山东省淄博市博山区第六中学高考数学复习 立体几何汇编.doc

高考立体几何文科汇编16、如图，在四棱锥中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=60，e、f分别是ap、ad的中点求证：（1）直线ef平面pcd；（2） 平面bef平面pad（19）（本小题满分13分）如图，为多面体，平面与平面垂直点在线段上，oab，oac，ode，odf都是正三角形。（）证明直线；（）求棱锥的体积.17（本小题共14分）如图，在四面体pabc中，pcab，pabc,点d,e,f,g分别是棱ap,ac,bc,pb的中点.（）求证：de平面bcp； （）求证：四边形defg为矩形；（）是否存在点q，到四面体pabc六条棱的中点的距离相等？说明理由.20（本小题满分12分）如图，四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，abad，点e在线段ad上，且ceab。 （i）求证：ce平面pad；（11）若pa=ab=1，ad=3，cd=，cda=45，求四棱锥p-abcd的体积18（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点e在侧棱上，点f在侧棱上，且,（i） 求证：；（ii） 求二面角的大小。19（本题满分12分）如图3，在圆锥中，已知的直径的中点（i）证明：（ii）求直线和平面所成角的正弦值18（本小题满分12分）如图，四边形abcd为正方形，qa平面abcd，pdqa，qa=ab=pd（i）证明：pq平面dcq；（ii）求棱锥qabcd的的体积与棱锥pdcq的体积的比值20（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形， （i）证明：平面sab； （ii）求ab与平面sbc所成的角的大小。19（本小题满分12分）如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，60（）证明：；（）证明：20、（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，高。求： 异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）； 四面体的体积。19（本小题共l2分）如图，在直三棱柱abca1b1c1中，bac=90，ab=ac=aa1=1，延长a1c1至点p，使c1pa1c1，连接ap交棱cc1于d（）求证：pb1平面bda1；（）求二面角aa1db的平面角的余弦值；17（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，平面， ，为中点（）证明：/平面；（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正切值18（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面abcd为平行四边形，底面abcd（i）证明：；（ii）设pd=ad=1，求棱锥d-pbc的高（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，垂足落在线段上（）证明：；（）已知，求二面角的大小20（本小题满分12分，（）小问6分，（）小问6分） 如题（20）图，在四面体中，平面abc平面， （）求四面体abcd的体积； （）求二面角c-ab-d的平面角的正切值。高考立体几何文科答案汇编（19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.（i）证明：设g是线段da与eb延长线的交点. 由于oab与ode都是正三角形，所以=，og=od=2，同理，设是线段da与fc延长线的交点，有又由于g和都在线段da的延长线上，所以g与重合.=在ged和gfd中，由=和oc，可知b和c分别是ge和gf的中点，所以bc是gef的中位线，故bcef. （ii）解：由ob=1，oe=2，而oed是边长为2的正三角形，故所以过点f作fqdg，交dg于点q，由平面abed平面acfd知，fq就是四棱锥fobed的高，且fq=，所以（17）（共14分）证明：（）因为d，e分别为ap，ac的中点，所以de/pc。又因为de平面bcp，所以de/平面bcp。（）因为d，e，f，g分别为ap，ac，bc，pb的中点，所以de/pc/fg，dg/ab/ef。所以四边形defg为平行四边形，又因为pcab，所以dedg，所以四边形defg为矩形。（）存在点q满足条件，理由如下：连接df，eg，设q为eg的中点由（）知，dfeg=q，且qd=qe=qf=qg=eg.分别取pc，ab的中点m，n，连接me，en，ng，mg，mn。与（）同理，可证四边形meng为矩形，其对角线点为eg的中点q，且qm=qn=eg，所以q为满足条件的点.20本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分 （i）证明：因为平面abcd，平面abcd，所以因为又所以平面pad。（ii）由（i）可知，在中，de=cd又因为，所以四边形abce为矩形，所以又平面abcd，pa=1，所以18（本小题满分13分）证明：（1）中点，连接bo2直线bo2是由直线ao1平移得到共面。 （2）将ao1延长至h使得o1h=o1a，连接/由平移性质得=hb18本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分）解法1：（）由已知可得于是有所以又由 （）在中，由（）可得于是有ef2+cf2=ce2，所以又由（）知cf c1e，且，所以cf 平面c1ef，又平面c1ef，故cf c1f。于是即为二面角ecfc1的平面角。由（）知是等腰直角三角形，所以，即所求二面角ecfc1的大小为。解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 （） （），设平面cef的一个法向量为由即设侧面bc1的一个法向量为设二面角ecfc1的大小为，于是由为锐角可得，所以即所求二面角ecfc1的大小为。19（本题满分12分）解析：（i）因为又内的两条相交直线，所以（ii）由（i）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角在在解：（1）设，则 令 则 单调递增极大值单调递减由上表易知：当时，有取最大值。证明：（2） 作得中点f，连接ef、fp 由已知得： 为等腰直角三角形， 所以.18解：（i）由条件知pdaq为直角梯形因为qa平面abcd，所以平面pdaq平面abcd，交线为ad.又四边形abcd为正方形，dcad，所以dc平面pdaq，可得pqdc.在直角梯形pdaq中可得dq=pq=pd，则pqqd所以pq平面dcq. 6分 （ii）设ab=a.由题设知aq为棱锥qabcd的高，所以棱锥qabcd的体积由（i）知pq为棱锥pdcq的高，而pq=，dcq的面积为，所以棱锥pdcq的体积为故棱锥qabcd的体积与棱锥pdcq的体积的比值为1.12分20解法一： （i）取ab中点e，连结de，则四边形bcde为矩形，de=cb=2， 连结se，则 又sd=1，故， 所以为直角。3分 由， 得平面sde，所以。 sd与两条相交直线ab、se都垂直。 所以平面sab。6分 （ii）由平面sde知， 平面平面sed。 作垂足为f，则sf平面abcd， 作，垂足为g，则fg=dc=1。 连结sg，则， 又， 故平面sfg，平面sbc平面sfg。9分 作，h为垂足，则平面sbc。 ，即f到平面sbc的距离为 由于ed/bc，所以ed/平面sbc，e到平面sbc的距离d也有 设ab与平面sbc所成的角为， 则12分 解法二： 以c为坐标原点，射线cd为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz。设d（1，0，0），则a（2，2，0）、b（0，2，0）。又设 （i），由得故x=1。由又由即3分于是，故所以平面sab。 （ii）设平面sbc的法向量，则又故9分取p=2得。故ab与平面sbc所成的角为19（i）证法一：因为平面abcd，且平面abcd，所以，又因为ab=2ad，在中，由余弦定理得，所以，因此，又所以又平面add1a1，故证法二：因为平面abcd，且平面abcd，所以取ab的中点g，连接dg，在中，由ab=2ad得ag=ad，又，所以为等边三角形。因此gd=gb，故，又所以平面add1a1，又平面add1a1，故 （ii）连接ac，a1c1，设，连接ea1因为四边形abcd为平行四边形，所以由棱台定义及ab=2ad=2a1b1知a1c1/ec且a1c1=ec，所以边四形a1ecc1为平行四边形，因此cc1/ea1，又因为ea平面a1bd，平面a1bd，所以cc1/平面a1bd。16解（）折起前是边上的高，当折起后，ad，ad，又db，平面，ad 平面平面abd（）由（）知，da,db=da=dc=1，ab=bc=ca=,从而 表面积：20、解： 连， ， 异面直线与所成角为，记， 异面直线与所成角为。 连，则所求四面体的体积。解法一：（）连结ab1与ba1交于点o，连结od，c1d平面aa1，a1c1ap，ad=pd，又ao=b1o，odpb1，又od面bda1，pb1面bda1，pb1平面bda1（）过a作aeda1于点e，连结bebaca，baaa1，且aa1ac=a，ba平面aa1c1c由三垂线定理可知beda1bea为二面角aa1db的平面角在rta1c1d中，又，在rtbae中，故二面角aa1db的平面角的余弦值为解法二：如图，以a1为原点，a1b1，a1c1，a1a所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系a1b1c1a，则，（）在paa1中有，即，设平面ba1d的一个法向量为，则令，则，pb1平面ba1d，（）由（）知，平面ba1d的一个法向量又为平面aa1d的一个法向量故二面角aa1db的平面角的余弦值为（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。 （）证明：连接bd，mo，在平行四边形abcd中，因为o为ac的中点，所以o为bd的中点，又m为pd的中点，所以pb/mo。因为平面acm，平面acm，所以pb/平面acm。 （）证明：因为，且ad=ac=1，所以，即，又po平面abcd，平面abcd，所以，所以平面pac。 （）解：取do中点n，连接mn，an，因为m为pd的中点，所以mn/po，且平面abcd，得平面abcd，所以是直线am与平面abcd所成的角，在中，所以，从而，在，即直线am与平面abcd所成角的正切值为(18)解：（）因为， 由余弦定理得 从而bd2+ad2= ab2，故bdad又pd底面abcd，可得bdpd所以bd平面pad. 故 pabd（）如图，作depb，垂足为e。已知pd底面abcd，则pdbc。由（）知bdad，又bc/ad，所以bcbd。故bc平面pbd，bcde。则de平面pbc。由题设知，pd=1，则bd=，pb=2，根据bepb=pdbd，得de=，即棱锥dpbc的高为（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。 （）证明：由ab=ac，d是bc中点，得，又平面abc，得因为，所以平面pad，故 （）解：如图，在平面pab内作于m，连cm。因为平面bmc，所以apcm。故为二面角bapc的平面角。在在，在中，所以在又故同理因为所以即二面角bapc的大小为20（本题12分）解法一：（i）如答（20）图1，过d作dfac垂足为f，故由平面abc平面acd，知df平面abc，即df是四面体abcd的面abc上的高，设g为边cd的中点，则由ac=ad，知agcd，从而由故四面体abcd的体积 （ii）如答（20）图1，过f作feab，垂足为e，连接de。由（i）知df平面abc。由三垂线定理知deab，故def为二面角cabd的平面角。 在 在中，ef/bc，从而ef：bc=af：ac，所以 在rtdef中， 解法二：（i）如答（20）图2，设o是ac的中点，过o作ohac，交ab于h，过o作omac，交ad