专题(教师) 函数与方程.doc

专题 函数与方程1函数零点的概念零点不是点！(1)从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标2函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与 有交点函数yf(x)有 3函数零点的判断如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 .那么，函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根4二分法的定义对于在a，b上连续不断，且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的 所在的区间 ，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法5用二分法求函数f(x)零点近似值(1)确定区间a，b，验证 ，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；若 ，则x1就是函数的零点；若 ，则令bx1，(此时零点x0(a，x1)；若 ，则令ax1，(此时零点x0(x1，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)1函数f(x)x25x6的零点是()A2,3B2,3C2，3D2，3解析由f(x)x25x60，得x2,3.即函数f(x)的零点答案B2(2012北京)函数f(x)()x的零点个数为()A0B1C2D3答案B解析因为y在x0，)上单调递增，y()x在xR上单调递减，所以f(x)()x在x0，)上单调递增，又f(0)10，所以f(x)()x在定义域内有唯一零点，选B.3函数f(x)x3x2x1在0,2上()A有两个零点B有三个零点C仅有一个零点D无零点答案C解析由于f(x)x3x2x1(x21)(x1)令f(x)0，得x1,1.因此f(x)在0,2上仅有一个零点4下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是()答案B解析用二分法只能求变号零点的近似值，而B中的零点左右值同号解析cf(0)，acaf(0)0恒成立，f(x)在(0,1)上单调递增又f(0)10.f(x)在区间(0,1)上存在一个零点【答案】1(3)判断下列函数在给定区间是否存在零点f(x)x23x18，x1,8；f(x)log2(x2)x，x1,3【解析】f(1)123118200，f(1)f(8)log2210，f(3)log253log2830，f(1)f(3)0.故f(x)log2(x2)x，x1,3存在零点【答案】存在零点存在零点探究1函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)3”是“函数f(x)x2，x0，k存在零点的”()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解析】若f(x)存在零点，则k2.【答案】A(3)(2013陕西宝鸡市二模)已知a0且a1，函数f(x)ax|logax|的零点个数为_【答案】1或2或3或4二、零点性质的应用例2若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围【解析】令f(x)0，得|4xx2|a0.即|4xx2|a.令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)、h(x)的图像由图像可知，当0a4，即4a0时，g(x)与h(x)的图像有4个交点，即f(x)有4个零点故a的取值范围为(4,0)探究2函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间存在着密切的联系，方程f(x)0的根就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0.然后通过方程进行研究，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决思考题2(1)(2012全国大纲)已知函数yx33xc的图像与x轴恰有两个公共点，则c()A2或2B9或3C1或1D3或1【解析】设f(x)x33xc，对f(x)求导，可得f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2，故选A.【答案】A(2)(2013朝阳区)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_【解析】画出函数f(x)图像如图要使函数g(x)f(x)k有两个不同零点，只需yf(x)与yk的图像有两个不同交点，由图易知k(，1)【答案】k(，1)例3若二次函数f(x)x22ax4在(1，)内有两个零点，求实数a的取值范围【解析】方法一据二次函数图像应满足：即解得2a.方法二运用韦达定理设x1，x2为方程x22ax40的两根，则有x1x22a，x1x24.要使原方程x22ax40的两根x1，x2均大于1，则需满足将代入上述不等式中，解之，得2a0，得a2或a1即可，解之得2a.【答案】2a探究3对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决，结合二次函数的图像从判别式，韦达定理、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件，这里涉及到三个“二次问题”的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用思考题3m为何值时，f(x)x22mx3m4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比1大【解析】(1)f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点方程f(x)0有两个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.(2)方法一设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1x22m，x1x23m4.由题意，知5m1.故m的取值范围为(5，1)方法二由题意，知即5m1.m的取值范围为(5，1)例4若方程x2xk0在(1,1)上有实根，求k的取值范围【解析】由x2xk0，得kx2x.它表示k是x的函数，定义域(1,1)求k的范围，即是求该函数值域由kx2x(x)2.1x1，k.即k的取值范围是，)探究4方程有实根(或函数有零点)但没有说有几个实根，这类问题可以考虑将其转化成求函数值域问题，关键是由方程经改写，将参数写成自变量的函数思考题4已知函数f(x)x2ax3a，当x2,2时，函数至少有一个零点，求a的取值范围【解析】函数f(x)x2ax3a在2,2上至少有一个零点，即方程x2ax3a0在2,2上至少有一个解将方程变形为x23a(x1)0.若x1，则40矛盾，x1.a(2x1或1x2)，令t1x，则at2(1t0或0t3)a1.当1t0时，a0，函数递减；当0t2时，a0，函数递减；当20，函数递增a7或a2.三、用二分法求方程的近似解例5求方程lnx2x60在2,3内的近似解(精确到0.01)【解析】令f(x)lnx2x6，取初始区间为2,3f(2)ln246ln220，将各区间中点及中点的函数值列表如下：区间中点值xn中点xn的函数值f(xn)(2,3)2.5f(2.5)0区间中点值xn中点xn的函数值f(xn)(2.5,2.75)2.625f(2.265)0(2.5,2.625)2.562 5f(2.562 5)0(2.5,2.562 5)2.531 25f(2.531 25)0(2.531 25,2.546 875)2.539 062 5f(2.539 062 5)0(2.531 25,2.539 062 5)2.535 156 25f(2.535 156 25)0|2.539 062 52.531 25|0.007 812 50.01，取x2.54，方程lnx2x60的近似解为2.54.【答案】2.54思考题5(1)为了求函数f(x)2xx2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(精确到0.01)如下表所示：x0.61.01.41.82.22.63.0f(x)1.161.000.680.240.240.701.00则函数f(x)的一个零点所在的区间是()A(0.6,1.0)B(1.4,1.8)C(1.8,2.2)D(2.6,3.0)【解析】函数零点位于区间端点异号的区间内，故选C.【答案】C(2)用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_【解析】因为f(0)0，由二分法原理得一个零点x0(0,0.5)；第二次应计算f()f(0.25)【答案】(0,0.5)f(0.25)本课时总结1函数零点的性质：(1)若函数f(x)的图像在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(2)若函数f(x)的图像在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点2函数零点的求法：求函数yf(x)的零点：(1)(代数法)求方程f(x)0的实数根(常用公式法、因式分解、直接求解等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)二分法(主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是指变号零点)3有关函数零点的重要结论：(1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不断的函数图像通过一重零点时(不是二重零点)，函数值变号；通过二重零点时，函数值可能不变号.1函数f(x)x的零点个数是()A0B1C2D无数个答案C解析令f(x)0，解x0，即x240，且x0，则x2.2(2011新课标全国文)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在区间为()A(，0)B(0，)C(，)D(，)答案C解析因为f()4320，所以f(x)ex4x3的零点所在的区间为(，)3函数f(x)cosx在0，)内()A没有零点B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点D有无穷多个零点答案B解析原函数f(x)cosx可理解为幂函数与余弦函数的差，其中幂函数在区间0，)上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图像，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x2，且1cos2，不难发现交点仅有一个正确选项为B.4. (2013郑州质检)函数f(x)lnx的零点的个数是()A0B1C2D3答案C解析由图可知，y与ylnx的图像有两个交点5(2013衡水调研卷)设x1，x2是方程ln|x2|m(m为实常数)的两根，则x1x2的值为()A4B2C4D与m有关答案A解析方程ln|x2|m的根即函数yln|x2|的图像与直线ym的交点的横坐标，因为函数yln|x2|的图像关于x2对称，且在x2两侧单调，值域为R，所以对任意的实数m，函数yln|x2|的图像与直线ym必有两交点，且两交点关于直线x2对称，故x1x24