数学竞赛刍议——基于对新加坡数学竞赛的分析.pdf

教育纵横2 0 1 4 年1 月 数学竞赛刍议 基于对新加坡数学竞赛的分析 石河子大学师范学院 刘超 在全世界范围内 数学竞赛在为一个国家选拔和培 养数学人才 建立数学资优生资源库以及选拔最优秀人 才参加国际奥林匹克数学竞赛等方面都起着非常重要的 作用 新加坡的中学很早就开始组织校内 校际间的数学 竞赛 不只是成绩优秀的学生 一般学生也被鼓励参与这 些竞赛 在新加坡 许多学校已把学生参加各类数学竞赛 作为考核教师绩效的指标之一 据新加坡数学会的统计数据 表1 在2 0 0 9 2 0 11 年 间 参加国家级别数学竞赛 简称S M O 的学生人数逐年 递增 S M O 已成为新加坡国内最具影响力的数学赛事 表1 S M O 参与人数统计表 年限 初中 高中开放大学合计 2 0 0 94 9 3 33 3 5 41 8 7 71 0 1 6 4 2 0 1 05 0 8 23 4 5 21 9 9 21 0 5 2 6 2 0 1 15 0 4 83 5 9 22 0 2 81 0 6 6 6 数学竞赛的影响力已经渐渐从少数的数学资优生扩 展到踊跃参加竞赛的每一位学生 数学竞赛在一定程度 上扩展了学生的数学视野 这对教师的日常数学教学实 践以及教学方式产生了积极的影响 毫不夸张地讲 数学 竞赛在很大程度上推动了新加坡数学教育的发展 本文 将通过分析新加坡近几年的数学竞赛的实际情况 剖析 其特征及其对传统数学教育的影响 一 新加坡数学竞赛介绍 在新加坡 各级各类学校以及专业机构都可以举办 数学竞赛 而这其中 最具影响力的是由新加坡数学会举 办的数学竞赛 简称S M O S M O 每年都会吸引最多的学生 参与 而且关于S M O 的所有讯息都可以通过新加坡数学 会的出版物获得 新加坡数学会关于举办S M O 的目的是 这样表述的 1 检测参与者的独创性和问题解决能力 2 发现和激励数学人才 显然 目标 1 是先于目标 2 的 目标 1 是与数学教育紧密相连的 一直以来 新加坡 数学教育的核心是问题解决 目标 2 又可拆分为两个子 麓熏糕麟中 毒l 初中版 目标 一是发现和激励数学人才 即从国家发展的角度出 发 为新加坡选拔优秀数学人才 二是让学生认识到数学 竞赛在培养人才方面的积极作用 如兴趣爱好 信心和能 力等 除s M o g b 新加坡其他级别的数学竞赛一般不把为 国家选拔数学人才作为目标 其出发点和落脚点在于为广 大学生提供学校之外学习数学的机会 认为无论是数学资 优生 还是一般学生 都可以从中获益 研究表明 在新加 坡 数学竞赛已不再是少数数学资优生的 特权 对于大 多数学生来说 参与数学竞赛也可以丰富他们的问题解决 经验 数学竞赛的组织者也不再把举办竞赛的目的局限于 选拔数学人才 而是更加强调数学竞赛所考查的数学知识 与学校数学课堂教学的联系 使教师和学生逐渐地改变 课堂教学是一回事 竞赛是另一回事 的错误认识 自1 9 9 3 年以来 s M o 解题手册 等相关资源的出版使 得S M O 在学生中的普及度日益广泛 并且一直以来 S M O 都 是把 提高学生数学问题解决技巧 作为其核心目标之一 S M O 的历年试题不仅可以作为学生参加竞赛的复习资料 而且还可以用作数学教学中的练习题或课后作业题 二 数学竞赛在新加坡数学教育中的角色分析 一 数学竞赛为学生提供了在学校常规教学之外学 习数学的机会 在新加坡 由于学生参加各级各类竞赛的热情高涨 新加坡的学校也为学生参加竞赛开设了相关辅导课程 许多学校要么用自己的数学教师 要么外聘数学竞赛教 练 多为大学数学教师或者已经退休的数学教师 来讲授 这些与竞赛相关的课程 实践表明 在新加坡的许多学校 里 这些竞赛课程已逐步演变为一般课程 即便不为参加 竞赛 学校也会开设这些课程 以丰富学生的数学知识和 训练数学思维方法 一般而言 各类数学竞赛都没有固定的考试大纲 通 过新加坡历年的竞赛试题可以发现 数学竞赛考查的内 容常常是学校数学课程之外的知识 而在数学课程的限 制之外延伸学生的数学学习是培养他们数学问题解决能 万方数据 2 0 1 4 年1 月教育纵横 力的重要步骤 这会在很大程度上提升学生学习数学的 兴趣和信心 然而 由于繁重的教学任务和有限的教学时 间 教师常常在课堂教学中忽视了这些课外知识 竞赛辅 导课程的开设恰好弥补了这一不足 因为这些竞赛课程 给学生提供在常规的数学学习内容之外 学习其他数学 知识的机会 竞赛辅导课程的开设不单单是让学生学习 常规数学之外的数学知识 也在很大程度上实现了学生 热爱数学 学习 理解高层次数学思维方法的目标 通过对过去几年S M O 竞赛试题的分析发现 许多试 题所涉及的数学知识都需要选手们熟练地掌握学校数学 课程之外的其他数学知识内容 总体来看 这些涉及 课 外 数学内容的考题可以分为以下三大类 类型1 不需要复杂的数学知识就可以解决的问题 以如下两道试题为例 出自S M O 2 0 0 5 1 9 础的最后两位是 A 2 1B 8 1 C 0 9D 6 lE 0 1 2 5 0 x 4 9 x 4 8 x 4 7 x x 3 x 2 x1 的末尾为0 的个数为 A 8B 9C 1 0D 1 l E 1 2 以上两道题是S M O 初中级别 初一 初二水平 的试 题 两个问题都是数论方面的 涉及初等数论中 模 费 马小定理 的知识 实际上 学生即便没有初等数论的知 识背景 也可以解决这一类问题 只要他们能理解问题1 中 最后两位数的内涵是什么 以及问题2 中 一个数的 末尾有多少个0 的本质 然后再应用适当的启发式策略 探讨问题 例如 先尝试用一个较小的数找规律 就可以 进行求解 这样的学习经历对于数学基础薄弱的学生来 说是必不可少的 而且这类问题的解题经验还会反作用 于学生的常规数学学习 这符合新加坡基础教育的要求 类型2 基于问题的求解帮助学生加深对数学知识和 方法的理解 该类型的试题通常指向那些在学校数学课程中不作 具体要求或不进行深究的数学知识或内容 即便这些问 题的知识背景也是学校数学所涉及的 对于这些知识或 内容的掌握势必会激发学生的数学学习兴趣 并加深对 数学知识的理解 以下三道题就是这一类型的问题 出自 S M O 2 0 0 7 3 在A A B C 中 A B 1 B C 2 0 0 7 A C a 并且 为整数 求仉 4 已知n b c d 为整数 并且 a 2 b 2 c 2 d 2 2 9 求矛 6 2 c 2 扩的值 5 求 塑 兰塑 二 塑兰型的值 3 水一H L 且 问题3 是考查三角形的三边关系 在新加坡的普通数 学课程中 并没有明确地给出三角形三边关系的不等式 学生主要学习三角形的角的关系 边的关系 以及相似三 角形 全等三角形的边角关系等 该类型问题填补了数学 课程关于这一知识点的不足 而且这一类问题的频繁出 现也使得新加坡最新修订的数学课程标准不得不把这一 内容纳入补充课程之中 问题4 提供了处理方程问题的新 思路 如果学生按照解方程的常规方法直接求解 那么就 无从下手 学生必须通过观察表达式的特点 去发现问题 的实质 该方程含有四个未知数 而且方程左边是两个平 方数的乘积 再结合方程右边是一个质数 故必须满足左 边两式子的值只能是l 或2 9 在此思路下 问题就可迎刃 而解 问题5 考查学生面对复杂运算时 能否运用平方差 公式将分子中的四项首先两两合并 然后进行因式分解 以简化运算 这其实就是检验学生对于基本的数学公式 能否做到灵活运用 类型3 需要新知识和较高技巧才能解决的问题 这一类竞赛题与学生课堂学习所得的知识没有任何 联系 而且 这类试题所涉及的知识常常具有高等数学背 景 涉及较高层次的数学思维 无论对于数学学优生 还 是一般学生 都是一个不小的挑战 这一类试题可以让学 生在中学阶段就接触到大学数学的知识和思维方法 如 以下两个问题 出自S M O 2 0 1 0 6 冷弛 2 万知 求 斋 斋 州斋 等 的值 7 求 可孓污孓i 西蕊的值 对于问题6 需要学生掌握求级数和的特殊技巧 即 所谓的 高斯法 另一方面 问题7 要求学生首先能推导 出解决此类问题的一般公式 然后套用该公式解决有限 项的求和问题 二 培养学生的高层次数学思维能力 加强学生的高层次数学思维的学习和训练是培养学 生创新能力的一个重要手段 如上所述的几道竞赛题 其 中有很多是要利用高层次的数学思维才能解决的 例如 教师基于学生对于数学等式的错误认知进行教学设置 这其实也是培养高层次数学思维的一种有效方式 以如 下两个表达式为例 a b 2 孑 6 2 a b 3 a 3 b 3 不难发 现 学生之所以会犯这样的错误 其本质是对分配率的错 误推广 即学生错误地认为 由等式2 a b 2 a 2 b 即可推 导出 a b 2 a 2 b 2 同理由3 a b 3 a 3 b 推导出 a b 3 初中版中 擞 囊霾黧鬟燃 万方数据 教育纵横2 0 1 4 年1 月 a 3 b 3 我们常说 错误也是一种资源 也深知学生的错误 是有着深刻的认识根源的 基于学生如上的错误 在教学 时可以提出如下的问题 一旦假定 a b 2 a Z b 2 成立 那 么n 6 应满足什么条件 如果 a b 3 a 3 b 3 成立 那么o b 的取值是什么 其实S M O 的一些试题就是从这个角度去 考查的 如以下试题 出自S M O 2 0 0 7 2 0 0 5 8 若戈 X 2 戈3 是方程 1 1 叫 3 1 3 叫 3 2 4 2 x 3 的根 那么计慨 帆 的值为 A 3 0B 3 6C 4 0D 4 2E 4 4 9 求所有满足方程 3 x 2 7 2 5 6 2 5 2 3 5 一6 5 2 2 的z 的和 分析发现 问题8 问题9 符合 a b 2 口2 6 2 a b k a 3 b 的形式 学生在反思自己原先错误认识的基础上 就 会正确地判断出如若这两个式子成立 那么n b 的取值一 定为0 在此基础上 问题就可获得解决 三 挽救 基础教育阶段已经被新课程 舍弃 的数 学知识 为应对社会发展的需要 新加坡基础教育课程也进 行了多次改革 删除了一些内容 有些删除的知识虽然在 基础教育阶段已不作要求 但到了高等教育阶段 这些知 识却对学生高等数学的学习起着至关重要的作用 所以 虽然有些内容在基础教育阶段的数学课程中不再出现 但这些知识却是S M O 的 常客 因此 从这个意义上说 S M O 起到了 挽救 这些数学知识的作用 尤其是随着社 会的不断进步 科技发展迅速 信息技术越来越多地被要 求融人数学教学 在新加坡 所有中学生被要求必须熟练 应用一系列的数学软件 由此 信息技术对于数学教学变 得不可或缺 学校的测验甚至是关乎命运的国家考试也 都允许使用信息技术工具 以如下两道试题为例 10 令仁x 6 2 b 2 x 2 一 6 则 A 1B 一1 C 2 a 一1D 1 2 n E 不存在 11 化简1 4 4 7 4 了 7 4 了 这一类型的问题在新加坡最新出台的数学课程标准 中已不作要求 因为此类问题的答案经由计算器很容易 得出 然而 这一类问题所包含的代数运算被认为是基础 数学的重要内容 并且在S M O 中 对于这一类试题的求解 是不允许借助计算器等信息技术的 以次数高于2 的多项 式方程的求解为例 其根与系数的关系仍然需要学生掌 握 如此试题 求方程戈4 4 1 l x 2 8 石3 h 所有实根的平方 和 出自S M O 2 0 0 9 就是关于推广的韦达定理的应用 四 基于竞赛题编制新数学题 数学竞赛的另外一个重要作用是基于竞赛试题 霞爨骥鞠霸鹾i 中 毒i 初中版 生产 新的数学问题用于课堂教学 由于很多竞赛题的 题设条件中都涉及年份数字 因此 将此类问题进行改 编 即可变成课堂教学中的好的数学问题 此外 当竞赛题 所涉及的内容与课堂教学相关时 也可以通过创新竞赛题 来制造新题用于课堂教学 例如在讲授余弦定理这一部分 内容时 可以创新性地将竞赛题中的根式不等式问题进行 创新 如下列问题 佞丽 产而虿 万孺 题 设中的每一个根式均为一个两边夹6 0 度角的j 角形的第 i 边 并且三个三角形是具有公共边的 如此一来 这个根 式问题就可转化为余弦定理的问题 这个根式不等式的本 质就是三角形两边之和大于第三边 币0 用竞赛题来创造新 的数学问题是数学教育的一个重要方面 教师若善于利用 这一点 对于训练学生的数学思维有重要意义 三 几点启示 基于对新加坡竞赛的分析 可以发现 新加坡举办数 学竞赛的目的有两个 一是为学生提供在常规数学学习 之外学习数学的机会 二是培养学生的高层次数学思维 能力 并且 新加坡的各个级别的数学竞赛无论在组织形 式上还是考查内容上都尽量与学校常规数学教育相贴 近 虽说也有不足 但其有很多经验是值得我们借鉴 第一点 数学竞赛在世界上主要国家的普及和发展 在一定意义上说明了它有自身的存在价值 但是应该看 到 事物总是具有两重性 并会在一定条件下向对立方面 转化 在我国 数学竞赛的负面效应近年来已日渐明显 过 头的竞赛活动从某种程度上已对基础教育的正常运行构 成了威丑办 数学大师丘成桐曾经说过 一个人的成长是多 方面的 不仅是学问的增长 还包括为人处事 但一些学生 进入奥数训练后 每天埋头学习 朋友减少了 接触的知识 面也很狭窄 有的学生因此毁掉了自己的前途 这其实是 我国很长一段时间内数学竞赛以及 奥数 的真实写照 在我国 一提及数学竞赛 无论是教师 学生还是家 长 大都认为是与一般的学校数学教育不可同日而语 不 在一个水平上的 一般认为 凡是与数学竞赛有关的 必 然是脱离数学教材的难度极大 技巧性非常高的数学知 识 也正因如此 我国的各个级别的数学竞赛也大都遵循 了这一模式 所涉及的试题内容大都脱离常规数学教育 难题 怪题 偏题甚嚣尘卜 学生为了参加这些竞赛 不得 不在学校数学教育的基础E 参加各类竞赛辅导班 题海 战术式地 魔鬼训练式地被灌输一些纯技巧性的内容 这 也是我国一些数学家 教育家极力反对数学竞赛的主要 原因 在这一体制下的竞赛及竞赛辅导 对学生来说是一 万方数据 2 0 1 4 年1 月教育纵横 种折磨和伤害 在我国 许多竞赛教材 资料也在内容涵 盖和试题难度上竞相提高 如小学阶段的竞赛教材就已 经包含高中知识内容 学生对于这些知识无法理解 只能 死记硬背 记忆解题套路 这对于学生身心发展以及数学 认知的发展没有一点益处 更谈不上与基础教育课程发 展的整合 基于对新加坡S M O 的分析可以发现 数学竞赛 若想良性发展 那么要基于学生的兴趣 不能强迫 应多 地关注依托数学竞赛如何培养学生的数学学习兴趣等方 面 从国际上来看 包括新加坡在内的国外学生参加数学 竞赛的学习和比赛完全出于兴趣与自愿 这一点非常重 要 实际上 数学竞赛本身从结构到解法都充满着艺术的 魅力和诱人的趣味 它吸引学生去进行积极的探索 而在 探索中又亲自体验到科学思想的智慧光辉和科学方法的 创造力量 更进一步产生向往感 此外 良性的数学竞赛 也可以给中学数学 第二课堂 注入新的活力 应效仿新 加坡数学竞赛的做法 使得数学竞赛真正为学生提供在 学校常规教学之外学习数学的机会 第二点 数学竞赛若想要有助于推进中学数学教学 改革 还必须改革当前的一些制度弊端 必须遏制数学竞 赛的过热现象 严格控制竞赛频度 淡化名次的宣传和挂 联作用 要制定相应的有效的措施 强化对竞赛和训练的管 理 杜绝商业行为的介入 对新加坡的数学竞赛的分析表 明 新加坡数学竞赛的所有参考资料等资源大都由新加坡 数学会统一印刷出版 如 S M 0 解题手册 等 这一体制有效 避免了竞赛资料的过度泛滥 在我国 各出版社出版的重复 性的竞赛辅导资料在一定程度上加重了学生的负担 第三点 数学竞赛应改变传统的过难 过偏 不符合 学生认知发展规律的现状 尽量追求试题难度的常态化 尽可能避免与普通数学教育的脱节 基于对新加坡数学 竞赛的分析 我们可以发现 新加坡S M O 的举办目的有两 个 主要的目的是检测参与者的问题解决能力和解题策 略的独创性 其次才是发现和激励数学人才 其实我国老 一辈的数学教育家也持有类似的观点 杨泰良先生认为 克服数学竞赛的负面效应 首先要澄清错误观念 端正指 导思想和目的意识 他认为 数学竞赛应是基础数学教育 的活化剂 而不是另立门户的英才教育 陕西师范大学罗 增儒教授也把数学竞赛定位为 较高层次的基础教育 和 开发智力的素质教育 他认为 数学竞赛的教育 其对 象是中学生 其教育的载体是中学生可以接受的奥材匹 克数学 其主战场在中学 因此 它是基础教育 虽然内容 常有些大学的背景 教练亦不乏大学教师 但这只是提高 了教育的层次 而没有脱离中学数学教育的范围 罗教授 认为 求解竞赛题离不开扎实的基础知识 但当命题者把 数学家的前沿成果变为中学生可以接受的竞赛试题时 主要的不是要检查学生是否掌握了这些知识 而是要考 查学生对数学本质的洞察力 创造性和数学机智 我国当 前的数学竞赛训练和考试中常常把记忆题型和操练作为 根本 这一模式不仅违背素质教育的精神 而且还会根本 性地损害众多学生的思维能力发展 我们知道 在常规数学 教育中 学生在解决问题过程中的数学思维大致表现在以 下几个矛盾过程 一是特殊化与一般化 二是猜测和验证 三是评估和监控 在这一过程中 学生经历比较 分析 综 合 判断等一系列思考过程 而数学竞赛训练仅仅是通过反 复练习 记忆一般并不重要的固定搭配 把学生的思路引 向偏途 基于对新加坡数学竞赛的分析 我们认为 竞赛若 要和常规数学教育进行关联 那么必须多抓普及 具体措施 包括 竞赛的试题和训练材料应更多地贴近教学内容 贴 近生活和一般学生的智力发展水平 增强数学竞赛的趣味 性和数学思想的培养性 力戒偏题 怪题和高难度的题目 应尝试将数学竞赛题编写成儿童喜闻乐见的系列故事 第四点 新加坡数学竞赛的另外两个作用也应引起 我们的重视 一个是 挽救 基础教育阶段的已经被新课 程 舍弃 的数学知识 在我国基础教育阶段 也有同样的 问题 我们知道 新一轮的课程标准删减了不少的内容 这些删减的内容当中有一部分在进人大学之后的高等数 学教育中还是要用到 而且有些高等数学的知识内容就 是以这些知识作为基础的 因此 我国的各级各类数学竞 赛的命题人也应考虑到这一点 让那些以后在大学的数 学学习中要用到的知识内容在当前的竞赛试题中占有一 席之地 为学生日后的数学学习打下基础 另一个是基于 竞赛题编制新数学问题 许多教师苦于无法编制新的数 学问题用于课堂教学 数学竞赛的试题及模拟题为我们 提供了一个路径 教师可以结合相关知识点 改编竞赛 题 由于竞赛题的质量普遍较高 此类数学问题用于课堂 教学 势必会对学生的数学学习起到积极的作用 杨乐院士曾指出 研究数学如同参加马拉松比赛 而拿到数学竞赛金牌仅仅意味着在马拉松跑的前二三百 米领先 不但没有什么值得沾沾自喜的 而且还潜伏着因 体力分配不当而可能出现的危机 他特别提醒道 学数 学不必急功近利 应着眼于自身的长远发展 由此可见 包括 奥数 在内的数学竞赛若想良性发展 首先要遵循 学生的认知发展规律 不能过度地拔高 其次还必须加强 与学校常规数学教育的实质关联 新加坡的数学竞赛告诉 我们 数学竞赛与常规数学教育可以实现高效地整合 也只 初中版中 毒 I j 目曦蕊霆参 万方数据 教育纵横2 0 1 4 年1 月 巧借初中数学习题的教学 培养学生的数学思维能力 江苏省海安县墩头镇吉庆中学江晓峰 利用数学知识处理实际问题能力的培养是中学数学 教学不断努力的方向和目标 初中数学习题教学作为数 学课堂教学中的一个重要组成部分 一直是许多初中数 学教师所探讨的常见话题 从初中数学的学习 教授到研 究 都离不开数学习题的探究 数学习题同时也是当前用 于中考选拔人才的一个有效工具 本文笔者根据自身处 于初中数学教育教学的第一线的实战经验 以初中数学 的习题教学这一话题为探究载体 通过对典型习题的解 析过程进行分析 即采取理论联系实际的方式 着重阐述 初中数学习题的教学在提炼数学基本思想和方法 培养 数学基本能力方面的重要作用和具体体现 希望能给读 者带来一点帮助 一 由 动与静 的合理变换 实现学生数学 思维能力 广泛性 灵活性和变通性 的提升 在初中数学习题解题中 遇到复杂 繁难的问题时 转换思维方法往往是处理问题的重要方法之一 在错综 复杂的运动变化问题中 寻找暂时相对静止的量 在相对 静止的数学问题中 探寻运动的状态量 通过静止和运动 的相互转化中进行考查 学生在处理问题的过程中 学生 的数学思维能力得到有效培养和提升 体现了思维的灵 活性和变通性 例1 在如图1 所示的等腰梯形4 B C D 和等腰R t A P M N 中 与4 点重合在一起 A B f f C D A 三 A B 1 0 m C D 4 m M N 1 0 m 若等腰梯形保持原位置不动 R t A P M N 以v l m s 的速度向右平移至 与曰点重合 二桨A3 日肘越AN日M 朋 o 1 R t A P M N 在运动过程中 与梯形重叠部分的图形 形状是如何变化的 2 若R t A 用州移动的时