高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 导数与函数的综合问题课件 文.pptVIP

第四节导数与函数的综合问题 总纲目录 教材研读 1 利用导数证明不等式的基本步骤 考点突破 2 一元三次方程根的个数问题 考点二利用导数研究函数零点问题 考点一导数与不等式的有关问题 考点三利用导数研究生活中的优化问题 1 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 对h x 求导 4 利用h x 判断h x 的单调性或最值 5 下结论 教材研读 2 一元三次方程根的个数问题令f x ax3 bx2 cx d a 0 则f x 3ax2 2bx c 方程f x 0的判别式 2b 2 12ac 1 当 0 即b2 3ac时 f x 0恒成立 f x 在r上为增函数 结合函数f x 的图象知 方程f x 0有 唯一一个实根 2 当 0 即b2 3ac时 方程f x 0有两个不同的实根 设为x1 x2 x1m a 当m 0时 方程f x 0有 一个实根 b 当m 0时 方程f x 0有 两个实根 c 当m0时 方程f x 0有 三个实根 d 当m 0时 方程f x 0有 两个实根 e 当m 0时 方程f x 0有 一个实根 3 生活中的利润最大 用料最省 效率最高等问题我们称之为优化问题 导数是解决生活中优化问题的有力工具 用导数解决优化问题的基本思路 1 分析实际问题中各量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 确定极值点 3 比较函数在区间端点的值和在极值点的值的大小 最大 小 值为函数的最大 小 值 4 还原到实际问题中作答 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 a 13万件b 11万件c 9万件d 7万件 答案cy x2 81 令y 0 得x 9或x 9 舍去 当00 函数单调递增 当x 9时 y 0 函数单调递减 故当x 9时 y取最大值 即使该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件 c 2 已知函数f x 的定义域为 1 4 部分对应值如下表 f x 的导函数y f x 的图象如图所示 当1 a 2时 函数y f x a的零点的个数为 a 2b 3c 4d 5 c 答案c根据已知条件可还原出函数f x 在定义域 1 4 内的大致图象 函数y f x a的零点个数即直线y a与曲线y f x 的交点个数 因为1 a 2 所以交点个数为4 故选c 3 设函数f x ax3 3x 1 x r 若对于任意x 1 1 都有f x 0成立 则实数a的值为 4 答案4 考点一导数与不等式的有关问题 考点突破 命题方向一解不等式典例1设f x 是定义在r上的奇函数 f 2 0 当x 0时 有0的解集是 a 2 0 2 b 2 0 0 2 c 2 2 d 2 0 2 d 答案d 解析 当x 0时 0 即f x 0 在 2 内恒有 x 0 在 2 0 内恒有f x 0的解集 即f x 0的解集 x2f x 0的解集为 2 0 2 典例2设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 2 求证 当x 1 时 1 x 命题方向二证明不等式 解析 1 由题设知 f x 的定义域为 0 f x 1 令f x 0 解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 2 证明 由 1 知f x 在x 1处取得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 lnx x 1 故当x 1 时 lnx x 1 ln 1 即1 x 命题方向三不等式的恒成立或有解问题典例3已知函数f x 1 若函数f x 在区间上存在极值 求正实数a的取值范围 2 如果当x 1时 不等式f x 恒成立 求实数k的取值范围 解析 1 因为f x 则f x x 0 当00 当x 1时 f x 0 上存在极值 所以解得 a 1 故实数a的取值范围是 a 1 2 不等式f x 探究将本例 2 改为存在x0 1 e 使不等式f x 成立 求实数k的取值范围 解析当x 1 e 时 k 有解 令g x 由典例3 2 解题知 g x 在 1 上为单调增函数 x 1 e g x max g e 2 k 2 即实数k的取值范围是 方法技巧 1 利用导数解不等式的思路已知一个含f x 的不等式 可得到和f x 有关的函数的单调性 然后可利用函数单调性解不等式 2 利用导数证明不等式的方法证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 如果f x 0 则f x 在 a b 上是减函数 同时若f a 0 由减函数的定义可知 x a b 时 有f x 0 即f x g x 3 利用导数解决不等式恒成立问题的策略 1 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 2 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 1 1已知f x 则 a f 2 f e f 3 b f 3 f e f 2 c f 3 f 2 f e d f e f 3 f 2 答案df x 的定义域是 0 f x 令f x 0 解得x e 当x 0 e 时 f x 0 f x 单调递增 当x e 时 f x f 3 f 2 故选d d 1 2 2017课标全国 21 12分 已知函数f x lnx ax2 2a 1 x 1 讨论f x 的单调性 2 当a 0时 证明 f x 2 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 2ax 2a 1 若a 0 则当x 0 时 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 若a0 当x 时 f x 0 故f x 在上单调递增 在上单调递减 2 证明 由 1 知 当a 0时 f x 在x 处取得最大值 最大值为f ln 1 所以f x 2等价于ln 1 2 即ln 1 0 设g x lnx x 1 则g x 1 当x 0 1 时 g x 0 当x 1 时 g x 0时 g x 0 从而当a 0时 ln 1 0 即f x 2 典例4已知f x ax2 a r g x 2lnx 1 讨论函数f x f x g x 的单调性 2 若方程f x g x 在区间 e 上有两个不相等的解 求a的取值范围 考点二利用导数研究函数零点问题 由ax2 10时 f x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 当a 0时 f x 0 恒成立 故当a 0时 f x 在 0 上单调递减 2 由题意得a 在区间 e 上有两个不相等的解 令 x 由 x 易知 x 在 上为增函数 在 e 上为减函数 则 x max 而 e 由 e 0 所以 e 所以 x min e 由图可知当 x a有两个不相等的解时 需 a 即f x g x 在 e 上有两个不相等的解时a的取值范围是 方法技巧利用导数研究函数零点问题的策略 1 研究方程的根或曲线的交点个数 可构造函数 转化为研究函数的零点个数问题 2 可利用导数研究函数的极值 最值 单调性 变化趋势等 从而画出函数的大致图象 然后根据图象判断函数的零点个数 2 1设函数f x x2 mlnx g x x2 m 1 x 1 求函数f x 的单调区间 2 当m 1时 讨论函数f x 与g x 图象的交点个数 解析 1 函数f x 的定义域为 0 f x x 当m 0时 f x 0 所以f x 在 0 上单调递增 当m 0时 f x 所以当0时 f x 0 函数f x 单调递增 综上 当m 0时 f x 在 0 上单调递增 当m 0时 函数f x 的单调增区间是 单调减区间是 0 2 令f x f x g x x2 m 1 x mlnx x 0 问题等价于求函数f x 的零点个数问题 f x 当m 1时 f x 0 f x 为减函数 因为f 1 0 f 4 ln41时 0m时 f x 0 所以函数f x 在 0 1 和 m 上单调递减 在 1 m 上单调递增 因为f 1 m 0 f 2m 2 mln 2m 2 0 所以f x 有唯一零点 综上 函数f x 有唯一零点 即两函数图象总有一个交点 典例5某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定使商场每日销售该商品所获得的利润最大的销售价格x的值 考点三利用导数研究生活中的优化问题 解析 1 因为x 5时 y 11 所以 10 11 a 2 2 由 1 知 该商品每日的销售量y 10 x 6 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润f x x 3 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 则f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 规律总结利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 1 分析实际问题中各个量之间的关系