山西省大同一中、同煤一中高三数学上学期期末联合考试试题 理（含解析）新人教A版.doc

2014-2015学年山西省大同一中、同煤一中联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1（5分）已知集合a=x|log4x1，b=x|x2，则arb=（） a （，2） b （0，2） c （，2 d 2，4）【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 计算题【分析】： 求出a中其他不等式的解集确定出a，根据全集r及b求出b的补集，找出a与b补集的交集即可【解析】： 解：由a中的不等式变形得：log4x1=log44，得到0x4，即a=（0，4）；b=2，+），全集为r，rb=（，2），则arb=（0，2）故选b【点评】： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为（） a 4 b c 4 d 【考点】： 复数代数形式的乘除运算；复数求模【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 由题意可得 z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 +i，由此可得z的虚部【解析】： 解：复数z满足（34i）z=|4+3i|，z=+i，故z的虚部等于，故选：d【点评】： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题3（5分）已知a0且a1，函数y=logax，y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（） a b c d 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据指数函数和对数的函数的单调性，和一次函数的纵截距所得的a的范围是否一致故可判断【解析】： 解：当0a1，y=logax，y=ax均为减函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标小于1，当a1，y=logax，y=ax均为增函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标大于于1，观察图象知，a，b，d均错，只有c正确故选：c【点评】： 本小题主要考查，一次函数，对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想属于基础题4（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（） a 1，5 b 2，6 c 3，10 d 3，11【考点】： 简单线性规划的应用【专题】： 计算题；数形结合【分析】： 再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过a（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过b（0，0）时l0最小，k也最小为3即可【解析】： 解：根据约束条件画出可行域，设k=1+，整理得（k1）x2y+k3=0，由图得，k1设直线l0=（k1）x2y+k3，当直线l0过a（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过b（0，0）时l0最小，k也最小为3故选 d【点评】： 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题5（5分）在等差数列an中，有3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则此数列的前13项和为（） a 24 b 39 c 52 d 104【考点】： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【专题】： 计算题【分析】： 利用等差数列的性质可把3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，化简6a4+6a10=48，从而可a1+a13=a4+a10=8而，从而可求【解析】： 解：3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，利用等差数列的性质可得，6a4+6a10=48a1+a13=a4+a10=8故选c【点评】： 本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和解题的关键是利用了等差数列的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq6（5分）已知函数f（x）=sin（x），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（） a x= b x= c x= d x=【考点】： 函数y=asin（x+）的图象变换；定积分【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由f（x）dx=0求得cos（+）=0，故有 +=k+，kz可取=，则f（x）=sin（x）令x=k+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程【解析】： 解：函数f（x）=sin（x），f（x）dx=cos（x）=cos（）cos（）=cossin=cos（+）=0，+=k+，kz，即 =k+，kz，故可取=，f（x）=sin（x）令x=k+，求得 x=k+，kz，则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=，故选：a【点评】： 本题主要考查定积分，函数y=asin（x+）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题7（5分）如图所示，用过a1、b、c1和c1、b、d的两个截面截去正方体abcda1b1c1d1的两个角后得到一个新的几何体，则该几何体的正视图为（） a b c d 【考点】： 简单空间图形的三视图【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图【解析】： 解：由正视图的定义可知：点a、a1、c1在后面的投影点分别是点d、d1、c1，线段a1b在后面的投影面上的投影是以d1为端点且与线段a1b平行且相等的线段，即可得正视图故选：a【点评】： 从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示8（5分）已知非零向量与满足且= 则abc为（） a 等边三角形 b 直角三角形 c 等腰非等边三角形 d 三边均不相等的三角形【考点】： 三角形的形状判断【专题】： 计算题【分析】： 通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状【解析】： 解：因为，所以bac的平分线与bc垂直，三角形是等腰三角形又因为，所以bac=60，所以三角形是正三角形故选a【点评】： 本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力9（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为fl，f2，以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（） a b c d 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程【解析】： 解：点（3，4）在以|f1f2|为直径的圆上，c=5，可得a2+b2=25又点（3，4）在双曲线的渐近线y=上，=，联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程故选：c【点评】： 本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题10（5分）已知m、n表示两条不同直线，表示平面下列四个命题中，正确的个数是（）若m，n，则mn若m，n，则mn若m，mn，则n若m，mn，则n a 4 b 3 c 2 d 1【考点】： 空间中直线与平面之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理解答【解析】： 解：对于，若m，n，则m与n平行、相交或者异面；故错误；对于，若m，n，根据线面垂直的性质可得mn；故正确；对于，若m，mn，则n或者n内；故错误；对于，若m，mn，则n或者n；故d错误；故选d【点评】： 本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练有关的定理，正确运用11（5分）设（0，），（0，），且tan=，则（） a 3= b 3+= c 2= d 2+=【考点】： 三角函数的化简求值【专题】： 三角函数的求值【分析】： 化切为弦，整理后得到sin（）=cos，由该等式左右两边角的关系可排除选项a，b，然后验证c满足等式sin（）=cos，则答案可求【解析】： 解：由tan=，得：，即sincos=cossin+cos，sin（）=cos由等式右边为单角，左边为角与的差，可知与2有关排除选项a，b后验证c，当时，sin（）=sin（）=cos成立故选：c【点评】： 本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题12（5分）已知函数f（x）=2lnx+1的图象与直线y=2xa恰好有一个交点，设g（x）=exx2+a，当x1，2时，不等式mg（x）m24恒成立，则实数m的取值范围是（） a （， b ，e c e， d ，+）【考点】： 函数恒成立问题【专题】： 导数的综合应用【分析】： 用导数求出曲线上某点切线方程，即可得到a的值，再利用导数求出函数g（x）=exx2+a，当x1，2时的最值，再根据不等式mg（x）m24恒成立，求的m的范围【解析】： 解：函数f（x）=2lnx+1的图象与直线y=2xa恰好有一个交点，直线y=2xa与f（x）相切设曲线的切点为p（x0，y0），f（x）=，f（x0）=2，x0=1，y0=2lnx0+1=1，2a=1，a=1g（x）=exx2+1，g（x）=ex2x，x1，2设h（x）=ex2x，x1，2h（x）=ex20在1，2恒成立，h（x）=ex2x，x1，2为增函数，h（x）min=h（1）=e20，g（x）0在1，2恒成立，g（x）=exx2+1在1，2为增函数，g（1）g（x）g（2），即eg（x）e23当x1，2时，不等式mg（x）m24恒成立解得m故选：d【点评】： 本题考查了导数和函数的最值的关系，以及导数的集合意义，以及恒成立的问题，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知sin（x）=，则sin2x的值为【考点】： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数【专题】： 计算题【分析】： 利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（x）=代入即可得到答案【解析】： 解：sin2x=cos（2x）=12sin2（x）=故答案为【点评】： 本题主要考查了三角函数中的二倍角公式属基础题14（5分）已知a（1，1），b（1，2），c（2，1），d（3，4），则向量在方向上的投影为【考点】： 平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 根据点的坐标，分别算出=（5，5）、=（2，1），从而算出=15且|=5再利用向量投影的公式加以计算，即可得到向量在方向上的投影的值【解析】： 解：c（2，1），d（3，4），=（5，5），同理可得=（2，1），=52+51=15，=5设、的夹角为，则向量在方向上的投影为|cos=故答案为：【点评】： 本题给出a、b、c、d各点的坐标，求向量在方向上的投影着重考查了平面向量的坐标运算、数量积的公式及其运算性质和向量投影的概念等知识，属于中档题15（5分）已知函数，若f（3a2）f（2a），则实数a的取值范围是3a1【考点】： 函数单调性的性质【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据分段函数的解析式判断出函数的单调性，利用函数的单调性去掉“f”，转化为关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围【解析】： 解：函数，作出分段函数的图象如图所示，根据函数的图象可得，函数f（x）在定义域r上是单调递减函数，f（3a2）f（2a），3a22a，即a2+2a30，3a1，实数a的取值范围是3a1故答案为：3a1【点评】： 本题考查了分段函数的图象，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解利用基本初等函数的单调性判断函数的单调性，运用了函数的单调性解不等式，解题的关键是将不等式进行合理的转化，然后利用单调性去掉“f”属于中档题16（5分）如图，已知点f为抛物线c：y2=4x的焦点，点p是其准线l上的动点，直线pf交抛物线c于a、b两点若点p的纵坐标为m（m0），点d为准线l与x轴的交点，则dab的面积s的取值范围为（4，+）【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由抛物线c：y2=4x可得焦点f（1，0）设a（x1，y1），b（x2，y2），直线pf的方程为：y=k（x1）与抛物线方程联立可得：k2x2（2k2+4）x+k2=0，利用根与系数的关系和弦长公式，求出点d（1，0）到直线ab的距离d再利用sdab=d|ab|，即可得出所求范围【解析】： 解：由抛物线c：y2=4x可得焦点f（1，0）设a（x1，y1），b（x2，y2），直线pf的方程为：y=k（x1）联立，化为k2x2（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2=2+，x1x2=1|ab|=点d（1，0）到直线ab的距离d=sdab=d|ab|=44dab的面积s的取值范围为（4，+）故答案为：（4，+）【点评】： 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立，同时考查根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）如图，在平面四边形abcd中，ad=1，cd=2，ac=（）求coscad的值；（）若cosbad=，sincba=，求bc的长【考点】： 解三角形的实际应用【专题】： 解三角形【分析】： （）利用余弦定理，利用已知条件求得coscad的值（）根据coscad，cosbad的值分别，求得sinbad和sincad，进而利用两角和公式求得sinbac的值，最后利用正弦定理求得bc【解析】： 解：（）coscad=（）cosbad=，sinbad=，coscad=，sincad=sinbac=sin（badcad）=sinbadcoscadcosbadsincad=+=，由正弦定理知=，bc=sinbac=3【点评】： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用18（12分）设sn为数列an的前n项和，已知a10，2ana1=s1sn，nn*（）求a1，a2，并求数列an的通项公式；（）求数列nan的前n项和【考点】： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n2时再令n=n1得到2an11=sn1，两个式子相减得an=2an1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；（）由（）求出nan=n2n1，再由错位相减法求出此数列的前n项和【解析】： 解：（）令n=1，得2a1a1=，即，a10，a1=1，令n=2，得2a21=1（1+a2），解得a2=2，当n2时，由2an1=sn得，2an11=sn1，两式相减得2an2an1=an，即an=2an1，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an=2n1，即数列an的通项公式an=2n1；（）由（）知，nan=n2n1，设数列nan的前n项和为tn，则tn=1+22+322+n2n1，2tn=12+222+323+n2n，得，tn=1+2+22+2n1n2n=2n1n2n，tn=1+（n1）2n【点评】： 本题考查了数列an与sn之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用19（12分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60，ab=2ad，pd底面abcd（）证明：pabd；（）若pd=ad，求二面角apbc的余弦值【考点】： 直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角【专题】： 计算题；证明题；综合题；数形结合；转化思想【分析】： （）因为dab=60，ab=2ad，由余弦定理得bd=，利用勾股定理证明bdad，根据pd底面abcd，易证bdpd，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证pabd；（）建立空间直角坐标系，写出点a，b，c，p的坐标，求出向量，和平面pab的法向量，平面pbc的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可【解析】： （）证明：因为dab=60，ab=2ad，由余弦定理得bd=，从而bd2+ad2=ab2，故bdad又pd底面abcd，可得bdpd所以bd平面pad故pabd（）如图，以d为坐标原点，ad的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz，则a（1，0，0），b（0，0），c（1，0），p（0，0，1）=（1，0），=（0，1），=（1，0，0），设平面pab的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面pbc的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos=，故二面角apbc的余弦值为：【点评】： 此题是个中档题考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力20（12分）如图，椭圆c：+=1（ab0）的离心率e=，短轴的两个端点分别为b1、b2，焦点为f1、f2，四边形f1b1f2b2的内切圆半径为（1）求椭圆c的方程；（2）过左焦f1点的直线交椭圆于m、n两点，交直线x=4于点p，设=，=，试证+为定值【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （）设四边形f1b1f2b2的内切圆与边b2f2的切点为g，连接og，则|og|=由利用等积法得bc=，e=，由此能求出椭圆c的方程（）设直线mn的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，整理得 （3+4k2）x2+8k2x+4（k23）=0由此利用韦达定理结合已知条件能证明+=0为定值【解析】： （）解：如图所示，设四边形f1b1f2b2的内切圆与边b2f2的切点为g，连接og，则|og|=由=，|ob2|=b，|of2|=c，|b2f2|=a，得bc=，又e=，a2=b2+c2，解得a=2，b=，故椭圆c的方程为（5分）（）证明：根据已知条件可设直线mn的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，整理得 （3+4k2）x2+8k2x+4（k23）=0设m（x1，y1），n（x2，y2），则又p（4，3k），由，得，（9分）+=，2x1x2+5（x1+x2）+8=2=0，+=0为定值（13分）【点评】： 本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用21（12分）设函数f（x）=x+alnx（ar）（e=2.71828是一个无理数）（1）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2，记过点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2）的直线斜率为k，若ka2恒成立，求a的取值集合【考点】： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】： （1）求出导数，令g（x）=x2ax+1，其判别式=a24讨论当2a2时，当a2时，当a2时，由导数符号确定函数的单调性，即可得到a的范围；（2）运用韦达定理可得a=x1+x2=x2+2，作差f（x1）f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数f（x）=x+lnx（x1），通过求导，判断单调性可得x2e，即可得到a的范围【解析】： 解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=1+=，令g（x）=x2ax+1，其判别式=a24当2a2时，0，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递减，不合题意当a2时，0，g（x）=0的两根都小于零，故在（0，+）上，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递减，不合题意当a2时，0，设g（x）=0的两个根x1，x2都大于零，令x1=，x2=，x1x2=1，当0xx1时，f（x）0，当x1xx2时，f（x）0，当xx2时，f（x）0，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，综上所述，a的取值范围是（2，+）（2）依题意及（1）知，a