高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 专题探究课4 高考中立体几何问题的热点题型课件 理.ppt

高考导航1 立体几何是高考的重要内容 每年都有选择题或填空题或解答题考查 小题主要考查学生的空间观念 空间想象能力及简单计算能力 解答题主要采用 论证与计算 相结合的模式 即首先是利用定义 定理 公理等证明空间的线线 线面 面面平行或垂直 再进行空间角 主要是线面角 的计算 重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力 热点题型主要有平面图形的翻折 探索性问题等 2 思想方法 1 转化与化归 空间问题转化为平面问题 2 数形结合 热点一空间点 线 面的位置关系及空间角的计算 规范解答 空间点 线 面的位置关系通常考查平行 垂直关系的证明 一般出现在解答题的第 1 问 解答题的第 2 问常考查求空间角 主要是线面角 求空间角一般都可以建立空间直角坐标系 用空间向量的坐标运算求解 也可用几何方法求解 1 求证 平面pbd 平面cod 2 求直线pd与平面bdc所成角的正弦值 2 解以oc ob op所在射线分别为x y z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 设oa 1 则po ob oc 2 da 1 则c 2 0 0 b 0 2 0 p 0 0 2 d 0 1 1 得步骤分 抓住得分点的步骤 步步为赢 求得满分 如第 1 问中 先证线面垂直 再证两面垂直得7分 得关键分 解题过程不可忽视的关键点 有则给分 无则没分 如第 1 问中证线面垂直不可漏 co 平面pdb 得计算分 解题过程中计算准确是得满分的根本保证 如第 2 问中求法向量n 计算线面角正弦值sin 利用向量求空间角的步骤 第一步 建立空间直角坐标系 第二步 确定点的坐标 第三步 求向量 直线的方向向量 平面的法向量 坐标 第四步 计算向量的夹角 或函数值 第五步 将向量夹角转化为所求的空间角 第六步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 训练1 一题多解 2017 浙江卷 如图 已知四棱锥p abcd pad是以ad为斜边的等腰直角三角形 bc ad cd ad pc ad 2dc 2cb e为pd的中点 1 证明 ce 平面pab 2 求直线ce与平面pbc所成角的正弦值 2 解分别取bc ad的中点为m n 连接pn交ef于点q 连接mq 因为e f n分别是pd pa ad的中点 所以q为ef中点 在平行四边形bcef中 mq ce 由 pad为等腰直角三角形得pn ad 由dc ad n是ad的中点得bn ad 因为pn bn n 所以ad 平面pbn 由bc ad得bc 平面pbn 因为bc 平面pbc 所以平面pbc 平面pbn 热点二立体几何中的探索性问题 此类试题一般以解答题形式呈现 常涉及线 面平行 垂直位置关系的探究或空间角的计算问题 是高考命题的热点 一般有两种解决方式 1 根据条件作出判断 再进一步论证 2 利用空间向量 先假设存在点的坐标 再根据条件判断该点的坐标是否存在 例2 一题多解 如图 将长为4 宽为1的长方形折叠成长方体abcd a1b1c1d1的四个侧面 记底面上一边ab t 0 t 2 连接a1b a1c a1d 1 当长方体abcd a1b1c1d1的体积最大时 求二面角b a1c d的大小 2 线段a1c上是否存在一点p 使得a1c 平面bpd 若有 求出p点的位置 若没有 请说明理由 2 若线段a1c上存在一点p 使得a1c 平面bpd 则a1c bd 又a1a 平面abcd bd 平面abcd 所以a1a bd 又a1c a1a a1 所以bd 平面a1ac 所以bd ac 所以底面四边形abcd为正方形 即只有abcd为正方形时 线段a1c上存在点p满足要求 否则不存在 由 1 知 所求点p即为bm a1c的垂足m 此时 探究提高 1 对于存在判断型问题的求解 应先假设存在 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围内的解 等 2 对于位置探究型问题 通常借助向量 引进参数 综合已知和结论列出等式 解出参数 训练2 如图 已知四棱锥p abcd中 底面abcd为菱形 pa 平面abcd abc 60 e f分别是bc pc的中点 1 证明由四边形abcd为菱形 abc 60 可得 abc为正三角形 e为bc的中点 ae bc 又bc ad 因此ae ad pa 平面abcd ae 平面abcd pa ae 而pa 平面pad ad 平面pad pa ad a ae 平面pad 2 解设线段pd上存在一点h 连接ah eh 由 1 知ae 平面pad 则 eha为eh与平面pad所成的角 热点三立体几何中的折叠问题 将平面图形沿其中一条或几条线段折起 使其成为空间图形 这类问题称为立体几何中的折叠问题 折叠问题常与空间中的平行 垂直以及空间角相结合命题 考查学生的空间想象力和分析问题的能力 1 求证 a c ef 2 求直线a d与平面ecdf所成角的大小 探究提高立体几何中的折叠问题 关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 训练3 2018 浙江五校联考 如图1 在矩形abcd中 ab 2 bc 1 e是cd的中点 将三角形ade沿ae翻折到图2的位置 使得平面aed 平面abc 1 在线段bd 上确定点f 使得cf 平面aed 并证明 2 求 aed 与 bcd 所在平面构成的锐二面角的正切值 解 1 点f是线段bd 的中点时 cf 平面aed 证明 设ae bc的延长线交于点m 因为