论矛盾 当310p 即 1 3 p 时 得 21 0 33 qq 解得 21 33 q 存在p和q 使得32 m bmmN p和q的取值范围分别是 1 3 p 21 33 q 18 2009 山东卷文 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像上 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 1 4 n n n bnN a 求数列 n b的前n项和 n T 解 因为对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的 图像上 所以得 n n Sbr 当1n 时 11 aSbr 当2n 时 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因为 n a 为等比数列 所以1r 公比为b 所以 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 11 111 44 22 n nn n nnn b a 则 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T 相减 得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 1 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 命题立意 本题主要考查了等比数列的定义 通项公式 以及已知 n S求 n a的基本题型 并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和 n T 19 2009 全国卷 文 已知等差数列 n a 中 0 16 6473 aaaa求 n a 前 n 项 和 n s 解析 本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力 利用方程的思想可求解 解析 本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力 利用方程的思想可求解 解 设 n a的公差为d 则 11 11 2616 350 adad adad 即 22 11 1 81216 4 adad ad 解得 11 8 8 2 2 aa dd 或 因此 819819 nn Snn nn nSnn nn n 或 20 2009 安徽卷文 已知数列 的前 n 项和 数列 的前 n 项和 求数列 与 的通项公式 设 证明 当且仅当 n 3 时 思路 由 1 1 1 2 nn an a ssn 可求出 nn ab和 和 这是数列中求通项的常用方法之一 在 求出 nn ab和 和后 进而得到 n c 接下来用作差法来比较大小 这也是一常用方法 解析 1 由于 11 4as 当2n 时 22 1 22 2 1 2 1 4 nnn assnnnnn 4 m an nN 又当xn 时 11 26 2 nnnmm bTTb 1 2 nn bb 数列 n b项与等比数列 其首项为 1 公比为 1 2 1 1 2 n n b 2 由 1 知 221 11 1 16 2 n n Cabn 2 1 1 2 1 2 21 1 16 1 1 2 1 2 16 2 n n n n n Cn Cn n 由 2 1 1 11 2 n n Cn Cn 得即 2 21012nnn 即3n 又3n 时 2 1 2 1 2 n n 成立 即 1 1 n n C C 由于0 n C 恒成立 因此 当且仅当3n 时 1nn CC 21 2009 江西卷文 数列 n a的通项 222 cossin 33 n nn an 其前n项和为 n S 1 求 n S 2 3 4 n n n S b n 求数列 n b 的前 n 项和 n T 解 1 由于 22 2 cossincos 333 nnn 故 312345632313 222222 222 1245 32 31 3 6 3 222 kkkk Saaaaaaaaa kk k 1331185 94 2222 kkk 3133 49 2 kkk kk SSa 2 323131 49 31 1321 22236 kkk kkkk SSak 故 1 32 36 1 1 3 31 6 34 3 6 n n nk nn Snk nn nk kN 2 3 94 42 4 n n nn Sn b n 2 1 132294 2 444 n n n T 1 12294 4 13 244 n n n T 两式相减得 12321 99 1999419419 44 3 13 13 8 1 24442422 1 4 n n nnnnn nnn T 故 2321 813 33 22 n nn n T 22 2009 天津卷文 已知等差数列 n a的公差 d 不为 0 设 1 21 n nn qaqaaS 11 21 0 1 NnqqaqaaT n n n n 若15 1 1 31 Saq 求数列 n a的通项公式 若 3211 SSSda且 成等比数列 求 q 的值 若 2 2 22 1 1 2 1 1 1Nn q qdq TqSqq n nn 证明 1 解 由题设 15 1 1 2 31 2 1113 SaqqdaqdaaS将 代入解得4 d 所以34 nan Nn 2 解 当 321 2 3211 32 2 SSSdqdqdSdqdSdSda 成等比数列 所以 31 2 2 SSS 即 322 22 dqdqdddqd 注意到0 d 整理得2 q 3 证明 由题设 可得 1 n n qb 则 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaS 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaT 得 2 12 2 3 4222 n nnn qaqaqaTS 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTS 式两边同乘以 q 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTSq 所以 2 2 123 22 1 1 2 2 1 1 q qdq qqqdTqSq n n nn 3 证明 nlklklk baabaabaacc nn 2121 2 12 11 1 1122111 n nn qdblkqdblkdblk 因为0 0 1 bd 所以 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 若 nn lk 取 i n 若 nn lk 取 i 满足 ii lk 且 jj lk nji 1 由 1 2 及题设知 ni 1 且 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 当 ii lk 时 1 ii lk 由nq 1 2 1 1 iiqlk ii 即1 11 qlk 1 22 qqqlk 22 11 1 ii ii qqqlk 所以1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 21 i i ii q q q qqqqqqq db cc 因此0 21 cc 当 ii lk 时 同理可得 1 1 21 db cc 因此0 21 cc 综上 21 cc 考点定位 本小题主要考查了等差数列的通项公式 等比数列通项公式与前 n 项和等基 本知识 考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力 23 2009 全国卷 理 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 1 a 1 42 nn Sa I 设 1 2 nnn baa 证明数列 n b是等比数列 II 求数列 n a的通项公式 解 I 由 1 1 a 及 1 42 nn Sa 有 121 42 aaa 21121 325 23aabaa 由 1 42 nn Sa 则当2n 时 有 1 42 nn Sa 得 1111 44 22 2 nnnnnnn aaaaaaa 又 1 2 nnn baa 1 2 nn bb n b 是首项 1 3b 公比为 的等比数列 II 由 I 可得 1 1 23 2n nnn baa 1 1 3 224 nn nn aa 数列 2 n n a 是首项为 1 2 公差为 3 4 的等比数列 1331 1 22444 n n a nn 2 31 2n n an 评析 第 I 问思路明确 只需利用已知条件寻找 1nn bb 与的关系即可 第 II 问中由 I 易得 1 1 23 2n nn aa 这个递推式明显是一个构造新数列的模型 1 n nn apaqp q 为常数 主要的处理手段是两边除以 1n q 总体来说 09 年高考理科数学全国 I I 这两套试题都将数列题前置 主要考查构造新数列 全国 I I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法 一改往年的将数列结合不等式放缩 法问题作为押轴题的命题模式 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识 基本方法基 本技能 重视两纲的导向作用 也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心 24 2009 辽宁卷文 等比数列 n a 的前 n 项和为 n s 已知 1 S 3 S 2 S成等差数列 1 求 n a 的公比 q 2 求 1 a 3 a 3 求 n s 解 依题意有 2 2 111111 qaqaaqaaa 由于 0 1 a 故 02 2 qq 又0 q 从而 2 1 q 5 分 由已知可得3 2 1 2 11 aa 故4 1 a 从而 n n n 2 1 1 3 8 2 1 1 2 1 14 S 10 分 25 2009 陕西卷文 已知数列 n a满足 1 12 12 2 nn n aa aaanN 2 令 1nnn baa 证明 n b是等比数列 求 n a的通项公式 1 证 121 1 baa 当2n 时 1 111 11 222 nn nnnnnnn aa baaaaab 所以 n b是以 1 为首项 1 2 为公比的等比数列 2 解由 1 知 1 1 1 2 n nnn baa 当2n 时 121321 nnn aaaaaaaa 2 11 1 1 22 n 1 1 1 2 1 1 1 2 n 2 21 1 1 32 n 1 521 332 n 当1n 时 1 1 1 521 1 332 a 所以 1 521 332 n n anN 26 2009 湖北卷文 已知 an 是一个公差大于 0 的等差数列 且满足 a3a6 55 a2 a7 16 求数列 an 的通项公式 若数列 an 和数列 bn 满足等式 an 2 222 n 3 3 2 21 为正整数n bbbb n 求数 列 bn 的前 n 项和 Sn 解 1 解 设等差数列 n a的公差为 d 则依题设 d 0 由 a2 a7 16 得 1 2716ad 由 36 55 aa 得 11 2 5 55ad ad 由 得 1 2167ad 将其代入 得 163 163 220dd 即 2 2569220d 2 4 0 2 1 1 1 221 n ddd ann 1 又代入得a 2 令 121121 2 n nnnnn n b caccc accc 则有 两式相减得 1111 1 111 1 1 1 2 2 2 2 2222 2 1 2 2 nnnnn n nnn n n aacaaa ccnnbba n b n 由得 即当时 又当n 1时 于是 341 123 2222n nn Sbbbb 2341 22222n 4 1 22 2 21 426 26 2 1 n nn n S 即 27 2009 福建卷文 等比数列 n a中 已知 14 2 16aa I 求数列 n a的通项公式 若 35 a a分别为等差数列 n b的第 3 项和第 5 项 试求数列 n b的通项公式及前 n项和 n S 解 I 设 n a的公比为q 由已知得 3 162q 解得2q 由 I 得 2 8a 5 32a 则 3 8b 5 32b 设 n b的公差为d 则有 1 1 28 432 bd bd 解得 1 16 12 b d 从而16 12 1 1228 n bnn 所以数列 n b的前n项和 2 16 1228 622 2 n nn Snn 28 2009 重庆卷文 本小题满分 12 分 问 3 分 问 4 分 问 5 分 已知 1 1221 1 4 4 n nnnn n a aaaaa bnN a 求 123 b b b的值 设 1 nnnn cb bS 为数列 n c的前n项和 求证 17 n Sn 求证 2 2 11 64 17 nn n bb A 解 234 4 17 72aaa 所以 123 1772 4 417 bbb 由 21 4 nnn aaa 得 2 11 4 nn nn aa aa 即 1 1 4 n n b b 所以当2n 时 4 n b 于是 1121 17 4117 2 nnnn cb bcb bbn 所以 12 17 nn Scccn 当1n 时 结论 21 117 464 bb 成立 当2n 时 有 1 11 11 111 44 17 nn nnnn nnnn bb bbbb bbb b 1221 212 1111 2 171764 17 nn nn bbbbn A 所以 2121221nnnnnnnn bbbbbbbb 1 122 2 11 1 1111111 1717 1 4171717464 17 1 17 n n nnn n nN AA 2005 2008 年高考题年高考题 一 选择题 1 2008 天津 若等差数列 n a的前 5 项和 5 25S 且 2 3a 则 7 a A 12 B 13 C 14 D 15 答案 B 2 2008 陕西 已知 n a是等差数列 12 4aa 78 28aa 则该数列前 10 项和 10 S等于 A 64 B 100 C 110 D 120 答案 B 3 2008 广东 记等差数列 n a的前n项和为 n S 若 1 1 2 a 4 20S 则 6 S A 16 B 24 C 36 D 48 答案 D 4 2008 浙江 已知 n a是等比数列 4 1 2 52 aa 则 13221 nna aaaaa A 16 n 41 B 6 n 21 C 3 32 n 41 D 3 32 n 21 答案 C 5 2008 四川 已知等比数列 n a中 2 1a 则其前 3 项的和 3 S的取值范围是 A 1 B 01 C 3 D 13 答案 D 6 2008 福建 设 an 是公比为正数的等比数列 若n1 7 a5 16 则数列 an 前 7 项的 和为 A 63B 64C 127D 128 答案 C 7 2007 重庆 在等比数列 an 中 a2 8 a5 64 则公比 q 为 A 2 B 3 C 4 D 8 答案 A 8 2007 安徽 等差数列 n a的前n项和为 x S若 则 432 3 1Saa A 12 B 10 C 8 D 6 答案 B 9 2007 辽宁 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 3 9S 6 36S 则 789 aaa A 63 B 45 C 36 D 27 答案 B 10 2007 湖南 在等比数列 n a n N 中 若 1 1a 4 1 8 a 则该数列的前 10 项 和为 A 4 1 2 2 B 2 1 2 2 C 10 1 2 2 D 11 1 2 2 答案 B 11 2007 湖北 已知两个等差数列 n a和 n b的前n项和分别为An和 n B 且 745 3 n n An Bn 则使得 n n a b 为整数的正整数n的个数是 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 D 12 2007 宁夏 已知abcd和和和成等比数列 且曲线 2 23yxx 的顶点是 bc和 则 ad等于 A 3 B 2 C 1 D 2 答案 D 13 2007 四川 等差数列 an 中 a1 1 a3 a5 14 其前n项和Sn 100 则n A 9 B 10 C 11 D 12 答案 B 14 2006湖北 若互不相等的实数 成等差数列 成等比数列 且 310abc 则a A 4 B 2 C 2 D 4 答案 D 解析 由互不相等的实数 a b c 成等差数列可设a b d c b d 由 310abc 可 得b 2 所以a 2 d c 2 d 又 c a b 成等比数列可得d 6 所以a 4 选D 15 2005福建 已知等差数列 n a中 12497 1 16aaaa则 的值是 A 15B 30C 31D 64 答案 A 16 2005 江苏卷 在各项都为正数的等比数列 an 中 首项a1 3 前三项和为 21 则 a3 a4 a5 A 33 B 72 C 84 D 189 a b c c a b 答案 C 二 填空题 17 2008 四川 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 45 10 15SS 则 4 a的最大值 为 答案 4 18 2008 重庆 设Sn 是等差数列 an 的前n项和 a12 8 S9 9 则S16 答案 72 19 2007 全国 I 等比数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 S 2 2S 3 3S成等差数列 则 n a的公比为 答案 1 3 20 2007 江西 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 若 12 21S 则 25811 aaaa 答案 7 21 2007 北京 若数列 n a的前n项和 2 10 12 3 n Snn n 则此数列的通项公 式为 数列 n na中数值最小的项是第项 答案 211n 22 2006 湖南 数列 n a满足 1 2 1 11 naaa nn 2 3 则 n aaa 21 答案 12 n 解析 数列 n a 满足 11 1 2 1 nn aaan 2 3 该数列为公比为 2 的等比数列 n aaa 21 三 解答题 23 2008 四川卷 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 21 n nn babS 证明 当2b 时 1 2n n an 是等比数列 21 21 2 1 n n 求 n a的通项公式 解 由题意知 1 2a 且 21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 两式相减得 11 21 n nnn b aaba 即 1 2n nn aba 当2b 时 由 知 1 22n nn aa 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 1 1 1 210 n a 所以 1 2n n an 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 当2b 时 由 知 11 22 nn n an 即 1 1 2n n an 当2b 时 由由 得 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 24 2008 江西卷 数列 n a为等差数列 n a为正整数 其前n项和为 n S 数列 n b为 等比数列 且 11 3 1ab 数列 n a b是公比为 64 的等比数列 22 64b S 1 求 nn a b 2 求证 12 1113 4 n SSS 解 1 设 n a的公差为d n b的公比为q 则d为正整数 3 1 n and 1n n bq 依题意有 1 3 6 3 1 22 642 6 64 n n nd a d nd a b q q bq S bd q 由 6 64d q 知q为正有理数 故d为6的因子1 2 3 6之一 解 得2 8dq 故 1 32 1 21 8n nn annb 2 35 21 2 n Snn n 12 1111111 1 32 43 5 2 n SSSn n 11111111 1 2324352nn 11113 1 22124nn 25 2008 湖北 已知数列 n a和 n b满足 1 a 1 2 4 1 321 3 n nnnn aanban 其中 为实数 n为正整数 对任意实数 证明数列 n a不是等比数列 试判断数列 n b是否为等比数列 并证明你的结论 设0ab n S为数列 n b的前n项和 是否存在实数 使得对任意正整数n 都有 n aSb 若存在 求 的取值范围 若不存在 说明理由 本小题主要考查等比数列的定义 数列求和 不等式等基础知识和分类讨论的思想 考查综合分析问题的能力和推理认证能力 满分 14 分 证明 假设存在一个实数 使 an 是等比数列 则有a22 a1a3 即 094 9 4 94 9 4 4 9 4 3 3 2 222 矛盾 所以 an 不是等比数列 解 因为bn 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 1 n 1 3 2 an 2n 14 3 2 1 n an 3n 21 3 2 bn 又b1x 18 所以 当 18 bn 0 n N 此时 bn 不是等比数列 当 18 时 b1 18 0 由上可知bn 0 3 2 1 n a b b n N 故当 18 时 数列 bn 是以 18 为首项 3 2 为公比的等比数列 由 知 当 18 bn 0 Sn 0 不满足题目要求 18 故知bn 18 3 2 n 1 于是可得 Sn 3 2 1 18 5 3 n 要使a Sn b对任意正整数n成立 即a 5 3 18 1 3 2 n b n N 则令 得 2 1 3 2 1 18 5 3 3 2 1 nf ba nn 当n为正奇数时 1 f n 1 9 5 3 5 nfn为正偶数时 当 f n 的最大值为f 1 3 5 f n 的最小值为f 2 9 5 于是 由 式得 9 5 a 5 3 18 18318 5 3 abb 当a3a存在实数 使得对任意正整数n 都有a Sn 2 26 2005 北京 数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 1 1 3 nn aS n 1 2 3 求 I a2 a3 a4的值及数列 an 的通项公式 II 2462n aaaa 的值 解 I 由a1 1 1 1 3 nn aS n 1 2 3 得 211 111 333 aSa 3212 114 339 aSaa 43123 1116 3327 aSaaa 由 11 11 33 nnnnn aaSSa n 2 得 1 4 3 nn aa n 2 又a2 3 1 所以an 2 1 4 3 3 n n 2 数列 an 的通项公式为 2 11 1 4 2 3 3 n n n a n 27 2005 福建 已知 n a 是公比为 q 的等比数列 且 231 aaa成等差数列 求 q 的值 设 n b 是以 2 为首项 q 为公差的等差数列 其前 n 项和为 Sn 当 n 2 时 比 较 Sn与 bn的大小 并说明理由 解 由题设 2 2 11 2 1213 qaaqaaaa 即 0 12 0 2 1 qqa 2 1 1 或q 若 2 3 1 2 1 2 1 2 nnnn nSq n 则 当 0 2 2 1 2 1 nn SbSn nnn 时 故 nn bS 若 4 9 2 1 2 1 2 2 1 2 nnnn nSq n 则 当 4 10 1 2 1 nn SbSn nnn 时 故对于 11 10 92 nnnnnn bSnbSnbSnNn 时当时当时当 第二部分第二部分 三年联考题汇编三年联考题汇编 20092009 年联考题年联考题 一 选择题 1 北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理 各项均不为零的等差数列 n a中 若 2 11 0 2 nnn aaann N 则 2009 S等于 A 0 B 2 C 2009 D 4018 答案 D 2 北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试理 若数列 n a是公比为 4 的等比数列 且 1 2a 则数列 2 log n a是 A 公差为 2 的等差数列 B 公差为lg2的等差数列 C 公比为 2 的等比数列 D 公比为lg2的等比数列 答案 A 3 2009 福州三中 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 7 14S 则 35 aa 的值为 A 2B 4C 7D 8 答案 B 4 2009 厦门一中文 在等差数列 n a中 28 4aa 则 其前 9 项的和 S9等于 A 18 B 27 C 36 D 9 答案 A 5 2009 长沙一中期末 各项不为零的等差数列 n a中 022 11 2 73 aaa 则 7 a的 值为 A 0B 4C 04或D 2 答案 B 6 2009 宜春 在等差数列 n a中 39 741 aaa 27 963 aaa 则数列 n a的前 9 项之和 9 S等于 A 66 B 99 C 144 D 297 答案 B 7 辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟 设等差数列 n a的前 n 项和为 1413121184 20 8 aaaaSSSn则若 A 18B 17C 16D 15 答案 C 二 填空题 8 北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理 已知等差数列 n a的公差 0 d 且 931 aaa成等比数列 则 1042 931 aaa aaa 的值为 答案 13 16 9 2009 福州八中 已知数列 1 n nn a n n 为奇数 为偶数 则 1100 aa 123499100 aaaaaa 答案 100 5000 10 2009 宁乡一中第三次月考 11 等差数列 n a中 129 81aaa 且 2310 171aaa 则公差d 答案 10 11 2009 南京一模 已知等比数列 n a的各项均为正数 若3 1 a 前三项的和为 21 则 654 aaa 答案 168 12 2009 上海九校联考 已知数列 n a的前n项和为 n S 若21 n n S 则 8 a 答案 128 三 解答题 13 2009 龙岩一中 设正整数数列 n a满足 12 2 6aa 当2n 时 有 2 111 1 2 nnnn aaaa I 求 3 a 4 a的值 求数列 n a的通项 记 2222 123 123 n n n T aaaa 证明 对任意 nN 9 4 n T 解 2n 时 2 2131 1 2 aa aa 由已知 12 2 6aa 得 3 362 1a 因为 3 a为正整数 所以 3 18a 同理54 4 a 2 分 由 可猜想 1 2 3n n a 3 分 证明 1 2n 时 命题成立 假设当1 kn与nk 时成立 即 1 2 3k k a 2 1 2 3k k a 4 分 于是 2 111 1 2 kkkk aaaa 整理得 2 1 1 1 2 k k k a a a 5 分 由归纳假设得 11 111 2 3 2 32 3 222 kkk kk aa 6 分 因为 1k a 为正整数 所以 1 2 3k k a 即当1nk 时命题仍成立 综上 由知 知对于 nN 有 1 2 3n n a 成立 7 分 证明 由 222 21 23 21 333 n n n T 得 2222 21 212 1 33333 n nn nn T 式减 式得 2 21 43521 1 33333 n nn nn T 9 分 2 211 4132321 933333 n nnn nnn T 式减 式得 22 211 8222 1 1 933333 n nnn nn T 11 分 2222 2111 1 1 111 1 1 3 12 1 12 1 3333333 1 3 n nnnnn nnnn 22 11 1 1 1 3 333 nnn nn 2 1 2 36 22 3n nn 13 分 则 9 4 n T 14 分 14 2009 常德期末 已知数列 n a的前 n 项和为 1 1 4 n Sa 且 11 1 2 nnn SSa 数列 n b满足 1 119 4 b 且 1 3 nn bbn 2 nnN 且 求 n a的通项公式 求证 数列 nn ba 为等比数列 求 n b前n项和的最小值 解 1 由 11 2221 nnn SSa 得 1 221 nn aa 1 1 2 nn aa 2 2 分分 1 11 1 24 n aandn 4 4 分分 2 1 3 nn bbn 1 11 33 nn bbn 111 1111111113 3324364324 nnnnn babnnbnbn 1111 1113 1 2424 nnnn babnbn 由上面两式得 11 1 3 nn nn ba ba 又 11 1191 30 44 ba 数列 nn ba 是以 30 为首项 1 3 为公比的等比数列 8 8 分分 3 由 2 得 1 1 30 3 n nn ba 11 1111 30 30 3243 nn nn ban 12 1 111111 30 1 30 243243 nn nn bbnn 22 11111 30 1 20 0 23323 nn n b是递增数列 1111 分分 当n 1 时 1 119 4 b 0 当n 2 时 2 3 10 4 b 0 当n 3 时 3 510 43 b 0 所以 从第 4 项起的各项均大于 0 故前 3 项之和最小 且 3 1101 1 35 30 1041 4312 S 1313 分分 9 9 月份更新月份更新 一 选择题 1 2009 滨州一模 等差数列 n a中 511 30aa 4 7a 则 12 a的值为 A 15 B 23 C 25 D 37 答案 B 2 2009 上海十四校联考 无穷等比数列 4 2 2 1 2 2 1 各项的和等于 A 22 B 22 C 12 D 12 答案 B 3 2009 聊城一模 两个正数 a b 的等差中项是 5 等比例中项是 4 若 a b 则双曲线 1 22 b y a x 的离心率 e 等于 A 2 3 B 2 5 C 50 17 D 3 答案 B 二 填空题 1 2009 上海十四校联考 若数列 2 2 1 n n n n aNnpp a a a则称为正常数满足 为 等方比数列 则 数列 n a是等方比数列 是 数列 n a是等方比数列 的 条件 2 2009 上海八校联考 在数列 n a中 12 02aa 且 1 1 2 Nnaa n nn 100 S 答案 2550 三 解答题 1 2009 滨州一模 已知曲线 1 C xy 过C上一点 nnn A xy作一斜率为 1 2 n n k x 的直线交曲线C于另一点 111 nnn Axy 点列 n A的横坐标构成数列 n x 其中 1 11 7 x I 求 n x与 1n x 的关系式 II 令 n b 11 23 n x 求证 数列 n b是等比数列 III 若3n nn cb 为非零整数 n N 试确定 的值 使得对任意 n N 都 有 cn 1 cn成立 1 解 过 nnn A xy的直线方程为 1 2 nn n yyxx x 联立方程 1 2 1 nn n yyxx x xy 消去y得 2 1 10 22 n n nn x xy xx 1 2 nnn x xx 即 1 2 n n n x x x 2 11 11 232111 3 2 23233 2 2 11111132 2323233 2 nnnn nnnnn n n nnnn xxxx bxxxx x b xxxx n b是等比数列 1 1 11 2 23 b x 2q III 由 II 知 2 n n b 要使 1nn cc 恒成立由 11 1 3 2 nn nn cc 3 2 nn 2 33 2 nn 0 恒成立 即 1 n 2 3 n 1恒成立 当n为奇数时 即 2 3 n 1恒成立 又 2 3 n 1的最小值为 1 2 3 n 1恒成立 又 2 3 n 1的最大值为 2 3 2 3 11 分 即 2 3 1 又 0 为整数 1 使得对任意 n N 都有 1nn cc 12 分 2 2009 上海青浦区 设数列 n a的前n和为 n S 已知 3 1 1 S 3 13 2 S 3 16 3 S 3 64 4 S 一般地 12 3 4 12 12 3 4 12 1 2 1 2 为偶数时当 为奇数时当 n n n n S n n n Nn 1 求 4 a 2 求 n a2 3 求和 nn aaaaaaaa 212654321 1 16 4 a 3 分 2 当kn2 时 Nk kkk kkk kk SSa 222 2 2 2 1222 2 12 3 4 12 2 12 3 4 12 2 6 分 所以 n n a4 2 Nn 8 分 3 与 2 同理可求得 12 3 1 12 na n 10 分 设 nn aaaaaaaa 212654321 n T 则 4 12 45434 3 1 32n n nT 用等比数列前 n 项和公式的推导方法 4 12 45434 3 1 4 1432 n n nT 相减得 4 12 444 24 3 1 3 132 nn n nT 所以 9 4 14 27 32 4 9 12 11 nn n n T 14 分 3 2009 上海八校联考 已知点列 1122 1 2 nn ByByB n y nN 顺次 为直线 4 x y 上的点 点列 1122 0 0 0 nn A xA xA x nN 顺次为 x轴上的点 其中 1 xa 01 a 对任意的 nN 点 n A n B 1 n A构成以 n B为 顶点的等腰三角形 1 证明 数列 n y是等差数列 2 求证 对任意的 nN nn xx 2 是常数 并求数列 n x的通项公式 3 对上述等腰三角形 1 nnn ABA添加适当条件 提出一个问题 并做出解答 根据所提问题及解答的完整程度 分档次给分 解 1 依题意有 n n y 4 于是 4 1 1 nn yy 所以数列 n y是等差数列 4 分 2 由题意得n xx nn 2 1 即nxx nn 2 1 n N 所以又有 1 2 12 nxx nn 由 得 2 2 nn xx 所以 n nn n x xx x 2 是常数 分 由 135246 x xxxxx 都是等差数列 12 xa 0a1x2a 那么得 22 1 2 112 akkxx k akkakxx k 2 1 22 1 2 22 k N N 分 故 1 n nan x nan 为奇数 为偶数 1 分 3 提出问题 若等腰三角形 1 nnn ABA中 是否有直角三角形 若有 求出实数a 提出问题 若等腰三角形 1 nnn ABA中 是否有正三角形 若有 求出实数a 解 问题 1 分 当n为奇数时 0 1 0 1 1 anAanA nn 所以 1 2 1 aAA nn 当n为偶数时 0 0 1 anAanA nn 所以 2 1 aAA nn 作xCB nn 轴 垂足为 n C则 nn n B C 4 要使等腰三角形 1 nnn ABA为直角三角形 必须且 只须 nnnn CBAA2 1 分 当n为奇数时 有 n 2 1 a2 4 即 n a1 4 31 n1an3a 44 当当时时当当时时 当5 n a0 不合题意 15 分 当n为偶数时 有 n 2a2 4 n a 4 同理可求得 1 n2a 2 当当时时 当n n 4时 a0 不合题意 1 分 综上所述 使等腰三角形 1 nnn ABA中 有直角三角形 a的值为 3 4 或 1 4 或 1 2 1 分 解 问题 1 分 当n为奇数时 0 1 0 1 1 anAanA nn 所以 1 2 1 aAA nn 当n为偶数时 0 0 1 anAanA nn 所以 2 1 aAA nn 作