高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质课件3 北师大版选修11.ppt

抛物线的简单几何性质 1 掌握抛物线的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 通径 2 会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程 焦点坐标及解决其它问题 定义 在平面内 与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 抛物线的定义及标准方程 y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 由抛物线y2 2px p 0 所以抛物线的范围为 如何研究抛物线y2 2px p 0 的几何性质 抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 即点 x y 也在抛物线上 故抛物线y2 2px p 0 关于x轴对称 则 y 2 2px 若点 x y 在抛物线上 即满足y2 2px 定义 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点 y2 2px p 0 中 令y 0 则x 0 即 抛物线y2 2px p 0 的顶点 0 0 注 这与椭圆有四个顶点 双曲线有两个顶点不同 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由定义知 抛物线y2 2px p 0 的离心率为e 1 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 思考 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 p越大 开口越开阔 归纳 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y r x 0y r y 0 x r y 0 x r 0 0 x轴 y轴 1 补充 1 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 pf x0 p 2 f p 通径的长度 2p p越大 开口越开阔 2 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 标准方程中2p的几何意义 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 例1 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且过点m 2 求它的标准方程 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 光源位于抛物线的焦点处 已知灯口圆的直径为60cm 灯深40cm 求抛物线的标准方程及焦点的位置 f y x o 解 如图所示 在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系 使反光镜的顶点与原点重合 x轴垂直于灯口直径 a 设抛物线的标准方程是 由已知条件可得点a的坐标是 40 30 代入方程可得 抛物线方程为y2 45 2x焦点坐标为 45 8 0 课堂练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 2 顶点在原点 对称轴为y轴且过 4 1 的抛物线方程是 解 由已知可设抛物线的方程为x2 ay 将点 4 1 代入 得a 16 故方程为x2 16y 3 已知点a 2 3 与抛物线的焦点的距离是5 则 4 4 顶点在原点 对称轴是x轴 并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线的离心率是确定的 等于