染色与操作.doc

【第讲 染色与操作】【练习1】 （超常班）【分析】将个小正方形剪裁成个相同的长方形，就是将图形分割成个的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有黑，白，黑、白格数目不等，而的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到。（超常班）【分析】如图所示，将这个小方格黑、白相间染色，有个黑格，个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成个小长方形，那么个格应当是黑、白各个，与实际情况不符，所以不能剪裁成个由相邻两个方格组成的长方形。（超常班、超常班）【分析】这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。但从染色后整个图来看，黑格个，白格个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。【练习2】 （超常班）【分析】如图所示，相邻座位总是一黑一白；个座位分为白黑；因为只有个白座位，所以原来坐在黑座位上的人不可能都换到白座位上。所以不能换成。（超常班、超常班）【分析】划一个的方格表，其中每一个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但实际图中有个黑格，个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。（超常班）【分析】由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格。所以，它由出发回到，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。而小方格为个，每格爬过一次，就应该为步，不是偶数。于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到格。【练习3】 （超常班、超常班、超常班、超常班）【分析】开始时染黑个方格，这个方格的总周长不会超过，以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加。也就是说，所有黑格的总周长永远不会超过，而方格盘的周长是，所以不能将整个方格盘都染成黑色。【练习4】 （超常班）【分析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？如图所示，先在棋盘各交点处相间标上和，图中共有22个和23个。因为马走“日”字，每步只能从跳到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。（超常班）【分析】如图所示，将棋盘上的各点按黑白二色间隔着色。在中国象棋中，“马”走“日”字，可以看出，“马”走任何一步都是从黑色点走到白色点，或从白色点走到黑色点。所以，“马”从一色点跳到另一同色点，必定要跳偶数步。所以，不论开始时“马”在棋盘的哪个位置上，而且不论“马”跳多少次，要跳回原处，必定要跳偶数步。（超常班、超常班）【分析】设表示“马”所在点的行数（从上往下数），表示“马”所在点的列数（从左往右数）；“马”跳奇数步，跳到的位置的为偶数，“马”跳偶数步，跳到的位置的为奇数；棋盘上一共有个点，分别为奇、偶各占一半；所以有种可能，故选。【练习5】 （超常班、超常班、超常班、超常班）【分析】如果我们可以把个电话或个电话做到每台电话与个电话相连接，我们可以将分成个一组的共组以及个一组的共组。如图所示，每个点代表一台电话，每条线段表示其两个端点为相连接的两台电话，图为台电话的情形，图为台电话的情形。所以我们可以把台电话中的每台电话