中考复习之垂径定理（人教版九年级数学）.doc

中考复习之垂径定理知识考点：1、垂径定理及其推论是指：一条直线过圆心；垂直于一条弦；平分这条弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。精典例题：【例1】如图，O的直径AB和弦CD相交于E，若AE2cm，BE6cm，CEA300，求：（1）CD的长；（2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。解：（1）过点O作OFCD于F，连结DO AE2cm，BE6cm，AB8cm O的半径为4 cm CEA300，OF1 cm cm 由垂径定理得：CD2DFcm（2）过C作CGAB于G，过D作DHAB于H，易求EFcm DEcm，CEcm 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则（ ）A、28 B、26 C、18 D、35分析：如图，连结OA、OC，过O分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，则AMMB，CNND。OMMN，MEEN，CNND从而即故选A。【例3】如图，等腰ABC内接于半径为5cm的O，ABAC，tanB。求：（1）BC的长；（2）AB边上高的长。分析：（1）已知ABAC，可得，则A为的中点。已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。解：（1）连结AO交BC于D，连结BO 由ABAC得，又O为圆心 由垂径定理可得AO垂直平分BC tanB，设ADcm，则BDcm ODcm 在RtBOD中，解得，（舍去） BD3 cm，BC6 cm。 （2）设AB边上的高为，由（1）得：AD1 cm，ABcm探索与创新：【问题一】不过圆心的直线交O于C、D两点，AB是O的直径，AE于E，BF于F。（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。 分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线与AB的不同位置关系画出不同的图形（如下图），直线与AB平行；直线与AB相交；直线与AB或BA的延长线相交。其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。解（1）如下图所示。 （2）ECFD或EDFC（3）以图为例来证明。过O作OH于H AE，BF，AEOHBF 又OAOB，EHHF，再由垂径定理可得CHDH EHCHFHDH，即ECFD【问题二】如图，O1与O2相交于A、B两点，过A任作一直线与O1交于M，与O2交于N，问什么时候MN最长？为什么？解析：任作两条过A的线段EF、MN，比较MN与EF的大小，不好比较，根据垂径定理，分别过O1、O2作弦心距，易知CDEF，PQMN，比较PQ与CD的大小即可（PQO1O2）。发现O1O2是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果MN的一半正好是O1O2，则MN最长。答案：当MNO1O2时，MN最长。课 堂 练 习1（课本P78练习第1题）如图14，在O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为 ，AOB 度。2作图题：经过已知O内的已知点A作弦，使它以点A为中点（如图15）。 （图14） （图15）3、 如图，O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为 ，AOB 度。 （第1题） （第2题） （第3题）4、作图题：经过已知O内的已知点A作弦，使它以点A为中点（如图）。 要求：保留作图痕迹，但不必写作法。5已知：如图，在O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E。求证：四边形ADOE是正方形。6、下列说法中正确的有：（ ）个（1）垂直平分弦的直线经过圆心；（2）平分弦的直径一定垂直与弦；（3）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧；（4）垂直于弦的直径必平分弦；（5）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。A、1 B、2 C、3 D、47、在半径为1