高中数学 第一章 基本初等函数（Ⅱ）1.3.1 正弦函数的图像与性质同课异构课件1 新人教B版必修4.ppt

第一章基本初等函数 1 3 1正弦函数的图象与性质 人教b版必修4 用什么方法作出正弦函数的图象呢 描点法 但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值 不易描出对应点的精确位置 因此作出的图象不够准确 几何法 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象 1 正弦函数的图象 为了作三角函数的图象 三角函数的自变量要用弧度制来度量 使自变量与函数值都为实数 在一般情况下 两个坐标轴上所取的单位长度应该相同 否则所作曲线的形状各不相同 从而影响初学者对曲线形状的正确认识 第一步 列表首先在单位圆中画出正弦线 在直角坐标系的x轴上任取一点o1 以o1为圆心作单位圆 从这个圆与x轴的交点a起把圆分成12等份 等份越多 作出的图象越精确 过圆上的各分点作x轴的垂线 可以得到对应于角 2 的角的正弦线 这等价于描点法中的列表 第二步 描点 我们把x轴上从0到2 这一段 分成12等份 每个分点分别对应于分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线 把角x的正弦线向右平行移动 使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合 则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点 第三步 连线 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来 就得到正弦函数y sinx x 0 2 的图象 以上我们作出了y sinx x 0 2 的图象 因为sin 2k x sinx k z 所以正弦函数y sinx在x 2 0 x 2 4 x 4 6 时的图象与x 0 2 时的形状完全一样 只是位置不同 现在把上述图象沿着x轴平移 2 4 就得到y sinx x r的图象 叫做正弦曲线 正弦函数y sinx x r 的图象 叫做正弦曲线 用五点法作正弦函数的简图 描点法 只要这五个点描出后 图象的形状就基本确定了 因此在精确度不太高时 常采用五点法作正弦函数的简图 在描点作图时要注意到 被这五个点分隔的区间上函数变化情况 在附近函数增加或下降快一些 曲线 陡 一些 在附近 函数变化慢一些 曲线变得 平缓 这种作图法叫做五点法 例1 用五点法作下列函数的简图 1 y sinx x 0 2 2 y 1 sinx x 0 2 1 2 y 1 sinx x 0 2 例2 利用正弦函数的图象 求满足下列条件的x的集合 解 在y轴上取点 0 0 5 过该点作x轴的平行线 与正弦函数图象相交于点等 所以不等式的解集是 由正弦函数y sinx的作图过程以及正弦函数的定义 容易得出正弦函数y sinx还有以下重要性质 1 定义域 正弦函数y sinx的定义域是实数集r 或 记作 y sinx x r 2 正弦函数的性质 2 值域 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度 从正弦曲线可以看出 正弦曲线分布在两条平行线y 1和y 1之间 所以 sinx 1 即 1 sinx 1 也就是说 正弦函数的值域是 1 1 正弦函数y sinx x r 当且仅当x 2k k z时 正弦函数取得最大值1 当且仅当x 2k k z时 正弦函数取得最小值 1 3 周期性 由sin x 2k sinx k z 知 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的 当自变量x的值每增加或减少2 的整数倍时 正弦函数y的值重复出现 在单位圆中 当角 的终边饶原点转动到原处时 正弦线的数量 长度和符号 不发生变化 以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示 这种性质称为三角函数的周期性 一般地 对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的周期 由此可知 2 4 2 4 2k k z且k 0 都是正弦函数的周期 对于一个周期函数f x 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 注意 1 周期函数中 x 定义域m 则必有x t m 且若t 0 则定义域无上界 t 0则定义域无下界 2 每一个值 只要有一个反例 则f x 就不为周期函数 如f x0 t f x0 3 t往往是多值的 如y sinx t 2 4 2 4 都是周期 周期t中最小的正数叫做f x 的最小正周期 有些周期函数没有最小正周期 根据上述定义 可知 正弦函数是周期函数 2k k z且k 0 都是它的周期 最小正周期是2 4 奇偶性 由sin x sinx 可知 y sinx为奇函数 因此正弦曲线关于原点o对称 5 单调性 从y sinx的图象上可看出 当x 时 曲线逐渐上升 sinx的值由 1增大到1 当x 时 曲线逐渐下降 sinx的值由1减小到 1 结合上述周期性可知 正弦函数在每一个闭区间 2k 2k k z 上都是增函数 其值从 1增大到1 在每一个闭区间 2k 2k k z 上都是减函数 其值从1减小到 1 例1 设sinx t 3 x r 求t的取值范围 解 因为 1 sinx 1 所以 1 t 3 1 由此解得2 t 4 解 1 令w 2x 那么x r得z r 且使函数y sinw w r 取得最大值的集合是 w w 2k k z 由2x w 2k 得x k 即使函数y sin2x x r取得最大值的x的集合是 x x k k z 函数y sin2x x r的最大值是1 2 当3x 2k 即x k z 时 y的最大值为0 例3 求下列三角函数的周期 y sin x 2 y 3sin 3 y sinx 解 1 令z x 而sin 2 z sinz 即 f 2 z f z f x 2 f x 函数的周期t 2 2 y 3sin 解 令z 则 f x 3sinz 3sin z 2 函数的周期t 4 f x 4 3sin 3sin 2 3 y sinx 解 f x sin x sinx 所以函数的周期是t 一般地 函数y asin x 其中 的周期是 例4 不通过求值 指出下列各式大于0还是小于0 1 sin sin 2 sin sin 解 1 且函数y sinx x 是增函数 即sin sin 0 2 sin sin sin sin 函数y sinx在区间 内为增函数 sin sin 0 函数y asin x 其中 a 0 0 表示一个振动量时 a就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离 通常称为这个振动的振幅 往复一次所需的时间 称为这个振动的周期 3 y asin x 的图象 单位时间内往复振动的次数 称为振动的频率 称为相位 x 0时的相位 称为初相 例1 画出函数y 2sinxx r y sinxx r的图象 简图 解 画简图 我们用 五点法 这两个函数都是周期函数 且周期为2 我们先画它们在 0 2 上的简图列表 1 y 2sinx x r的值域是 2 2 图象可看作把y sinx x r上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得 横坐标不变 2 y sinx x r的值域是 图象可看作把y sinx x r上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得 横坐标不变 一般地 函数y asinx的值域是最大值是 a 最小值是 a 由此可知 a 的大小 反映曲线波动幅度的大小 因此 a 也称为振幅 例2 画出函数y sin x x r y sin x x r的简图 解 列表y sin x y sin x 1 函数y sin x x r的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到 2 函数y sin x x r的图象可看