【名师导学】高中数学 第二章 平面向量（含解析）苏教版必修4.doc

第1课时向量的概念及表示 教学过程一、 问题情境 1. 情境:湖面上有三个景点o, a, b(如图1),一游艇将游客从景点o送至景点a,半小时后,游艇再将游客送至景点b,从景点o到景点a有一个位移,从景点a到景点b也有一个位移.(图1) 2. 问题:(1) 位移和距离这两个量有什么不同?(2) 我们知道物理中的力、速度、位移等都是矢量,不同于路程、质量等,它们具有什么样的共同特征?你能举出几个具有以上特征的量吗?年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗?二、 数学建构(一) 生成概念引导学生思考、讨论上面的问题,从而引出以下概念.(1) 定义:既有大小又有方向的量叫向量,如位移、力、速度、加速度等.(2) 向量的表示方法1 几何表示法:有向线段具有一定方向的线段,如;2 字母表示法:如a.(3) 模的概念:向量的大小称为向量的模,记作|,模是可以比较大小的.(4) 两个特殊的向量1 零向量:长度(模)为0的向量,记作0.0的方向是任意的.2 单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.引导学生思考下面的问题:观察图2,在中心为o的正六边形abcdef中,(图2)向量与向量, 有什么关系?向量与向量有什么关系?向量与向量有什么关系?向量, , , , 有什么关系?(5) 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a, b平行,记作ab.规定:0与任一向量平行.(6) 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a, b相等,记作a=b.规定:0=0.(7) 相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.(8) 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量.如图3,=a, =b, =c,且abc,则向量a, b, c可以平移到一条直线上.(图3)(二) 理解概念(1) 数量与向量的区别:数量只有大小,可以比较大小;向量既有方向又有大小,不能比较大小(强调).(2) 0与0的区别:0是向量,是有方向的(虽然方向是任意的);0是数量,没有方向.(3) 任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,与起点无关.(三) 巩固概念桌面上,质量相同的两个物体a和b,它们所受的重力是否相等?它们所受的重力对应的向量是否相等?解因为它们所受的重力的作用点不同,所以它们所受的重力不相等.因为它们所受的重力对应的向量大小相等,方向相同,所以它们所受的重力对应的向量相等.这说明数学中研究的向量是自由向量,只有两个要素:大小和方向.三、 数学运用【例1】下列命题中正确的是(填序号). 向量a与b共线, b与c共线,则a与c也共线; 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点; 向量a与b不共线,则a与b都是非零向量; 有相同起点的两个非零向量不平行.3(见学生用书p35)规范板书解对于,考虑到b可能是零向量,所以错;对于,考虑到两个向量可能在同一条直线上,所以错;对于,向量平行不同于直线平行,所以错.显然正确,故填.题后反思向量平行不同于直线平行:若两直线重合,则它们不平行;若两向量在一条直线上,则它们必平行,共线向量即为平行向量.【例2】(教材第60页例1)已知o为正六边形abcdef的中心,在下图所标出的向量中:(例2)(1) 试找出与共线的向量;(2) 确定与相等的向量;(3) 与相等吗?4(见学生用书p36)处理建议在学生充分了解正六边形的几何性质的基础上,让其自主解题;再充分利用图形,多问几个问题,全面覆盖本节课的内容.规范板书解(1)与共线的向量有和.(2) 与长度相等且方向相同,故=.(3) 虽然,且|=|,但它们方向相反,故这两个向量并不相等.变式1在图中标出的向量中,与向量模相等的向量有多少个?规范板书解3个.题后反思向量相等要看两个要素(大小,方向),若有一个要素不同,则两向量不等.向量共线不同于几个点共线,也不同于几个线段共线.变式2如图,在以1cm3cm方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,请写出以a为起点的不同向量,并求其大小.5(变式2)处理建议写出向量的关键是找出起点和终点,而求其大小就是求向量的模,也即求起点、终点两点间的距离.规范板书解由图可知,以a为起点的向量有, , , , , , ,且|=1, |=2, |=3, |=, |=, |=, |=1.题后反思在求向量模的过程中,可借助勾股定理求解.(例3)【例3】如图,在四边形abcd中,=,n, m分别是ad, bc上的点,且=,求证:四边形dnbm是平行四边形.6(见学生用书p36)处理建议由=可得到四边形abcd为平行四边形,则adbc.又由=可得到四边形cnam为平行四边形,则ancm,可得dnmb,从而可证明四边形dnbm为平行四边形.规范板书证明 =, abdc, 四边形abcd为平行四边形, adbc.又 =, cnma, 四边形cnam为平行四边形, ancm, dnmb, 四边形dnbm为平行四边形.题后反思向量相等包括两方面的含义:长度相等和方向相同(即平行).(例4)*【例4】如图,已知半径为1的圆o上有8个等分点a, b, c, d, e, f, g, h,以图中标出的9个点为起点和终点作向量,那么(1) 有多少个单位向量?(2) 有多少个模为的向量?(3) 与平行的向量有哪些?7规范板书解(1) 共有16个单位向量.(2) 圆周上,只隔一个点的两点所连的向量的模为,共有28=16个.(3) 与平行的向量有, , , , .题后反思相反向量与原向量平行,且长度相等.向量平行(共线)只要关注:方向相同或相反,不要忘了方向相反的向量.四、 课堂练习 1. 有下列命题:向量的模是一个正实数;两个相等向量必是两个平行向量;坐标平面上的x轴和y轴都是向量;温度有零上温度和零下温度,所以温度是向量.其中真命题的个数是1. 2. 设点o为正方形abcd的中心,在以正方形的顶点及点o为起点或终点的向量中,分别与, 相等的向量是 ,. 3. 某人从a点出发向东走了5m到达b点,然后改变方向往东北方向走了10m到达c点,到达c点后又改变方向向西走了10m到达d点,求的模.(第3题)解根据题意,画出图形如图所示, abd=90, ab=5, bd=10,所以ad=5,故|=5.五、 课堂小结 1. 向量的概念:定义、表示方法、零向量、单位向量.(三个定义,两种表示) 2. 向量的关系:平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量.(三个关系) 3. 两种思想:数形结合思想、分类讨论思想.第2课时向量的加法 教学过程一、 问题情境利用向量的表示,从景点o到景点a的位移为,从景点a到景点b的位移为,那么经过这两次位移后游艇的合位移是,如图1所示.(图1)问题1向量, , 三者之间有什么关系?经过两次位移后游艇的合位移是,两个连续位移的效果可用一个位移表示.问题2如何用数学语言来刻画三者之间的关系?+=.问题3还有哪些量的运算具有类似的性质?和数的运算有什么不同?物理学中,力、位移、速度、加速度等都有类似的运算,它们是向量的运算.二、 数学建构问题4一般地,如何定义向量的加法运算? 1. 向量的加法的含义如图2,已知向量a和b,在平面内任取一点o,作=a, =b,则向量叫做a与b的和,记作a+b.即a+b=+=.(图2)求两个向量的和的运算叫做向量的加法. 2. 向量加法的三角形法则根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.说明三角形法则使用时应该“首尾相连”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的终点相连,若不“首尾相连”可通过平移使之“首尾相连”.问题5数的加法法则是什么?向量的加法满足吗? 3. 向量运算(类比于数的加法)的法则对于零向量和任一向量a,有a+0=0+a=a.对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.向量的加法满足交换律、结合律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).通过作图方式验证向量的加法满足交换律.如图3,作oabc,使=a, =b,则=a, =b.因为=+=a+b, =+=b+a,所以a+b=b+a.(图3) 4. 向量加法的平行四边形法则图3还表明,对于两个不共线的非零向量a, b,我们还可以作平行四边形来求两个向量的和.分别记作=a, =b,以oa, ob为邻边作oabc,则以o为起点的对角线就是向量a与b的和.我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.说明平行四边形法则使用时应该“共起点”,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的起点相同,若不“共起点”可通过平移使之“共起点”.同样,根据图4可以验证,向量的加法满足结合律.(图4)思考如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线,那么这n个向量的和是什么?(零向量)三、 数学运用【例1】如图,在平行四边形abcd的对角线bd的延长线及反向延长线上分别取点f, e,使be=df,用向量的方法证明:四边形aecf是平行四边形.2(见学生用书p37)(例1)处理建议由上一课时的例3知,要证明四边形aecf是平行四边形,只需证明=或=.规范板书解=+, =+,又 =, =, =,即ae, fc平行且相等, 四边形aecf也是平行四边形.题后反思在运用向量方法进行证明时,常常运用向量加法法则(平行四边形法则、三角形法则)将向量进行转化.【例2】如图,已知d, e, f分别是abc三边ab, bc, ca的中点,求证:+=0.3(见学生用书p38)(例2)处理建议引导学生复习三角形边的中点具有的性质,构造平行四边形,联系向量的加法法则,使运算自然展开.规范板书证明连接de, ef, fd.因为d, e, f分别是abc三边的中点,所以四边形adef为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则,得+=.同理在befd中,+=,在cfde在中,+=.将式相加,得+=+=(+)+(+)+(+)=0.题后反思此题有一定的难度,对于培养学生综合运用已有的知识解决问题的能力有促进作用.深化学生对向量加法法则的理解和运用.【例3】(教材第64页例2)在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?4(见学生用书p38)处理建议此题利用向量方法解决实际问题,关键是问题的转化.即渡船的实际速度,船速与水速应满足+=.数学问题解决后一定要回到实际问题.规范板书解如图,设表示水流的速度, 表示渡船的速度, 表示渡船的实际垂直过江的速度.(例3)因为+=,所以四边形abcd为平行四边形.在rtacd中, acd=90, |=|=12.5, |=25,所以cad=30.答:渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30.题后反思明确解题的基本策略,先作出图示来认识活动过程,在直观感受的基础上,运用向量知识求解.四、 课堂练习 1. 在矩形abcd中,|=,|=1,则向量的模等于2. 2. 化简:(1) +=;(2) +=0.提示+=+=0. 3. 在正六边形abcdef中, =a, =b,则=a+b(用a, b表示).提示=+=a+b. 4. 在rtabc中,a=90,若|=3,|=4,则|+|=5.提示在rtabc中,|+|=|=5.五、 课堂小结 1. 由物理学中的合位移推广得到向量的加法运算,类比数的运算得到向量的运算律. 2. 向量加法的三角形法则强调向量“首尾相连”,平行四边形法则强调向量“共起点”.第3课时向量的减法 教学过程一、 问题情境实数的加法与减法是什么关系?2二、 数学建构问题1类似于实数的减法,你能定义向量的减法吗?向量的减法是向量的加法的逆运算.若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,记为a-b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.问题2类似于向量的加法,你能作出向量减法的几何表示吗?作法:如图1、图2,在平面内任取一点o,作=a, =b.(图1)(图2)因为+=,即b+=a,所以=a-b.这就是说,当向量a, b起点相同时,从b的终点指向a的终点的向量就是a-b.由向量加法结合律可知,a+(-b)+b=a+(-b)+b=a,所以a-b=a+(-b).这表明:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.三、 数学运用【例1】如图,已知向量a, b,求作a-b.3(见学生用书p39)(例1)处理建议先让学生自主尝试作图,再进行抽象的理论概括.规范板书略.题后反思不同情形的作图方法归纳:当向量a, b起点相同时, a-b由b的终点指向a的终点;当向量a, b终点相同时, a-b由a的起点指向b的起点;当向量a, b起点和终点都不同时,可以通过平移使之共起点或者共终点.(例2)【例2】(教材第67页例2)如图, o是abcd对角线的交点,若=a, =b, =c,试证明:b+c-a=.(见学生用书p40)处理建议要证b+c-a=,只要证b+c=+a.规范板书证明因为b+c=+=+=, +a=+=,所以b+c=+a,即b+c-a=.题后反思解决这类问题的核心是应用向量加法或减法法则进行相互转化.本题还可以通过=+=+来证明,或者从c-a=-=-=+来证明.【例3】证明:对于任意两个向量a, b都有|a|-|b|a+b|a|+|b|.4(见学生用书p40)处理建议引导学生从不等式本身的几何意义出发,结合向量a, b是否为零向量、是否共线等情况分类讨论.规范板书证明若a, b中至少有一个为零向量,则不等式显然成立.若a, b都不是零向量,记=a, =b,则=a+b.(1) 当a, b不共线时,如图甲所示,则在oab中,有|-|+|,即|a|-|b|a+b|0时,a的方向与a的方向相同;当0时,它们同向;0时,它们反向.变式1已知a=(2, 3), b=(-1, 2).若ka-b与a-kb平行,求实数k的值.规范板书解ka-b=k(2, 3)-(-1, 2)=(2k+1, 3k-2), a-kb=(2, 3)-k(-1, 2)=(2+k, 3-2k), (2k+1)(3-2k)-(3k-2)(2+k)=0, 化简得7k2=7, k=1.变式2已知点a(-1, -1), b(1, 3), c(1, 5), d(2, 7),向量与平行吗?直线ab平行与直线cd吗?规范板书解 =(1-(-1), 3-(-1)=(2, 4), =(2-1, 7-5)=(1, 2),又22-14=0, . =(1-(-1), 5-(-1)=(2, 6), =(2, 4),又24-260, 与不平行, a, b, c不共线,即ab与cd不重合, 直线ab与cd平行.【例2】(教材第81页例6)已知点o, a, b, c的坐标分别为(0, 0), (3, 4), (-1, 2), (1, 1),是否存在常数t,使得+t=成立?解释你所得结论的几何意义.6(见学生用书p49)处理建议引导学生回顾存在探索性问题的一般思考方法,即假设存在法,再根据待定系数法、方程思想,让学生自主解题,最后讨论结论的几何意义.规范板书解设存在常数t,使得+t=,则(3, 4)+t(-1, 2)=(1, 1),即(3-t, 4+2t)=(1, 1),所以 此方程组无解,故不存在这样的