【导与练】高考数学 高校信息化课堂 大题冲关 专题八 自选模块 第1讲 导数及其应用 理.doc

专题八自选模块第1讲导数及其应用【选题明细表】知识点、方法题号导数的几何意义及运算1、6利用导数解决单调性、极(最)值问题2、3、4、5、7利用导数解决方程根(或函数零点)问题10利用导数求参数的取值范围8利用导数解决不等式问题9、11一、选择题1.已知f(x)=x3+x2f(2)+2ln x,则f(1)等于(b)(a)32(b)-113(c)3(d)-3解析:f(x)=3x2+2xf(2)+2x,所以f(2)=322+22f(2)+22=13+4f(2),解得f(2)=-133,故f(x)=3x2-263x+2x,故f(1)=312-2631+21=-113,故选b.2.(2013浙江金华十校高三模拟)函数f(x)=12x-sin x的大致图象可能是(a)解析:f(x)=12-cos x在x(-3,3)时,cos x12,f(x)0,f(x)在(-3,3)内单调递减.研究四个选项,只有选项a符合,选a.3.(2013杭州市第三次质量检测)设函数f(x)=xex,则(d)(a)x=1为f(x)的极大值点(b)x=1为f(x)的极小值点(c)x=-1为f(x)的极大值点(d)x=-1为f(x)的极小值点解析:因为f(x)=ex+xex=ex(x+1),令f(x)=0,得x=-1.当x-1时,f(x)-1时,f(x)0.所以函数f(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,+)上单调递增,故x=-1为f(x)的极小值点.故选d.4.(2014高考新课标全国卷)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是(c)(a)(2,+)(b)(1,+)(c)(-,-2)(d)(-,-1)解析:由题意,得ax3-3x2+1=0存在唯一的正数解,a=3x-1x3,设h(x)=3x-1x3,x0,则h(x)=-3x2+3x4=3(1+x)(1-x)x4,令h(x)0得-1x0,0x1,令h(x)1或x0,观察图象可得a-2.故选c.5.设函数y=f(x)在(-,+)内有定义,对于给定的实数k,定义函数g(x)=f(x),f(x)k,k,f(x)k,设函数f(x)=x2+x+1ex-3,若对任意的x(-,+)恒有g(x)=f(x),则(a)(a)k的最大值为-2(b)k的最小值为-2(c)k的最大值为2(d)k的最小值为2解析:由题意f(x)k对xr恒成立,由f(x)=x2+x+1ex-3得f(x)=2x+1-1ex,令f(x)=0,即2x+1=(1e)x,由图象知x=0.在x(-,0)内,f(x)0,f(x)单调递增.f(x)min=f(0)=-2,k-2,选a.二、填空题6.设f(x)=ax3+3x2+2,若f(x)在x=1处的切线与直线x+3y+3=0垂直,则实数a的值为.解析:f(x)=3ax2+6x,f(1)=3a+6,由题意得,3a+6=3,a=-1.答案:-17.(2013浙江省金华十校高三一模)设函数y=f(x),xr的导函数为f(x),且f(x)=f(-x),f(x)f(x),则下列三个数:ef(2),f(3),e2f(-1)从小到大依次排列为.(e为自然对数的底数).解析:f(x)f(x),记f(x)ex=f(x),则f(x)=f(x)ex-exf(x)(ex)2=f(x)-f(x)ex0.f(3)f(2)f(1).f(3)e3f(2)e2f(1)e.f(3)ef(2)e2f(1).又f(x)为偶函数,f(3)ef(2)e2f(-1).答案:f(3)ef(2)e2f(-1)8.(2013温州市二模)f(x)=x3-x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为.解析:f(x)=3x2-2x-a,由f(x)在(-1,1)上恰有一个极值点,得f(-1)f(1)0,即(3+2-a)(3-2-a)0,解得1a5;当a=1时,f(x)=3x2-2x-1(合题意),当a=5时,f(x)=3x2-2x-5(不合题意),综上1a5.答案:1,5)三、解答题9.(2014温州一模)设函数f(x)=ax2+ln x.(1)求f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=(2a+1)x,若x(1,+)时,f(x)0.所以f(x)=2ax2+1x,当a0时,f(x)0,所以f(x)在(0,+)上是增函数.当a0时,令f(x)=0,得x=-12a,所以f(x)在(0,-12a)上是增函数,在(-12a,+)上是减函数.(2)令h(x)=f(x)-g(x),则h(x)=ax2-(2a+1)x+ln x,根据题意,当x(1,+)时,h(x)0恒成立.h(x)=2ax-(2a+1)+1x=(x-1)(2ax-1)x.当0a0恒成立.所以h(x)在(12a,+)上是增函数,且h(x)(h(12a),+),所以不符题意.当a12时,x(1,+)时,h(x)0恒成立.所以h(x)在(1,+)上是增函数,且h(x)(h(1),+),所以不符题意.当a0时,x(1,+)时,恒有h(x)0,故h(x)在(1,+)上是减函数,于是“h(x)0,得-2x2.f(x)的单调递增区间是(-2,-1)和(2,+).(2)由已知得f(x)=x-ln(x+1)2+a,且x-1.f(x)=1-2x+1=x-1x+1.当x1时,f(x)0;当-1x1时,f(x)0.当-12x1时,f(x)0,此时,f(x)单调递减;当1x0,此时,f(x)单调递增.f(-12)=-12+2ln 2+aa,f(2)=2-2ln 3+af(2).f(x)在-12,2上只有一个零点f(-12)0,f(2)0,或f(1)=0.由f(-12)0,f(2)0,得12-2ln 2a2ln 3-2;由f(1)=0,得a=2ln 2-1.实数a的取值范围为12-2ln 2a2ln 3-2或a=2ln 2-1.11.(2014温州一模)设ar,函数f(x)=x2e1-x-a(x-1).(1)当a=1时,求f(x)在(34,2)内的极大值;(2)设函数g(x)=f(x)+a(x-1-e1-x),当g(x)有两个极值点x1,x2(x1x2)时,总有x2g(x)f(x1),求实数的值.(其中f(x)是f(x)的导函数)解:(1)当a=1时,f(x)=x2e1-x-(x-1),则f(x)=(2x-x2)e1-x-1=(2x-x2)-ex-1ex-1,令h(x)=(2x-x2)-ex-1,则h(x)=2-2x-ex-1,显然h(x)在(34,2)内是减函数,又因h(34)=12-14e0,故在(34,2)内,总有h(x)0,从而f(x)0,这时f(x)单调递增,当x(1,2)时,h(x)0,从而f(x)0,这时f(x)单调递减,所以f(x)在(34,2)内的极大值是f(1)=1.(2)由题可知g(x)=(x2-a)e1-x,则g(x)=(2x-x2+a)e1-x=(-x2+2x+a)e1-x.根据题意,方程-x2+2x+a=0有两个不同的实根x1,x2(x10,即a-1,且x1+x2=2,因为x1x2,所以x11.由x2g(x1)f(x1),其中f(x)=(2x-x2)e1-x-a,可得(2-x1)(x12-a)e1-x1(2x1-x12)e1-x1-a注意到-x12+2x1+a=0,所以上式化为(2-x1)(2x1)e1-x1(2x1-x12)e1-x1+(2x1-x12),即不等式x12e1-x1-(e1-x1+1)0对任意的x1(-,1)恒成立.当x1=0时,不