【导与练】高考数学 高校信息化课堂 大题冲关 专题六 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法 理.doc

第3讲立体几何中的向量方法1.(2014嘉兴高三期末)如图,长方体abcda1b1c1d1中,ab=4,bc=5,cc1=154,p是ad1上一点,e是pc的中点. (1)求证:ad1平面bde;(2)当ad1dp时,求平面dcp与平面bcp所成锐二面角的余弦值.(1)证明:连接ac交bd于f,则f为ac的中点,连接ef,则ef为pac的中位线,所以efad1,ad1平面bde,ef平面bde,所以ad1平面bde.(2)解:法一连接bc1, 作cqbc1于q,又bqcd,所以bq平面cdpq,作qhpc于h,连接bh,所以bhq就是平面dcp与平面bcp所成锐二面角,在rtbcc1中,cqbc1,bc=5,cc1=154,所以bq=4,cq=3,在rtpcq中,qhpc,所以hq=125,所以tan =bqhq=4125=53,所以cos =334=33434,即平面dcp与平面bcp所成锐二面角的余弦值为33434.法二以d为坐标原点,分别以da,dc,dd1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.由ad=5,dd1=154,ad1dp,得p(95,0,125),设平面pcd的一个法向量为n1,由dp=(95,0,125),dc=(0,4,0),dpn1=0,dcn1=0,得平面pcd的一个法向量n1=(4,0,-3),设平面pcb的一个法向量为n2,由cp=(95,-4,125),cb=(5,0,0),cpn2=0,cbn2=0,得平面pbc的一个法向量n2=(0,3,5),则cos =|n1n2|n1|n2|=33434,所以平面dcp与平面bcp所成锐二面角的余弦值为33434.2.(2014宁波高三十校联考)如图,三棱锥pabc中,已知平面pab平面abc,acbc,ac=bc=2a,点o,d分别是ab,pb的中点,poab,点q在线段ac上,且aq=2qc. (1)证明:cd平面opq;(2)若二面角apbc的余弦值的大小为55,求pa.(1)证明:连接ad,交po于m,连接od、qm, 点o,d分别是ab,pb的中点,od12ap,ammd=apod=2=aqqc,mqcd,而mq平面opq,cd平面opq,cd平面opq.(2)解:连接oc.平面pab平面abc,poab,po平面abc.从而poab,pooc.ac=bc,点o是ab的中点,ocab.且oa=ob=oc=2a.如图,建立空间直角坐标系oxyz. a(0,-2a,0),b(0,2a,0),c(2a,0,0),设po=h,则p(0,0,h).pooc,ocab,oc平面pab.从而oc=(2a,0,0)是平面pab的一个法向量.不妨设平面pbc的一个法向量为n=(x,y,z),pb=(0,2a,-h),bc=(2a,-2a,0),npb=0,nbc=0.2ay=hz,x=y.不妨令x=1,则y=1,z=2ah,则n=(1,1,2ah),由已知,得55=|ocn|oc|n|=2a2a2+2a2h2,化简,得h2=23a2.则pa=po2+oa2=23a2+2a2=263a.3.(2014嘉兴二模)如图,四棱锥pabcd中,pa平面abcd,adbc,pa=ab=ad=2bc=2,bad=,e是棱pd的中点. (1)若=60,求证:ae平面pcd;(2)求的值,使二面角pcda最小.(1)证明:当=60时,adbc,ab=ad=2bc=2.cdad.又pa平面abcd,pacd.cd平面pad.又ae平面pad,cdae.又pa=ad,e是棱pd的中点,pdae.ae平面pcd. (2)解:法一如图,建立空间直角坐标系axyz, 则p(0,0,2),b(2sin ,2cos ,0), c(2sin ,2cos +1,0),d(0,2,0).dp=(0,-2,2),dc=(2sin ,2cos -1,0).设平面pcd的法向量为n=(x,y,z),则ndp,ndc,则-2y+2z=0,(2sin)x+(2cos-1)y=0,取y=1,得n=(-2cos+12sin,1,1).又易知平面abcd的法向量为m=(0,0,1).设二面角pcda的平面角为,则cos =|mn|m|n|=1(1-2cos2sin)2+2,要使最小,则cos 最大,即1-2cos2sin=0,cos =12,又(0,180),得=60.法二过点a作aecd于e,则cdpe(图略).pea为二面角pcda的平面角.tanpea=apae=2ae,要使二面角pcda最小只需ae最大,又ad=2故ae最大为2.此时d、e重合,即addc,=60.4.(2014浙江温州适应性测试)如图所示,已知平面qbc与直线pa均垂直于rtabc所在平面,且pa=ab=ac. (1)求证:pa平面qbc;(2)若pq平面qbc,求二面角qpba的余弦值.(1)证明:过点q作qdbc于点d,平面qbc平面abc,bc为交线,qd平面qbc,qd平面abc.又pa平面abc,qdpa.又qd平面qbc,pa平面qbc,pa平面qbc.(2)解:法一pq平面qbc,pqb=pqc=90,pa=ab=ac,pa平面abc,pb=pc,pq=pq,pqbpqc,bq=cq.点d是bc的中点,连接ad,则adbc,又平面qbc平面abc.平面qbc平面abc=bc,ad平面qbc,pqad,adqd.四边形padq是矩形.分别以ac,ab,ap为x,y,z轴建立空间直角坐标系axyz.设pa=2a,则q(a,a,2a),b(0,2a,0),p(0,0,2a),设平面qpb的法向量为n=(x,y,z),pq=(a,a,0),pb=(0,2a,-2a),ax+ay=0,2ay-2az=0,取x=1,可得n=(1,-1,-1).又平面pab的法向量为m=(1,0,0)设二面角qpba为,则cos=mn|m|n|=33.又m,n都指向二面角内,故二面角与互补.cos =-33.法二pq平面qbc,pqb=pqc=90,又由ab=ac,pa平面abc,得pb=pc,又pq=pq.pqbpqc,bq=cq.点d是bc的中点,连接ad, 则adbc,又平面qbc平面abc,ad平面qbc.pqad,adqd.四边形padq是矩形.设pa=2a,pq=ad=2a,pb=22a,bq=6a.过q作qrpb于点r,qr=2a6a22a=62a,pr=pq2-rq2=2a2-32a2=22a.取pb中点m,连接am,取pa的中点n,连接rn.pr=14pb=12pm,pn=12pa,marn.