高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合问题课件 理 苏教版.ppt

3 2导数的应用 第3课时导数与函数的综合问题 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一导数与不等式有关的问题命题点1解不等式例1设f x 是定义在r上的奇函数 f 2 0 当x 0时 有0的解集是 答案 解析 2 0 2 又 2 0 当且仅当00 此时x2f x 0 又f x 为奇函数 h x x2f x 也为奇函数 故x2f x 0的解集为 2 0 2 命题点2证明不等式例2 2016 全国丙卷 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 解答 由题设 f x 的定义域为 0 f x 1 令f x 0 解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 2 证明 当x 1 时 1 x 证明 由 1 知 f x 在x 1处取得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 lnx x 1 故当x 1 时 lnx x 1 3 设c 1 证明 当x 0 1 时 1 c 1 x cx 证明 由题设c 1 设g x 1 c 1 x cx 当x0 g x 单调递增 当x x0时 g x 0 g x 单调递减 又g 0 g 1 0 故当00 所以当x 0 1 时 1 c 1 x cx 命题点3不等式恒成立或有解问题 解答 几何画板展示 函数的定义域为 0 令f x 0 得x 1 当x 0 1 时 f x 0 f x 单调递增 当x 1 时 f x 0 f x 单调递减 2 如果当x 1时 不等式f x 恒成立 求实数k的取值范围 解答 所以h x h 1 1 所以g x 0 所以g x 为单调增函数 所以g x g 1 2 故k 2 所以实数k的取值范围是 2 引申探究本题 2 中 若改为存在x0 1 e 使不等式f x 成立 求实数k的取值范围 解答 1 利用导数解不等式的思路已知一个含f x 的不等式 可得到和f x 有关的函数的单调性 然后可利用函数单调性解不等式 2 利用导数证明不等式的方法证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 如果f x 0 则f x 在 a b 上是减函数 同时若f a 0 由减函数的定义可知 x a b 时 有f x 0 即证明了f x g x 3 利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 思维升华 跟踪训练1 2015 福建 已知函数f x lnx 1 求函数f x 的单调递增区间 解答 证明 2 证明 当x 1时 f x x 1 令f x f x x 1 x 0 当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 上单调递减 故当x 1时 f x f 1 0 即当x 1时 f x x 1 3 确定实数k的所有可能取值 使得存在x0 1 当x 1 x0 时 恒有f x k x 1 解答 由 2 知 当k 1时 不存在x0 1满足题意 当k 1时 对于x 1 有f x x 1 k x 1 则f x k x 1 从而不存在x0 1满足题意 当k 1时 令g x f x k x 1 x 0 由g x 0 得 x2 1 k x 1 0 当x 1 x2 时 g x 0 故g x 在 1 x2 内单调递增 从而当x 1 x2 时 g x g 1 0 即f x k x 1 综上 k的取值范围是 1 题型二利用导数研究函数零点问题例4 2016 扬州模拟 设函数f x xex asinxcosx a r 其中e是自然对数的底数 1 当a 0时 求f x 的极值 解答 几何画板展示 当a 0时 f x xex f x ex x 1 令f x 0 得x 1 列表如下 2 若对于任意的x 0 f x 0恒成立 求a的取值范围 解答 当a 0时 由于对于任意x 0 有sinxcosx 0 所以f x 0恒成立 即当a 0时 符合题意 当01时 f 0 1 a 0 设f 0 其中 是f x 0中最接近x 0的零点 所以f x 在 0 上为减函数 此时f x 1时 不符合题意 综上所述 a的取值范围是 1 3 是否存在实数a 使得函数f x 在区间 0 上有两个零点 若存在 求出a的取值范围 若不存在 请说明理由 解答 当a 1时 f x ex x 1 acos2x 令g x ex x 1 acos2x 则g x ex x 2 2asin2x 且当x 0 x0 时 f x 0 即函数f x 在 0 x0 上单调递减 当x 0 x0 时 f x f 0 0 即f x 在 0 x0 上无零点 综上所述 不存在实数a 使得函数f x 在区间 0 上有两个零点 利用导数研究方程的根 函数的零点 的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题 可构造函数 转化为研究函数的零点个数问题 可利用导数研究函数的极值 最值 单调性 变化趋势等 从而画出函数的大致图象 然后根据图象判断函数的零点个数 思维升华 跟踪训练2 2016 南通模拟 已知函数f x a lnx a r 1 求f x 的单调区间 解答 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 试求f x 的零点个数 并证明你的结论 解答 所以此时函数f x 的零点个数为0 当a 0时 从而当a 0时 函数f x 的零点个数为1 题型三利用导数研究生活中的优化问题例5某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 解答 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解答 由 1 可知 该商品每日的销售量为 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 当x 4时 函数f x 取得极大值 也是最大值 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值且最大值等于42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 1 分析实际问题中各个量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 若函数在开区间内只有一个极值点 那么该极值点就是最值点 4 回归实际问题作答 思维升华 解答 解得 40 x 6 因为1 x 14 所以1 x 6 设该商品的月销售额为g x 由g x 0 得x 8 所以g x 在 6 8 上是增函数 在 8 14 上是减函数 2 记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元 求实数a的取值范围 解答 因为a 0 所以f x 在区间 1 14 上是增函数 若该商品的均衡价格不低于6百元 则函数f x 在区间 6 14 上有零点 答若该商品的均衡价格不低于每吨6百元 实数a的取值范围是 0 典例 16分 设f x xlnx g x x3 x2 3 1 如果存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 求满足上述条件的最大整数m 2 如果对于任意的s t 2 都有f s g t 成立 求实数a的取值范围 一审条件挖隐含 审题路线图系列 规范解答 审题路线图 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m 正确理解 存在 的含义 g x1 g x2 max m 挖掘 g x1 g x2 max的隐含实质g x max g x min m 求得m的最大整数值 2 对任意s t 2 都有f s g t 理解 任意 的含义 f x min g x max 求得g x max 1 xlnx 1恒成立 分离参数aa x x2lnx恒成立 求h x x x2lnx的最大值 a h x max h 1 1 a 1 返回 解 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 m成立 等价于 g x1 g x2 max m 2分 g x max g 2 1 则满足条件的最大整数m 4 7分 所以a 1 即实数a的取值范围是 1 16分 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 函数f x x 1 2 x 2 2的极大值是 答案 解析 f x x 1 2 x 2 2 令f x 0 得可能的极值点x1 1 x2 x3 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x 2 x 1 2x 3 x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 已知曲线y x2 alnx a 0 上任意一点处的切线的斜率为k 若k的最小值为4 则此时切点的坐标为 答案 解析 1 1 函数y x2 alnx a 0 的定义域为 x x 0 当且仅当x 1时 成立 将x 1代入曲线方程得y 1 故所求的切点坐标是 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 若商品的年利润y 万元 与年产量x 百万件 的函数关系式 y x3 27x 123 x 0 则获得最大利润时的年产量为 百万件 答案 解析 3 y 3x2 27 3 x 3 x 3 当00 当x 3时 y 0 故当x 3时 该商品的年利润最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 2017 南京质检 直线x t分别与函数f x ex 1的图象及g x 2x 1的图象相交于点a和点b 则ab的最小值为 答案 解析 4 2ln2 由题意得 ab ex 1 2x 1 ex 2x 2 令h x ex 2x 2 则h x ex 2 所以h x 在 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 所以h x min h ln2 4 2ln2 0 即ab的最小值是4 2ln2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 已知函数f x 若 f x ax 则a的取值范围是 答案 解析 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由 1 得x x 2 ax在区间 0 上恒成立 当x 0时 a r 当x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当a 0时 h x 0 故h x 为增函数 所以h x h 0 0恒成立 所以h x h 0 0恒成立 显然不符合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当00 满足h x0 ln x0 1 ax0 0成立 故a 0 由 可知a的取值范围是 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 若函数f x ax2 4x 3在 0 2 上有最大值f 2 则a的取值范围是 答案 解析 1 f x 2ax 4 由f x 在 0 2 上有最大值f 2 则要求f x 在 0 2 上单调递增 则2ax 4 0在 0 2 上恒成立 当a 0时 2ax 4 0恒成立 当a 0时 要求4a 4 0恒成立 即a 1 a的取值范围是 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 2016 苏州模拟 定义在r上的函数f x 满足 f x f x 1 f 0 4 则不等式exf x ex 3 其中e为自然对数的底数 的解集为 答案 解析 设g x exf x ex x r 则g x exf x exf x ex ex f x f x 1 f x f x 1 f x f x 1 0 g x 0 y g x 在定义域上单调递增 exf x ex 3 g x 3 g x g 0 x 0 0 又 g 0 e0f 0 e0 4 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0且x0 0 则a的取值范围是 答案 解析 2 当a 0时 f x 3x2 1有两个零点 不合题意 故a 0 f x 3ax2 6x 3x ax 2 若a 0 由三次函数图象知f x 有负数零点 不合题意 故a 0 又a 0 所以a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 已知函数f x ax3 3x 1对x 0 1 总有f x 0成立 则实数a的取值范围是 答案 解析 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 g x 与g x 随x的变化情况如下表 因此g x 的最大值为4 则实数a的取值范围是 4 1 2 3 4 5