FIR 滤波器和 IIR 滤波器的格型结构.doc

4.3.5 全零点格型结构1973年，Gray 和Markel 提出一种新的系统结构形式，即格型结构（lattice structure）。这是一种很有用的结构，在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。这种结构的优点是，对有限字长效应的敏感度低，且适合递推算法。这种结构有三种形式，即适用于FIR系统的全极点格型结构和适用于IIR系统的全极点和零极点格型结构。下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。其他两种个性结构将留到第4.3节讨论。格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。图7.11 示出其中的第极。与FIR滤波器的直接型结构一样，全零点格型结构也是没有反馈支路的， 图7.10 全零点格型结构图7.11 全零点格型结构的基本单元让我们从一组FIR滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。图7.10 中，以为输入序列，后接个格型级，这样就形成个滤波器：第（）个滤波器有两个输出，即上输出和下输出。以为输出的滤波器称为前向滤波器；以为输出的滤波器称为后向滤波器。对于个前向FIR滤波器，它们的系统函数为： （18）式中，是多项式： （19） 这里，为了数学推导的方便，令式子右边第1项为1；下标代表滤波器序号，也代表滤波器的阶数，例如，给定 以及，则第4个滤波器的系统函数为 设第个滤波器的输入、输出序列分别是和，则 （21）其直接型实现如图12所示。 图7.12 FIR滤波器的一种直接实现形式 阶滤波器的输出可表示为 （22）该输出也可以从图12所示的第一级格型滤波器得到。图中，两个输入端联在一起，激励信号为。从两个输出端得到的信号分别为 和： （23）其次我们考虑二阶FIR滤波器，它的直接型结构输出为 （24）上式将输出表示为两个向量的内积，T 表示向量转置。相应地，这个二阶滤波器可以用两个级联的格型单元（图10 前面的两级）来实现。，图中，第一级的输出为 （25） （26）将式（25）中的代入式（26）中，得 （27）现在令式（24）和式（27）的系数相等，即 （28）于是，得二阶格型结构的参数 （29）其中，这个结果是很容易理解的。从图7.12 看，如果滤波器阶数，则时延为2的输入输出传输值为，而从图7.10看，从输入到上端输出有三条可能的支路，而其中时延为2的支路传输值为。如果这两个流图等效，则应有。因此可以推论，若有个格型级，则其最右边的支路与直接型结构的参数相等： （30）为了得到其它支路传输值与直接型结构的参数之间的关系，我们需要从图7.10 所示的阶格型结构的最右边做起：根据阶滤波器的直接型参数，依次求， 阶滤波器的直接型参数。这是降阶递推。只要求出阶滤波器的系数组，则格型结构的支路传输。式（29）表明，二阶格型结构的两个参数和可以根据直接型结构的参数求出。继续这个过程，可以得到一个阶直接型FIR滤波器和一个阶或级格型滤波器之间的等效性。按照图7.10，格型滤波器可用递归方程描述为 （31） （32） （33）因此，第级滤波器的输出相当于 阶FIR 滤波器的输出，即 （34）因为FIR滤波器和格型滤波器的输出可以表示为 （35）而这个式子是两个序列的卷积和，所以它遵从变换关系 故 （36）现在我们来看二级格型滤波器的另一个输出。由图7.10得 （37）可见，对于为输出的后向滤波器，滤波系数组为，而对于以为输出的滤波器，滤波系数组按相反次序排列，为。 根据以上分析。可见级格型滤波器的输出可以用卷积和形式表示为 （38）式中，滤波系数与产生输出的另一滤波器有关，只不过操作次序相反。例如，如果，则故 （39）在域中，式（38）变为 （40）即 （41）这里，是下输出端相对于输入端的系统函数； （42）因为，故 （43）这个式子描述前、后向滤波器系统函数之间的关系。现在我们回到式（31）（33）的递推方程组，并把它们变换到域，得 （44） （45） （46）各式除以并利用前面的关系式，可得 （47） （48） （49）因此，在域，一个格型级可用矩阵方程描述为 （50） 利用式（47）（49）可以根据格型滤波器系数，从开始按升阶递推法求出直接型滤波器系数。 例 给定三级格型滤波器如图13所示。确定与之等效的直接型结构的FIR滤波器系数。 图13 给定三级格型滤波器 解 根据式（48），得 因此，对应于单级格型的FIR滤波器系数为。，因是的反转多项式，故 其次，对于得格型滤波器，根据式（48）得 因此，对应于二级格型的FIR滤波器系数为 ，。此外 最后，添上第三个格型级，得出多项式 因此，与给定三级格型滤波器等效的直接型FIR滤波器系数为 假定已知阶直接型FIR滤波器的系数或者多项式，我们希望确定相应的格型滤波器的系数组。对于第个格型级，可直接得出，所以，只需从开始降阶递推过程。为了得到，只需求出多项式 就可以得到。 根据式（48）和式（49），可以得到降阶递推关系： 于是， ， （51）例 设FIR滤波器的系统函数为 确定对应于该FIR滤波器的格型系数。解 首先，直接得出，而且 在的情况下，利用式（51）降阶递推，得 因此，和。最后，在的情况下，再降阶递推，得 因此， 图13示出所得三级格型滤波器。4.3.5 IIR系统的全极点格型结构 IIR滤波器的全极点系统函数为 （12）与阶FIR系统函数相比较，可见这两种系统互为逆系统。我们在第 节以研究了FIR系统的（全零点）格型结构。现在我们要基于式（12）找出IIR系统的全极点格型结构。最简单的途径就是研究逆系统的信号流图，从中找出规律。 给定一阶FIR系统函数为 （13）则差分方程为 （14）图19是相应的信号流图 图19 一阶FIR系统逆系统的系统函数为 （15）其差分方程为 （16）图20示出相应的信号流图。 图20 一阶FIR系统的逆系统 所以，可以按照图21所示的中间步骤从原系统得到逆系统：（1） 将原系统流图的直通通路全部反向（图21a）。（2） 原系统流图的直通通路传输值取倒数（图21b）。 （3） 指向直通通路的支路传输值改变符号（图21c）。(4) 改变输入、输出位置（图21d）(5) 按照习惯，改画图21d，使输入端在左，输出端在右，即可得到图20所示的逆系统。 图21 从一阶FIR系统得到其逆系统的中间步骤于是，可以用上述方法从图7.10的全零点格型结构得到图7.22的全极点结构 图7.22 全极点格型结构例 已知IIR系统函数为，求其格型结构系数并画出该结构。解： 例 已求出FIR系统函数为的格型结构，如图7.23 所示。 图7.23 3阶FIR系统的格型结构今逆系统，根据上述求逆系统流图的方法，可知图14是的流图。 图7.24 例 的全极点结构例 已知 IIR系统函数为，求其格型结构系数并画出该结构。解 利用MATLAB函数dir2latc 可以由已知的直接型结构求出格型结构系数。本例的MATLAB程序如下：b = 1 -1.7 1.53 -0.648;k = dir2latc(b)运行结果：k = 1.0000 -0.7026 0.7385 -0.6480所得的格型结构示于图7.25。 图7.25 例 的全极点结构4.3.6 IIR系统的零-极点格型结构既有极点又有零点的IIR系统函数为 （17）它的格型结构示于图7.26。由图可以看出：（1） 如果 ，则图7.26和图7.22的全极点系统的格型结构完全一样。（2） 如果 ，则7.26变成一个阶FIR系统的直接实现形式。因此，图7.26的上半部对应全极点系统，其输出点在图中的点。显然，下半部对上半部无任何反馈。于是，参数仍可按全极点系统的方法求出。上半部对下半部有影响。所以系数组和不会完全相同。现在的任务是求出，。 图7.26 零点-极点系统的格型结构上一节论述FIR全零点格型结构时，曾介绍前向、后向滤波器的系统函数。现在，由图7.26可以看出：下半部的个输入就是个后向滤波器的输出，。将图7.26与图7.10对比一下，可知对于图7.26来说，后向滤波器的系统函数是 ， （18）在按全极点格型结构计算方法计算图7.26的系数时，同时算出了。图7.26中，下半部的个输入端，用实心圆点标出。定义整个系统的输入端到下半部的个输入端之间的系统函数为 （19）故得 （20）整个系统的系统函数应是加权后的总和，即 （21）式中， （上一节的公式 ）在求解时，将同时产生出和。详见第 节。将式（ ）代入式（21），得 （22）下面说明系数组的递推计算法。阶多项式的形式如下： （23）将式（23）代入式（22），可求出多项式系数与和的关系为 （24） （25）这样，若给出图7.26中的系数组，则可求出该系统的系统函数分子多项式的系数。反之，若给定零极型系统的系统函数，则可得到系统的格型实现。具体步骤是：（1） 计算图7.26中的系数组。（2） 利用式（24）和式（25）从开始后向递推求出。例 已知一个IIR系统的系统函数为 画出该系统的格型结构。解： 根据给出的分子多项式，知 作为习题，先求出全极点子系统的格型结构的系数组。然后根据式（24）和式（25），求得系数组如下： 最后，画出零极点格型结构如图27所示。 图27 例 的零极点格型结构 现在我们用MATLAB的函数dir2ladr验证以上计算结果。文献 提供了这个函数，本书把它转录于所附光盘中。这个函数将直接型结构转换为格型结构。% functionK,C = dir2ladr(b,a)% K = 格型系数 % C = 梯型系数 % b = 直接型的分子多项式系