高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件 新人教A版选修11.pptVIP

3 1 1变化率问题3 1 2导数的概念 1 了解导数概念的实际背景 2 会求函数在某一点附近的平均变化率 3 会利用导数的定义求函数在某点处的导数 1 2 3 1 平均变化率习惯上用 x表示x2 x1 即 x x2 x1 可把 x看作是相对于x1的一个 增量 可用x1 x代替x2 类似地 y f x2 f x1 于是 平均变化率可表示为 名师点拨1 变化率问题来源于现实生活中的实际问题 平均变化率是一个比值 它是表示一个量随另一个量变化快慢的重要指标 如物体运动的平均速度 气球的平均膨胀率等 函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念 2 x 0 但可正可负 要注意 x是一个整体符号 而不是 与x相乘 3 改变量的对应 若 x x2 x1 则 y f x2 f x1 而不是 y f x1 f x2 1 2 3 做一做1 1 已知物体位移公式s s t 从t0到t0 t这段时间内 下列说法错误的是 a s s t0 t s t0 叫做位移增量 答案 d 1 2 3 做一做1 2 已知函数y f x x2 1 计算函数y f x x2从x 1到x 1 x的平均变化率 其中 x的值为 2 1 0 1 0 01 2 思考 当 x 越来越小时 函数f x 在区间 1 1 x 上的平均变化率有怎样的变化趋势 1 2 3 1 2 3 2 瞬时变化率名师点拨瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时 平均变化率趋近的值 它刻画了函数在某一点处变化的快慢 瞬时变化率可反映运动物体的瞬时速度 切线的斜率等 1 2 3 做一做2 已知某物体位移s与时间t的关系为s t 2t2 t 1 则该物体在t 1时刻的瞬时速度为 答案 5 1 2 3 1 2 3 1 对平均变化率的理解剖析 1 函数f x 在x1及其附近有定义 2 x x2 x1 0 但 x可以为正 也可以为负 3 注意自变量与函数值的对应关系 公式中若 x x2 x1 则 y f x2 f x1 若 x x1 x2 则 y f x1 f x2 5 平均变化率的几何意义就是函数y f x 图象上两点p1 x1 f x1 p2 x2 f x2 所在直线的斜率 6 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s s t 在时间段 t1 t2 上的平均速度 即2 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系剖析平均变化率当 x趋于0时 它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率 即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率 逐渐逼近 的方法求解 另外 它们都是用来刻画函数变化快慢的 它们的绝对值越大 函数变化得越快 题型一 题型二 题型三 题型四 分析利用平均变化率的定义 代入定义式即可求得 题型一 题型二 题型三 题型四 反思求平均变化率时要紧扣定义 看在哪一点附近的平均变化率大 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 求函数y f x 3x2 2在区间 x0 x0 x 上的平均变化率 并求当x0 2 x 0 1时平均变化率的值 当x0 2 x 0 1时 函数y 3x2 2在区间 2 2 1 上的平均变化率为6 2 3 0 1 12 3 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 一质点按规律s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若该质点在t 2s时的瞬时速度为8m s 求常数a的值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 利用导数的定义求函数y f x x2 3x在