小学生数学解题“舍简求繁”的原因分析及策略(中小学数学2009年第3期).doc

小学生数学解题“舍简求繁”的原因分析及策略江苏省苏州工业园区星海学校 严林妹 彭永新曾经在一份杂志上看到这样一个类似笑话的故事：一位物理学家和一位数学家去烧一壶茶，当面对一个空茶壶时，俩人的做法是相同的：先把空茶壶倒满水，放到灶上，打火烧开。但当面对一个装满水的茶壶时，物理学家直接把满的茶壶放到灶上打火烧开，而数学家却是先把满壶水倒空，再倒满水，放在灶上，打火烧开。物理学家显然是用常人的思维，即茶壶满了，那么就可以直接放到灶上烧开。而数学家则可能是源于专业影响，僵化地运用了数学中的还原思想，即把满壶水还原成最原始状态空茶壶，再按空茶壶烧开水的步骤进行。这当然是一个在现实生活中并不可能看到的“自找麻烦”式的笑话，但是在我们小学生解答数学题的过程中，却经常可以看到这种自找麻烦、舍简而求繁的现象。【案例枚举】案例1：百分数应用题：“今年计划产值200万元，去年比今年少50万元，去年比今年少百分之几？”合理的解法是：50200=25%，可现实情况往往是几乎到处可见相当一部分学生会做出如下“绕圈子”式的解答：200-(200-50)200=25%。案例2：分数乘法应用题：“一根电线长10米，用去了，则现在比原来短了多少米？”合理的解法是：10=2.5（吨）。但也有相当一部分学生却舍简而求繁，采用了这样的做法：10（1010）=2.5（吨）。 案例3：图形计算：已知右图中正方形的面积是10平方厘，求圆的面积。正确的解法是：3.1410=31.4（平方厘米），可是有相当多的学生不会做此题，理由是不知道圆的半径或直径，而无法解题。 等等，此类事例举不胜举。【现象分析】从解答的思维过程上看，学生出现这样的现象，就与前面的数学家烧满壶水如出一辙，也是僵化地采取了还原的思想与做法。如第一题，第一反映在这些学生脑中的是这样两个关联的数量关系式：“今年产值去年比今年少的产值=去年产值”“今年产值去年产值=去年比今年少的产值”，而根本无视“去年比今年少50万元”这个已知条件。于是学生便如同以往整数应用题解题思路一样，按部就班地进行解答，就真如先把满壶水倒空一般。第二题与第一题雷同。第三题，学生的思维就是套用计算公式，s=r2,总是先要求出半径，再求面积，而没有想到正方形的面积就是r2，已知r2计算圆的面积更简便，更合理。从解答的结果上看，较复杂的解答方法也是正确的。但从解决问题的合理性，解题思路的优化策略上看，却值得讨论。【成因分析】从学生的学习心理看，这是学生受已有知识经验、思维定势的影响，也是学生趋易避难心理的正常反应。从表面上看，第一题采用50200、第二题采用10、第三题采用3.1410，在计算上肯定更为简便，但从思维的难度上说，是比200-（200-50）200、10（1010）和先求出半径，要难得多。这些看似复杂的方法更容易让学生接受和应用这是因为：从思路上说，前两题虽然解法中的某一部分是属于分数应用题的解答方法，但整体上并没有脱离整数应用题的范畴在学生的思维中，整数应用题的思维难度要远比分数应用题来得简单，因此在面临这样的分数应用题时，学生首先是以整数应用题的眼光去思考解决问题的策略，得出这样一种相对“复杂”的方法。而对第三题计算图形面积，学生首先想到的是利用公式计算（习惯思维），按部就班，而看似简单的思维转化：正方形面积就是r2，学生却是很难想到的。从教学的角度看，这显然是学生先前较为牢固的认知经验对新问题造成的负迁移所致。学生在面临新问题时，总会根据自己已有的经验模型，把新问题还原旧问题，然后进行解答。把新问题纳入到自己的已有认知结构中这确实是一种很好的解决问题的方法，但在已有认知经验无法很好地解决新问题时，已有经验反而会起到一种阻碍认知结构进一步发展的消极作用。上面出现的舍简求繁现象，正是这一消极作用的表现。如第一题，显然是学生受了百分数应用题基本模型题：（AB）A（或B）的影响，只是想着如何把去年产值计算出来，还原到这个数量关系式，而不去进一步思考：题中A-B的值实际已经告知了。第二题学生受学习整数应用题时所牢固掌握的“总量部分量=另一部分量”这一数量关系式的影响，首先想到的是还剩的长度未知，就先计算出来，用“总长度用去的长度=还剩的长度”，然后再思考“ 总长度还剩的长度=用去的长度”。沿着这样的思路，就出现了如上的不太合理解法。第三题学生显然是死套计算公式所致，学生对圆面积计算公式烂熟于心了，就自然只往这方面考虑了。此三题的现象归根到底是学生数学思维有所僵化，不能灵活地应用所学知识解决实际问题。【对策初探】如何看待学生中存在的这种舍简求繁的解题现象？如何避免这种现象？首先，从学生的学习心理看：毋庸置疑，对学生这样的做法，教师首先应该加以一定的肯定，不应简单粗暴地予以驳斥和否定。虽然单纯地从计算角度上看，这样的方法是不尽合理，不应提倡，但从解决问题和数学思想的角度看，出现这样的现象，恰恰是学生运用“已知”解决“未知”的积极的解决问题的态度表现，而其中蕴含的数学思想还原思想，也是十分珍贵的，是有助于学生今后的发展。关键是在于教师教学时如何正确地引导，如何利用题目中的已知条件很好地解决问题。其次，从教学的角度看：我们需要建立数学模型，抽取数量关系式。但在巩固这些模型的同时，也要注意变化和比较，使学生的认知结构灵活而不死板。如第一题，就可以把它与一些变形题放在一起，进行系列比较： 去年实际产值150万元，今年计划产值200万元，去年比今年少百分之几？ 去年实际产值150万元，今年计划产值200万元，今年比去年多百分之几？ 今年计划产值200万元，去年比今年少50万元，去年比今年少百分之几？ 今年计划产值200万元，去年比今年少50万元，今年比去年多百分之几？ 今年计划产值200万元，比去年多50万元，去年比今年少百分之几？ 今年计划产值200万元，比去年多50万元，今年比去年多百分之几？通过比较，使学生发现、两题“去年与今年相差多少万元”是未知的，需要先计算出来，再求少百分之几；、 两题“去年与今年相差多少万元”是直接已知的，可以直接计算；、虽然“去年与今年相差多少万元”是直接已知的，但“去年多少万元”是未知的，还要先求，就不能直接计算。这样就能引导学生关注所需条件的已知还是未知，促使在掌握基本模型（即基本数量关系式：（AB）A（或B）的基础之上，有进一步的变形与深化的认识。再次，加强学生对自己的学习过程进行反思的习惯培养。这是提高学生的思维自我评价水平、提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法。众所皆知，概括是思维的基础，并且是有层次的、逐步深入的过程。学生如果获得正确的答案后就此终止，不对解题过程进行回顾和反思，那么解题活动就可能停留在经验水平之上，事倍功半；相反，如果每一次解题之后都能对自己的思路作自我评价，探讨成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，并促进学生的思维进入理性认识阶段，事半功倍。比如：上述案例3，学生已经熟练地掌握了应用公式求圆面积，但是面对此题（半径、直径、甚至周长都不知道）就有点束手无策。此时，我就引导学生重新审视计算公式s=r2，求圆面积的条件，除了要知道半径r,或直径d,或周长c外，还已知什么条件也能求圆的面积呢？学生从回顾圆面积的推导过程中，从计算公式上了解已知r2也就是小正方形的面积同样能求圆的面积，而且计算只有一步。这样的问题计算简单而思维上却是有一定的深度和难度，我帮助学生从基本概念、基础知识的角度来分析解题思路或者剖析解题不合理的原因（前面两例），使得学生通过反思而更加深刻地理解基本概念和基础知识。总之，学生的已有认知经验是学生数学学习的起点，由于学生天性固存的惰性，总会