山东省威海市高三数学下学期5月模拟试卷 理（含解析）.doc

2015年山东省威海市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z满足（2i）2z=1，则z的虚部为（）abcd2已知集合a=x|x2=a，b=1，0，1，则a=1是ab的（）a充分不必要条件b必要不充分条c充要条件d既不充分也不必要条件3设单位向量的夹角为120，则|=（）a3bc7d4已知等差数列an满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）as15=150ba8=10ca16=20da4+a12=205双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（）abcd6已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）a2bc4d7周期为4的奇函数f（x）在0，2上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（）a0b1c2d38已知m，n，l是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（）若mn，m，n，则；若m，n，lm，则ln；若m，n，则mn；若，m，n，则mnabcd9在abc中，内角a、b、c的对边分别是a、b、c，若c2=（ab）2+6，abc的面积为，则c=（）abcd10设f（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f（x）+xf（x）=lnx，f（e）=，则下列结论正确的是（）af（x）在（0，+）单调递增bf（x）在（0，+）单调递减cf（x）在（0，+）上有极大值df（x）在（0，+）上有极小值二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为12右面的程序框图输出的s的值为13已知x0，y0且x+y=2，则+的最小值为14若f（x）+01f（x）dx=x，则15函数f（x）=|x22x+|x+1的零点个数为三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知向量（0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为（）求函数f（x）的单调增区间；（）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域17一汽车4s店新进a，b，c三类轿车，每类轿车的数量如下表：类别abc数量432同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展（）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（）若一次性提取4辆车，其中a，b，c三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记为a，b，c的最大值，求的分布列和数学期望18已知an是各项都为正数的数列，其前 n项和为 sn，且sn为an与的等差中项（）求证：数列为等差数列；（）求数列an的通项公式；（）设，求bn的前n项和tn19如图：是直径为2的半圆，o为圆心，c是上一点，且dfcd，且df=2，bf=2，e为fd的中点，q为be的中点，r为fc上一点，且fr=3rc（）求证：qr平面bcd；（）求平面bcf与平面bdf所成二面角的余弦值20已知函数f（x）=+ax，x1（）若f（x）在（1，+）上单调递减，求实数a的取值范围；（）若a=2，求函数f（x）的极小值；（）若存在实数a使f（x）在区间（）（nn*，且n1）上有两个不同的极值点，求n的最小值21如图，过原点o的直线l1，l2分别与x轴，y轴成30的角，点p（m，n）在l1上运动，点q（p，q）在l2上运动，且（）求动点m（m，p）的轨迹c的方程；（）设a，b是轨迹c上不同两点，且，（）求的取值范围；（）判断oab的面积是否为定值？若是，求出该定值，不是请说明理由2015年山东省威海市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z满足（2i）2z=1，则z的虚部为（）abcd考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出解答： 解：（2i）2=34i，=，z的虚部为，故选：d点评： 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题2已知集合a=x|x2=a，b=1，0，1，则a=1是ab的（）a充分不必要条件b必要不充分条c充要条件d既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 当a=1时，集合a=1，1，满足ab反之不成立：例如a=0，a=0b解答： 解：当a=1时，集合a满足：x2=1，解得x=1，集合a=1，1，ab反之不成立：例如a=0，a=0b因此a=1是ab的充分不必要条件故选：a点评： 本题考查了集合的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3设单位向量的夹角为120，则|=（）a3bc7d考点： 数量积表示两个向量的夹角专题： 平面向量及应用分析： 把已知数据代入向量的模长公式计算可得解答： 解：单位向量的夹角为120，|=故选：d点评： 本题考查向量的夹角和模长公式，属基础题4已知等差数列an满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）as15=150ba8=10ca16=20da4+a12=20考点： 等差数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 利用等差数列的通项的性质，可得结论解答： 解：s15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即a正确；a6+a10=2a8=20，a8=10，即b正确；a6+a10a16，即c错误a4+a12=a6+a10=20，即d正确故选：c点评： 本题考查等差数列的通项的性质，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项的性质是关键5双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（）abcd考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 求出双曲线的一条渐近线方程，一个顶点坐标，然后求解所求即可解答： 解：双曲线=1的顶点（），渐近线方程为：y=，双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为：=故选：b点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离个数的应用，考查计算能力6已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）a2bc4d考点： 基本不等式专题： 不等式的解法及应用分析： 根据约束条件画图，判断当直线与圆相切时，取最大值，运用直线与圆的位置关系，注意圆心，半径的运用得出2解答： 解：x，y满足约束条件，根据阴影部分可得出当直线与圆相切时，取最大值，y=2x+k，2，即k所以最大值为2，故选：d点评： 本题考查了运用线性规划问题，数形结合的思想求解二元式子的最值问题，关键是确定目标函数，画图7周期为4的奇函数f（x）在0，2上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（）a0b1c2d3考点： 函数的值专题： 函数的性质及应用分析： 利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可解答： 解：函数是周期为4的奇函数，f（x）在0，2上的解析式为f（x）=，所以f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（20161）=f（2）+f（1）=f（2）f（1）=log22+112=1故选：b点评： 本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力8已知m，n，l是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（）若mn，m，n，则；若m，n，lm，则ln；若m，n，则mn；若，m，n，则mnabcd考点： 命题的真假判断与应用专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑分析： 由已知利用面面平行的判定定理可得：或相交，即可判断出正误；利用面面平行的性质、线线垂直的性质可得：l与n不一定垂直，即可判断出正误；利用线面垂直的性质、面面平行的性质可得：mn，即可判断出正误；由已知可得mn、相交或异面直线，即可判断出正误解答： 解：若mn，m，n，不满足平面平行的判定定理，因此或相交，不正确；若m，n，lm，若lm，则可能ln，因此不正确；若m，则m，又n，mn，正确；若，m，n，则mn、相交或异面直线，因此不正确综上只有：正确故选：点评： 本题考查了空间线线、线面、面面位置关系及其判定、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题9在abc中，内角a、b、c的对边分别是a、b、c，若c2=（ab）2+6，abc的面积为，则c=（）abcd考点： 余弦定理专题： 解三角形分析： 由已知和余弦定理可得ab及cosc的方程，再由面积公式可得ab和sinc的方程，由同角三角函数基本关系可解cosc，可得角c解答： 解：由题意可得c2=（ab）2+6=a2+b22ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b22abcosc，两式联立可得ab（1cosc）=3，再由面积公式可得s=absinc=，ab=，代入ab（1cosc）=3可得sinc=（1cosc），再由sin2c+cos2c=1可得3（1cosc）2+cos2c=1，解得cosc=，或cosc=1（舍去），c（0，），c=，故选：a点评： 本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题10设f（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f（x）+xf（x）=lnx，f（e）=，则下列结论正确的是（）af（x）在（0，+）单调递增bf（x）在（0，+）单调递减cf（x）在（0，+）上有极大值df（x）在（0，+）上有极小值考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值专题： 导数的综合应用分析： 第一步：在x2f（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x，使得左边为xf（x）；第二步：令g（x）=xf（x），用g（x）表示f（x），并写出f（x）；第三步：对f（x）的分子再求导，从而求出分子的最大值；第四步：判断f（x）的符号，即可判断f（x）的单调性解答： 解：由x2f（x）+xf（x）=lnx，得xf（x）+f（x）=，从而xf（x）=，令g（x）=xf（x），则f（x）=，=，令h（x）=lnxg（x），则h（x）=（x0），令h（x）0，即1lnx0，得0xe时，h（x）为增函数；令h（x）0，即1lnx0，得xe时，h（x）为减函数；由f（e）=，得g（e）=ef（e）=1h（x）在（0，+）上有极大值h（e）=lneg（e）=11=0，也是最大值，h（x）0，即f（x）0，当且仅当x=e时，f（x）=0，f（x）在（0，+）上为减函数故选：b点评： 本题考查了函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，难度较大“在x2f（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x”是解题的突破口，“求h（x）的极大值”是关键二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为4800考点： 分层抽样方法专题： 概率与统计分析： 求出抽样比，然后求解即可解答： 解：样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，可得抽样比为：=，该批次产品总数为：=4800故答案为：4800；点评： 本题考查分层抽样的应用，就抽样比的解题的关键12右面的程序框图输出的s的值为考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当n=5时不满足条件n4，退出循环，输出s的值为：解答： 解：模拟执行程序框图，可得n=1，s=0满足条件n4，s=1，n=2满足条件n4，s=，n=3满足条件n4，s=，n=4满足条件n4，s=，n=5不满足条件n4，退出循环，输出s的值为：故答案为：；点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题13已知x0，y0且x+y=2，则+的最小值为3考点： 基本不等式在最值问题中的应用专题： 计算题；不等式分析： 由基本不等式可得，然后对已知式子进行求解即可解答： 解：x0，y0且x+y=2=1（当且仅当x=y=1时取等号）则+=3（当且仅当x=y时取等号）即+的最小值3故答案为：3点评： 本题主要考查基本不等式在求解最值中的应用，解题时要注意等号成立条件的检验14若f（x）+01f（x）dx=x，则考点： 定积分专题： 导数的综合应用分析： 对已知等式两边求导，得到f（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求解答： 解：对f（x）+01f（x）dx=x两边求导，得到f（x）=1，所以设f（x）=x+c，由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=，所以=（）|=；故答案为：点评： 本题考查了定积分的计算；解答本题的关键是利用求导求出f（x）15函数f（x）=|x22x+|x+1的零点个数为2考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 函数的性质及应用分析： 构造函数设g（x）=|x22x+|，k（x）=x1，画出图象，运用图象的交点得出有关函数的零点个数解答： 解：设g（x）=|x22x+|，k（x）=x1，根据图象得出g（x）与k（x）有2个交点，f（x）=|x22x+|x+1的零点个数为2故答案为：2；点评： 本题考查了函数交点问题与函数的零点的问题的关系，数学结合的思想的运用，属于中档题，关键是构造函数，画出图象三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知向量（0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为（）求函数f（x）的单调增区间；（）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域考点： 函数y=asin（x+）的图象变换；正弦函数的单调性专题： 三角函数的图像与性质分析： （）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间（）由题意根据y=asin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用定义域和值域，求得函数g（x）的值域解答： 解：（）由题意可得 sin2x2cos2x+1=sin2xcos2x=sin（2x），由题意知，=1，由，解得：，f（x）的单调增区间为（）由题意，把f（x）的图象向左平移个单位，得到，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，函数g（x）的值域为 点评： 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题17一汽车4s店新进a，b，c三类轿车，每类轿车的数量如下表：类别abc数量432同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展（）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（）若一次性提取4辆车，其中a，b，c三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记为a，b，c的最大值，求的分布列和数学期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式专题： 概率与统计分析： （）设提取的两辆车为同一类型的概率为p，直接利用古典概型求解即可（）随机变量的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可解答： （本小题满分12分）解：（）设提取的两辆车为同一类型的概率为p，（4分）（）随机变量的取值为2，3，4（6分），其分布列为： 2 3 4p （10分）数学期望为（12分）点评： 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，古典概型的概率的求法，考查计算能力18已知an是各项都为正数的数列，其前 n项和为 sn，且sn为an与的等差中项（）求证：数列为等差数列；（）求数列an的通项公式；（）设，求bn的前n项和tn考点： 数列的求和；等差关系的确定专题： 等差数列与等比数列分析： （）利用已知条件化简出，即可说明是首项为1，公差为1的等差数列（） 求出，通过an=snsn1（n2求出通项公式（）化简，当n为奇数时，当n为偶数时，分别求出前n项和即可解答： （本小题满分12分）（）由题意知，即，（1分）当n=1时，由式可得s1=1；（2分）又n2时，有an=snsn1，代入式得整理得（3分）是首项为1，公差为1的等差数列（4分）（） 由（）可得，（5分）an是各项都为正数，（6分）（n2），（7分）又，（8分）（），（9分）当n为奇数时，当n为偶数时，bn的前n项和（12分）点评： 本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力19如图：是直径为2的半圆，o为圆心，c是上一点，且dfcd，且df=2，bf=2，e为fd的中点，q为be的中点，r为fc上一点，且fr=3rc（）求证：qr平面bcd；（）求平面bcf与平面bdf所成二面角的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）连接oq，在面cfd内过r做rmcd，证明rmfd，然后利用直线余平米平行的判定定理证明qr平面bcd（）以o为原点，od为y轴建立如图空间直角坐标系，求出平面bcf的法向量，面bdf的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大小即可解答： （本小题满分12分）解：（）连接oq，在面cfd内过r做rmcdo，q为中点，oqdf，且（2分）dfcdrmfd，又fr=3rc，e为fd的中点，（4分）oqrm，且oq=rmoqrm为平行四边形，rqom又rq平面bcd，om平面bcd，qr平面bcd（6分）（）df=2，bf2=bd2+df2，bddf，又dfcd，df平面bcd（7分）以o为原点，od为y轴建立如图空间直角坐标系，dbc=30，在直角三角形bcd中有（8分），设平面bcf的法向量为，令y=1，则，（10分）面bdf的一个法向量为则平面bdf与平面bcf所成二面角的余弦值为（12分）说明：此题也可用传统的方法求解，第一问也可用向量法证明点评： 本题列出直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20已知函数f（x）=+ax，x1（）若f（x）在（1，+）上单调递减，求实数a的取值范围；（）若a=2，求函数f（x）的极小值；（）若存在实数a使f（x）在区间（）（nn*，且n1）上有两个不同的极值点，求n的最小值考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题： 导数的综合应用分析： （）求出函数的导数，利用f（x）0在x（1，+）上恒成立，得到a的表达式，利用函数的最小值求出a的范围（）通过a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用导数的符号，判断函数的单调性，求出极小值（）判断aln2x+lnx1=0在上有两个不等实根，法一：构造函数，推出，求出n的最小值法二：利用，推出a的表达式，列出然后求解n的最小值解答： （本小题满分13分）解：（），由题意可得f（x）0在x（1，+）上恒成立；（1分），（2分）x（1，+），lnx（0，+），（3分）时函数t=的最小值为，（4分）（） 当a=2时，（5分）令f（x）=0得2ln2x+lnx1=0，解得或lnx=1（舍），即（7分）当时，f（x）0，当时，f（x）0f（x）的极小值为（8分）（）原题等价于f（x）=0在，且n1）上有两个不等的实数根；由题意可知（9分）即aln2x+lnx1=0在上有两个不等实根（10分）法一：令，g