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立体几何专题 1 多面体的截面 多面体的截面在课本P59 例3 P63 B 1处体现 1 一 定义及相关要素用一个平面去截几何体 此平面与几何体的交集 叫做这个几何体的截面 此平面与几何体表面的交集 交线 叫做截线 此平面与几何体的棱的交集 交点 叫做截点 二 作多面体截面1 方法 交线法 该作图关键在于确定截点 有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线 从而求得截面 2 作截线与截点的主要根据有 1 确定平面的条件 2 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们相交于过此点的一条直线 3 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 4 如果一条直线平行于一个平面 经过这条直线的平面与这个平面相交 那么这条直线就和交线平行 5 如果两个平面平行 第三个平面和它们相交 那么两条交线平行 2 三 作图题型 1 截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上 且其中有两点在同一个面的棱上 作图题1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G分别在AB BC DD1上 求作过E F G三点的截面 作法 1 在底面AC内 过E F作直线EF分别与DA DC的延长线交于L M 2 在侧面A1D内 连结LG交AA1于K 3 在侧面D1C内 连结GM交CC1于H 4 连结KE FH 则五边形EFHFK即为所求的截面 3 作图题2 P Q R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1 CC1和DD1上 试画出过P Q R三点的截面 作法 1 连接QP QR并延长 分别交CB CD的延长线于E F 2 连接EF交AB于 交AD于S 3 连接RS TP 则多边形PQRST即为所求截面 4 作图题3 已知P Q R分别是四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱CD DD1和AA1上的点 且QR与AD不平行 求作过这三点的截面 作法 1 连接QP并延长交DA延长线于点I 2 在平面ABCD内连接PI交AB于点M 3 连接QP RM 则四边形PQRM即为所求 5 作图题4 如图 五棱锥P ABCDE中 三条侧棱上各有一已知点F G H 求作过F G H的截面 作法 1 将侧面PAB PBC PDE伸展得到三棱锥P BST 2 在侧面PBS内 连结并延长GF 交PS于K 3 在侧面PBT内 连结并延长GH交PT于L 4 在侧面PST内 连结KL分别交PD PE于M N 5 连结FN MH 则五边形FGHMN即为所求的截面 6 2 截面经过的三个已知点至少有一点在多面体的面上 其余点在棱上 作图题5 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F在两条棱上 G在底面A1C1内 求过E F G的截面 作法 1 过E F作辅助面 在面BC1内 过F作FF1 BB1 交B1C1于点F1 则面AFF1A1为所作的辅助面 2 在面AFF1A1内 延长F1A1交FE的延长线于P 3 在面A1B1C1D1内 连接PG交A1B1于M 并延长交B1C1于M 4 连结ME并延长与BA延长线交于Q 连接QF交AD于H 5 连结EH FN 则五边形EHFNM为所求的截面 7 作图题6 已知直四棱柱AC1 P在面D1DCC1内 Q在面A1ADD1内 R在棱BB1上 画出过P Q R三点的截面 8 作法 1 过P作PP CD于点P 过Q作QQ AD于Q 2 在底面ABCD内连接AP BQ 并交于H 3 由平行线QQ RB作平面QQ BR 连接QR 4 在平面QQ BR内过H作KH 面ABCD交QR于K 5 由平行线PP AA1作平面PP AA1 则K必落在面PP AA1内 6 在面PP AA1内 连接PK 并延长交AA1于M 7 在面A1ADD1内 连接MQ 并延长交DD1于S 8 在面D1DCC1内 连接SP 并延长交CC1于T 9 连接RT RM 则多边形SMRT即为所求 9 3 截面经过的三个已知点中 有两个点在同一棱上 第三点在多面体内 作图题7 试画出过正三棱柱ABC A1B1C1的底边BC及两底中心连线OO1中点的截面 作法 1 过A1A和OO1作平面AOO1A1 交BC于D 交B1C1于D1 则D D1分别为BC B1C1的中点 2 在平面A1AM内 作直线DM交上底面A1B1C1于点G 3 在平面A1B1C1内 过G作EF B1C1交A1B1于E 交A1C1于F 4 连接BE CF 则多边形BCFE为所求 10 作图题8 在侧棱和高的夹角为 的正四棱锥中 求作一个过底面顶点且与这点所对侧棱垂直的截面 45 作法 1 在平面SAC中 作AE SC于点E 2 在底面ABCD内过A作a BD 3 延长CB CD分别交a于点M N 4 连接EM EN 分别交SB SD于点G H 5 连接AG AH 则多边形AGEH即为所求 11 4 截面经过的三个已知点两两不在同一面内的棱上 作图题9 P Q R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1 A1D1和AB上 试画出过P Q R三点的截面 12 作法 1 先过R P两点作辅助平面 过点R作R1R BB1交A1B1于R1 则面CRR1C1为所作的辅助平面 2 在面CRR1C1内延长R1C1 交RP的延长线于M 3 在面A1B1C1D1内 连接MQ 交C1D1于点S 延长MQ交B1A1的延长线于点T 4 连接TR 交AA1于点N 延长TR交B1B于点K 再连接KP交BC于点L 5 连接RL PS QN 则多边形QNRLPS为所求 13 注 若已知两点在同一平面内 只要连接这两点 就可以得到截面与多面体的一个面的截线 若面上只有一个已知点 应设法在同一平面上再找出第二确定的点 若两个已知点分别在相邻的面上 应找出这两个平面的交线与截面的交点 若两平行平面中一个平面与截面有交线 另一个面上只有一个已知点 则按平行平面与第三平面相交 那么它们的交线互相平行的性质 可得截面与平面的交线 若有一点在面上而不在棱上 则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题 若已知点在体内 则可通过辅助平面使它转化为面上的点 再转化为棱上的点的问题来解决 14 立体几何专题 2 空间图形的作图 空间图形的作图在课本P51 A 1 P62 A 4 P78 A 1 2处体现 15 一 空间几何作图的规则 1 通过不共线的三点作一平面 2 求两个可作相交平面的交线 3 在一个可作平面内 支持用直尺和圆规按照平面几何解决一切作图题 4 任意取一点 在或不在已知直线上 在或不在已知平面上 任意取一直线 通过或不通过一已知点 在或不在已知平面内 任意取一平面 通过或不通过一已知点 通过或不通过一已知直线 5 求已知球心及半径的球面 二 解作图问题的步骤 1 分析 假设求作的图形已经作出了 研究已知条件和未知条件间有何可以沟通的关系或中间条件 从而发现如何从已知条件通过中间条件的媒介达到未知条件 2 作法 从分析的结果 写 说 出每一个作图过程 3 证明 证明所作图形确实满足所设条件 4 讨论 研究在怎样的条件下 解答存在或不存在 以及当解答存在时解的个数有多少 16 三 简单作图题 作图题1 求作一平面使其满足下列条件之一 1 通过一已知直线及其外一已知点 2 通过两已知相交直线 3 通过两已知平行直线 作图题2 求已知直线和已知平面的交点 作图题3 求三已知平面的交点 作图题4 通过已知直线外一已知点 求作一直线使与该直线平行 17 18 作图题5 P62 4 给定两条异面直线 求作一平面通过其中一线而平行于另一线 命题 过两异面直线中一个有且只有一平面与另一直线平行 证明 证明存在性 设直线a b异面 在a上任选取一点A 过A作b b 相交直线a和b 确定一平面 则b 证明唯一性 设点A和直线b确定平面 则 b A b 假设过a还存在平面 b 则必有 与 相交 设 b 则b b A b b b 与A b 且A b 相矛盾 故 是唯一的 作图题5解答唯一存在 作法 在直线a上任取一点A 过直线b与线外一点A作平面M 在平面M内作直线c b 过相交直线a与c作平面N 则平面N即为所求 19 作图题6 给定两条异面直线 过其一直线各作一平面使两平面互相平行 命题 P63 2 a b是异面直线 a a b b 存在唯一一对 使 证明 a b异面 a b 由作图题5的命题知 这样的面 有且只有一个 要确定它 只需在a上任取一点A作直线b b 则a和b 就确定了 同理 满足条件的 也有且只有一个 要确定它 只需在b上任取一点B作直线a a 则b和a 就确定了 综上知 存在且唯一 又 a a b b a b b a 作图题6解答唯一存在 20 作图题7 过给定平面外一点求作一平面 使平行于该平面 命题 过平面外一点 有且只有一个平面与该平面平行 证明 设A是面 外一点 在 内任取两相交直线a b 过A作a a b b 两相交直线a b 确定面 存在性证明了 假设过A还存在 则a b 设过A和a的平面为 则 与 必相交 设 a 则a a a a 这与A a 且A a 矛盾 故 是唯一的 唯一性也证明了 作图题7解答唯一存在 21 作图题8 给定两直线a b及一点A 求作一平面使通过A并平行于a和b 解 1 若a b异面 且A不在通过其中过一线而平行于另一线的平面内 则问题有唯一解答 2 若a b相交 且A不在a b所确定的平面内 则问题有唯一解答 3 若a b平行 且A既不在a上又不在b上 则问题不定 即有无穷多个解答 4 其它情形下 问题无解 作法 在a和A确定的平面内过A作a a 在b和A确定的平面内过A作b b 由a 和b 确定的平面 即为所求 22 作图题9 求作一直线l使与两直线a b相交 并通过此两直线以外的一已知点M 解 若a b共面于 1 当M 时 有无穷多个解答 2 当M 且a b相交时 有唯一解答 3 当M 且a b时 没有解答 若a b异面 1 当M在过a而平行于b的平面 内或在过b而平行于a的平面 内时 没有解答 2 当M既不在过a而平行于b的平面 内又不在过b而平行于a的平面 内时 有唯一解答 23 作图题10 给定两条异面直线a和b 求作一直线l使与a b相交 并与第三直线c平行 解 若c a相交且确定平面 1 当 b时 无解 2 当 与b相交时 有一解 解为过b与 的交点A作c的平行线 若c a异面 设过a且平行于c的平面为 1 当 b时 无解 2 当 与b相交时 有一解 解为过b与 的交点B作c的平行线 综上知 当a b c平行于同一平面时 无解 其它情况下 只有一解 24 作图题11 给定一平面及一斜线 求作在平面上通过斜足作一直线 使与斜线成已知锐角 解 设OA为给定平面 的给定斜线 已知锐角为 在斜线OA上任意取一点A 并作AH 于H 连接OH 设 AOH 则由最小角定理 斜线与它在平面内的射影所成的锐角是斜线与这平面内其它直线所成锐角中最小一个 知 1 当 时 无解 2 当 时 有一解 解为直线OH 2 当 时 有两解 由cos cos cos 得cos 记R OH sin 在 内以H为圆心 R为半径作圆 过O作圆的切线l1和l2即为解 25 作图题12 通过一定直线求作一平面 使与平面成定角 解 设给定直线为a 给定平面为 若a 或a 1 当 时 有一解 解为过a与 垂直的平面 2 当 时 有两解 当a 时 在a上任取一点A 过A作AH 于H 记R AH cot 在 内以H为圆心 R为半径作圆 作平行于a的圆的切线l1和l2 过a分别与切线l1和l2的平面即为解 当a 时 在a上任取一点H 过H作a的垂面 交 于b 在 内作HA b 过A作c b 记R AH cot 在c上取AB AC R 则过a分别与B和C的平面即为解 26 若a 1 当 时 无解 2 当 时 有无穷多解 若a是 的斜线 斜足为O 所成角为 在a上任取一点A 过A作AH 于H 连接OH 1 当 时 无解 2 当 时 有一解 在 内过O作OH的垂线b 由a b确定的平面即为解 3 当 时 记R AH cot 在 内以H为圆心 R为半径作圆 过O作圆的切线l1和l2 过a分别与切线l1和l2的平面即为解 27 作图题13 给定两条异面直线 求作一直线和它们垂直相交 解 过b任意一点M作a a 作过b和a 的平面 过a作面 交 于a0 则a0与b必相交 反证法 设a0 b B 在 内过B作BA a0交a于A 故直线AB即为所求 28 立体几何专题 求空间角的基本方法 29 1 异面直线上两点间的距离公式 已知夹角为 的两异面直线a b的公垂线段为AA A a A b E F分别为a b上的点 且 AA d A E m AF n 则 EF 0 几个常用公式 解 设经过b与a平行的平面为 经过a和AA 的平面为 c 则c a 因而b c所成角等于 且AA c 又AA b AA 又AA 在 内作EG c于G 则EG AA EG 连接FG 则EG FG 30 在 AFG中 AG A E m AF n FAG FG2 m2 n2 2mncos 在Rt EFG中 EG AA d EF2 EG2 FG2 EF2 d2 m2 n2 2mncos 当F在A的另一侧或E在A 的另一侧时 有EF2 d2 m2 n2 2mncos EF 注 还可用向量法 31 正方形ABCD的边长为6cm 点E在AD上 且AE AD 点F在BC上 且BF BC 把正方形沿对角线BD折成直二面角A BD C后 则EF等于 A 2 cmB 2 cmC 2 mD 6cm 解析 设AC BD O 作EE BD于E 作FF BD于F 则DE EE AO AC AB 2 BF FF EE E F BD DE BF 3 应用示例 32 正方形沿对角线BD折成直二面角A BD C后 EE FF 成了互相垂直的异面直线 且E F 为EE FF 的公垂线段 由公式得EF E F EE FF 3 2 2 选A 变式 将题中 正方形沿对角线BD折成直二面角A BD C 改为 正方形沿对角线BD折成60 二面角A BD C 其它不变 又如何 33 2 三余弦公式 已知AO是平面 的斜线 为斜足 OB 于B 则AB是AO在 内的射影 设AC是 内的任一条直线 且BC AC于C 设AO与AB所成角为 1 AB与AC所成角为 2 AO与AC所成角为 则 cos cos 1cos 2 解 OB OB AB OB AC 又BC AC AC 面BOC AC BC在Rt AOB中 cos 1 在Rt ABC中 cos 2 cos 1cos 2 在Rt AOC中 cos cos cos 1cos 2 34 设C是 AOB所在平面外的一点 若 AOB BOC AOC 其中 是锐角 而OC与平面AOB所成角的余弦值等于 则 的值为 A 30 B 45 C 60 D 75 应用示例 解析 作CC1 面AOB于点C1 CA1 OA于点A1 CB1 OB于点B1 连接C1A1 C1B1 OC1 如图 则 COC1为直线OC与平面AOB所成的角 即cos COC1 35 由三垂线定理的逆定理知C1A1 OA C1B1 OB BOC AOC OC OC Rt A1OC Rt B1OC CA1 CB1 Rt A1C1C Rt B1C1C C1A1 C1B1 则OC1是 AOB的平分线 COC1 由三余弦公式知cos cos COC1 cos cos cos 舍去 30 60 选C 36 3 射影面积公式 已知二面角 l 的面 内的平面图形 的面积为S 在面 内的射影图形 的面积为S 二面角 l 的大小为 则 cos 如图 二面角 l 的面 内的 ABC在面 内的射影为 A BC 作AH l于 A H AA 则由AA 得AA l AHA 是二面角 l 的平面角 且cos AHA 又S ABC BC AH S A BC BC A H S A BCS ABC 即cos AHA S A BCS ABC 下面以 进行说明 37 一 基本方法 1 直接法 先作出平面角 再求其大小 2 间接法 公式法 异面直线上两点间的距离公式 已知夹角为 的两异面直线a b的公垂线段为AA A a A b E F分别为a b上的点 且 AA d AE m A F n 则 射影面积法 已知二面角 l 的面 内的平面图形 的面积为S 在面 内的射影图形 的面积为S 二面角 l 的大小为 则 向量法 EF 0 cos 求二面角的基本方法 38 示例 如图 在三棱锥A BCD中 AB 面BCD BD CD 1 求证 面ABD 面ACD 2 若AB BC 2BD 求二面角B AC D的正切值 1 证明 AB 面BCD AB CD 又BD CD AB BD D CD 面ABD 又CD 面ACD 面ABD 面ACD 39 解法一 作BE AD于E 由 1 知 面ABD 面ACD BE 面ACD BE AC 取AC中点F 连接BF EF AB BC BF AC AC 面BEF AC EF 则 BFE是二面角B AC D的平面角 AB 面BCD AB BC AB BD BE 面ACD BE EF 取BD 1 则AB BC 2 在Rt ABC中 AC 2 BF 在Rt ABD中 AD BE 在Rt BEF中 sin BFE tan BFE 故二面角B AC D的正切值为 40 二面角的平面角作法二 作DE BC于E DF AC于F 连接EF AB 面BCD 面ABC 面BCD DE 面ABC DE AC AC 面 EF AC EF 则 DFE是二面角B AC D的平面角 说明 若在讨论二面角大小时 存在与二面角的一个面垂直而与二面角的另一个面相交的平面 常先该平面内作出两垂面交线的垂线 然后构造出二面角的平面角 41 解法二 取AC中点F 连接BF AB BC BF AC 作DE AC于E 这样 所求二面角B AC D的平面角就转化为求异面直线BE DF所成角 AB 面BCD AB BC AB BD CD 面ABD CD AD 取BD 1 则AB BC 2 在Rt BCD中 CD 在Rt ABC中 AC 2 BF CF 在Rt ABD中 AD 在Rt ACD中 AC 2 AD CD DE CE EF 设异面直线BE DF所成角为 则由EF2 BF2 DE2 2BF DE cos BD2 得 2 2 cos 1 cos tan 故二面角B AC D的正切值为 42 解法三 作BE AD于E 连接CE 由 1 知 面ABD 面ACD BE 面ACD ABC在面ADC内的射影为 AEC AB 面BCD AB BC AB BD CD 面ABD CD AD 取BD 1 则AB BC 2 在Rt BCD中 CD 在Rt ABC中 AC 2 S ABC 2 在Rt ABD中 AD AE 在Rt ACD中 AE CD S AEC 设二面角B AC D的平面角为 则cos tan 故二面角B AC D的正切值为 43 射影作法二 作DE BC于E 连接AE AB 面BCD 面ABC 面BCD DE 面ABC ADC在面ABC内的射影为 AEC 二 作 找 二面角的平面角的基本方法 1 定义法2 三垂线法3 垂面法4 转化法 44 1 定义法 示例1 在60 的二面角 a 的两个面内 分别有A和B两点 已知A和B到棱的距离分别为2和4 且线段AB 10 试求 1 直线AB与棱a所构成的角的正弦值 2 直线AB与平面 所构成的角的正弦值 解析 在平面 内作AD a 在平面 内作BE a CDEB 连结BC AC 则BCDE CD a ABC是AB与a所成角 则由二面角的平面角的定义 可知 ADC为二面角 a 的平面角 即 ADC 60 45 在 ACD中 过A作AH CD于H AD 2 CD 4 ADC 60 AH AC2 AD2 CD2 2AD CDcos60 12 AC 2 AD DE CD DE DE 面ACD 又BCDE BC 面ACD BC AC BC AH 又AH CD AH 连接BH 则 ABH是AB与平面 所成角 46 1 在Rt ABC中 AC 2 AB 10 sin ABC AB与a所成角的正弦值为 2 在Rt ABH中 AH AB 10 sin ABC AB与 所成角的正弦值为 47 示例2 如图 四棱锥A BCED中 DB和EC与面ABC垂直 ABC为正三角形 1 若BC EC BD时 求面ADE与面ABC的夹角 2 若BC EC 2BD时 求面ADE与面ABC的夹角 分析 如图 面ADE与面ABC的交线蜕化成一点 但面ADE与面ABC与面DC相交 如果三个平面两两相交 它们可能有三种情况 1 交线为一点 2 一条交线 3 三条交线互相平行 在图1中 两条交线BC与DE互相平行 所以肯定有过A且平行于DE的一条交线 如图2 DE与BC不平行且相交 根据三个平面两两相交可能出现的三种情况 这三个面的交线为一点 48 解 CE 面ABC BD 面ABC CE BD 1 CE BD BCDE 过A作AM DE 平面ADE与平面ABC的交线即为AM 过A作AN DE于N 过A作AF BC于F AN AM AF AM 则 NAF为面ADE与面ABC的夹角的平面角 设 ABC的边长为a 则AF a AD AE a N为DE的中点 NFBD BD 面ABC NF 面ABC NF AF 在Rt ANF中 AF a NF a tan NAF 49 2 EC 2BD 延长ED CB相交于G点 连结AG AG即为平面ADE与平面ABC的交线 点B为GC的中点 在 AGC中 AB AC BC BG AC AG 又CE 面ABC CE AC CE AG 即证 CAE为平面ADE与平面ABC的夹角的平面角 在Rt ANF中 AC CE CAE 45 50 示例3 如图 空间四边形ABCD中 AB AD 3 BC CD 4 BD 2 AC 5 试求A BD C二面角的余弦值 解析 如图 AB AD BC CD 则 ABD和 BCD为等腰三角形 取BD中点E 连接AE CE 则AE BD CE BD AEC为二面角A BD C的平面角 在 ACE中 AC 5 AE 2 CE cos AEC 故A BD C二面角的余弦值为 说明 利用正 和等腰 中的三线合一找垂直关系 51 示例4 如图 已知空间四边形ABCD AB BC 6 AD CD 4 BD 8 AC 5 试求A BD C的余弦值 解析 过A作AE BD于E 连接CE 由条件知 AED CED 可证CE BD 则 AEC为二面角A BD C的平面角 在 ABD中 AB 6 AD 4 BD 6 cos BAD sin BAD 由 BD AE AB ADsin BAD 得AE 在 AEC中 AE CE AC 5 cos AEC 故A BD C的余弦值为 说明 利用 全等找垂直关系 52 2 三垂线法作 找 出二面角的平面角 示例1 如图 在平面 内有一条直线AC与平面 成30 AC与棱BD成45 求平面 与平面 的二面角的大小 解 过A作AF BD于F AE 平面 于E 连结CE EF 则 ACE是AC与 所成角 AE BD BD 面AEF BD EF 则 AFE为二面角的平面角 在Rt ACE中 ACE 30 令AE a 则AC 2a 在Rt ACF中 ACF 45 AC 2a AF a 在Rt AEF中 AE a AF a sin AFE AFE 45 故平面 与平面 的二面角的大小为45 53 说明 1 如果两个平面相交 有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线 可过这一点向棱作垂线 连结两个垂足 应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直 那么就可以找到二面角的平面角 2 在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时 注意 作 连 证 54 示例2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 M为棱AD的中点 求平面B1C1CB和平面BC1M所构成的锐二面角的正切 解析 平面AC与二面角M BC1 C的一个面B1C垂直 与另一个平面MBC1相交 过M点作MP BC于P 面AC 面B1C MP 面B1C MP BC1 过P作PN BC1于N 连结MN BC1 面MNP MN BC1 则 MNP为二面角M BC1 C的平面角 设棱长为a 在Rt MNP中 MP a NP a tan MNP 2 故平面B1C1CB和平面BC1M所构成的锐二面角的正切为2 55 说明 当一个平面与二面角的一个平面垂直 与另一个平面相交时 往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线 再过垂足作二面角棱的垂线 根据三垂线定理即可证明 并找出二面角的平面角 56 3 垂面法作 找 出二面角的平面角 作二面角棱的垂面 垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角 即为二面角的平面角 示例 如图 已知P为 CD 内的一点 PA 于A点 PB 于B点 如果 APB n 试求二面角 CD 的平面角大小 解 设过PA PB的平面 与CD交于点E 连接EA EB 又PA PA C