100计数原理(理_测试).doc

单元检测十计数原理 (时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.中央电视台1套连续播放5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是公益宣传广告,且2个公益宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有(). A.120种B.48种C.36种D.18种2.若在(ax-1)6的展开式中x4的系数为240,则正实数a=().A.2B.3C.5D.73.从0,1,2,3,4,5这6个数字中任取2个奇数和2个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为().A.300B.216C.180D.1624.二项式的展开式中常数项为().A.16B.15C.14D.135.(2011山东潍坊第二次高考适应性考试)如图,M,N,P,Q为海上四个小岛,现要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方法有().A.8种B.12种C.16种D.20种6.若x(0,+),则(1+2x)15的二项展开式中系数最大的项为().A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项7.从5张100元,3张200元,2张300元的运动会门票中任选3张,则选取的3张中至少有2张价格相同的不同的选法共有().A.70种B.80种C.90种D.100种8.五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室,比赛后都回到休息室取衣服.由于灯光暗淡,看不清自己的外衣,则至少有两人拿对自己的外衣的情况有().A.30种B.31种C.35种D.40种9.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有().A.504种B.960种C.1 008种D.1 108种10.霓虹灯的一个部位由7个小灯泡并排组成,每个灯泡均可以亮出红色或黄色,现设计每次变换只闪亮其中的三个灯泡,且相邻的两个灯泡不同时亮,则一共可以呈现出不同的变换形式的种数为().A.20B.30C.50D.80二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)11.若二项式(2-x)n(nN*)的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a,所有项的二项式系数之和是b,则+的最小值是.12.将6位志愿者分成4组,其中2个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的4个不同场馆服务,不同的分配方案有种(用数字作答).13.在(3-2)11的展开式中任取一项,则所取项为有理项的概率P=.14.2010年广州亚运会期间,组织者要从5名男志愿者和3名女志愿者中选出3人,分别从事接待、护理、维持秩序这三种工作,若这3人中至少有1名女志愿者,则不同的选派方案的种数为.15.若(x-m)8=a0+a1x+a2x2+a8x8,其中a5=56,则a0+a2+a4+a6+a8=.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)(1)求的展开式中系数最大的项,并求展开式中系数绝对值最大的项;(2)求(2x+3y)10的展开式中系数最大的项.17.(12分)把语文、数学、物理、历史、外语五门课排在一天的五节课中,问:(1)数学排在历史之前有多少种排法?(2)数学排在历史之前且外语排在语文之前有多少种排法?(3)外语排在数学之前,数学又排在历史之前,有多少种排法?(4)若第一节不排历史,第五节不排数学,则有多少种排法?(5)若语数外三门课必须排在一起且不能排在下午(下午一节,上午四节),有多少种排法?18.(12分)用二项式定理证明32n+2-8n-9能被64整除.19.(13分)已知(1+2)n的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,而等于它后一项系数的.(1)求该展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.20.(14分)把1、2、3、4、5这5个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.(1)43 251是这个数列的第几项?(2)这个数列的第96项是多少?(3)求这个数列的各项和.21.(14分)已知f(x)=.(1)试证:f(x)在(-,+)上为单调递增函数;(2)若nN*,且n3,试证:f(n).参考答案一、选择题1.C解析:先排最后一个公益宣传广告有种方法,再在前三个位置中选一个排第二个公益宣传广告有种方法.余下的三个排商业广告有种方法.故共有=36种.2.A解析:因为T3=(ax)4(-1)2,所以a4=240(a0).故a=2.3.C解析:分两类:(1)无0,=72;(2)有0,=108,故共有72+108=180(个).4.C解析:展开式的通项为Tr+1=(2x3)7-r=(-1)r27-r,令21-r=0,得r=6.故其常数项为(-1)627-6=14.5.C解析:把四个小岛看作四个点,可以两两之间连成6条线段,任选三条,共有种情形,但有4种情形不满足题意,不同的建桥方法有-4=16种.6.D解析:Tr+1=2rxr,由2r-12r,2r+12rr,r=10,第11项的系数最大.7.C解析:基本事件的总数是,在三种价格的门票中各自选取1张的方法数是,故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的不同的选法共有-=90种.8.B解析:分类:第一类,两人拿对:2=20种;第二类,三人拿对:=10种;第三类,五人拿对,有1种,不存在四人拿对的情况,故共有20+10+1=31种.9.C解析:当丙在10月7日值班时共=240种排法.当丙不在10月7日值班时,若甲、乙有1人在10月7日值班时,共=192种排法,若甲、乙不在10月7日值班时,共有(+)=576种排法.综上知,共240+192+576=1 008种排法.10.D解析:按照三个灯泡同色、三个灯泡两红一黄、三个灯泡一红两黄将问题分为三类:第一类:三个灯泡同色时,可以呈现出不同的变换形式的种数为2=20种;第二类:三个灯泡两红一黄时,可以呈现出不同的变换形式的种数为=30种;第三类:三个灯泡一红两黄时,可以呈现出不同的变换形式的种数为=30种.故呈现出满足条件的不同的变换形式的种数为20+30+30=80.二、填空题11.解析:二项式的展开式中所有项的系数的绝对值之和是3n,所有项的二项式系数的和是2n,则+=+,令t=,0t1,则+=t+,构造函数f(t)=t+(0t1),则f(t)=1-,当t(0,1)时,f(t)0,即函数f(t)在(0,1)上单调递减,t=,故t=时,函数f(t)取得最小值,这个最小值是+=.12.1 080解析:先将6位志愿者分成4组有种分法,再将这4组分配至不同场馆有种分法.共计=1 080种方法.13.解析:因为二项展开式中共有12项,其通项Tr+1=(3)11-r(-2)r=311-r(-2)r,r=0,1,11,其中只有当r=3或r=9时,才是有理项,故P=.14.276解析:从8名志愿者中选出3人分别从事接待、护理、维持秩序这三种工作共有种选法,从8名志愿者中选出分别从事接待、护理、维持秩序这三种工作的3人都是男志愿者的选法共有种,故选出的3人中至少有1名女志愿者的选法种数为-=336-60=276.15.27解析:由已知条件可得a5=(-m)3=-56m3=56,解得m=-1,则a0+a2+a4+a6+a8=27.三、解答题16.解:(1)Tr+1=()10-r=(-1)r(r=0,1,2,10).每一项系数的绝对值即这一项的二项式系数,又奇数项系数是正数,偶数项系数为负数,因此第5项、第7项的系数最大.T5=210,T7=210.中间项即第6项的系数绝对值最大,T6=-=-252.(2)Tr+1=(2x)10-r(3y)r=210-r3rx10-ryr.设第r+1项系数最大,由解得r.又rN,r=6,即(2x+3y)10展开式中第7项系数最大,T7=(2x)4(3y)6=2 449 440x4y6.17.解:(1)数学排在历史之前有=60种排法.(2)数学排在历史之前且外语排在语文之前有=30种排法.(3)外语排在数学之前,数学又排在历史之前有=20种排法或者有种(先任排另两科,然后按顺序依次插入外语、数学、历史).(4)集合法:第一节排历史有种,第五节排数学有种,第一节排历史,第五节又排数学有种,所以符合条件的排法有-+=78种.(5)语数外三门连在一起排在上午有2种排法,其余两节任意排有种排法,故共有2=24种排法.18.证明:32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=8n+1+8n+82+8+-8n-9=64(8n-1+8n-2+)+8(n+1)+1-8n-9=64(8n-1+8n-2+),显然上式能被64整除(因为8n-1+8n-2+为正整数).故32n+2-8n-9能被64整除.19.解:(1)第r+1项的系数为2r,第r项的系数为2r-1,第r+2项的系数为2r+1,依题意得整理得即求得n=7,故二项式系数最大的项是第4项和第5项.T4=(2)3=280,T5=(2)4=560x2.(2)假设第r+1项的系数最大,则即即解得r.又rN,r=5,展开式中系数最大的项为T6=(2)5=672.20.解:(1)先考虑大于43 251的数有三类:以5开头的有个,以45开头的有个,以435开头的有个,则不大于43 251的五位数有-(+)=88个,即43 251是此数列的第88项.(2)此数列共有120项,即96项以后还有120-96=24项,即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,而以5开头的五位数恰好有=24个,所以小于以5开头的五位数中最大的一个就是该数列的96项,即为45 321.(3)因为1,2,3,4,5各在万位时都有个五位数,所以万位上数字的和为(1+2+3+4+5)10 000;同理,它