高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文.ppt

第四节直线与圆 圆与圆的位置关系 总纲目录 教材研读 1 直线与圆的位置关系 考点突破 2 圆与圆的位置关系 考点二直线与圆相交关系的应用 考点一直线与圆的位置关系 考点三直线与圆相切问题 考点四圆与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 1 三种位置关系 相交 相切 相离 2 两种研究方法 教材研读 2 圆与圆的位置关系设圆o1 x a1 2 y b1 2 r1 0 圆o2 x a2 2 y b2 2 r2 0 两相交圆的公共弦所在直线的方程设圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0 圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0 若两圆相交 则有一条公共弦 由 得 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 方程 表示圆c1与c2的公共弦所在直线的方程 说明当两圆相交时 两圆方程相减 所得的方程即两圆公共弦所在的直线方程 这一结论的前提是两圆相交 如果不确定两圆是否相交 两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程 过已知两圆交点的圆系方程 过已知两圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0和c2 x2 y2 d2x e2y f2 0的交点的圆系方程为x2 y2 d1x e1y f1 x2 y2 d2x e2y f2 0 1不含c2 或x2 y2 d2x e2y f2 x2 y2 d1x e1y f1 0 1不含c1 其中 为参数 1 直线l x y 4 0与圆c x2 y2 4的位置关系是 a 相交过圆心b 相交不过圆心c 相切d 相离 c 答案c圆心坐标为 0 0 圆心到直线l的距离d 2 r 所以直线l与圆c相切 故选c 2 圆o1 x2 y2 2x 0和圆o2 x2 y2 4y 0的位置关系是 a 外离b 相交c 外切d 内切 b 3 若直线x y 1 0与圆 x a 2 y2 2有公共点 则实数a的取值范围是 a 3 1 b 1 3 c 3 1 d 3 1 c 答案c由题意可得 圆的圆心为 a 0 半径为 所以 即 a 1 2 解得 3 a 1 故选c 4 在平面直角坐标系xoy中 直线3x 4y 5 0与圆x2 y2 4相交于a b两点 则弦ab的长为 a 3b 2c d 1 b 答案b圆心 0 0 到直线3x 4y 5 0的距离d 1 因为 22 12 3 所以 ab 2 5 若圆c1 x2 y2 1与圆c2 x2 y2 6x 8y m 0外切 则m 9 答案9 解析圆c1的圆心c1 0 0 半径r1 1 圆c2的方程可化为 x 3 2 y 4 2 25 m 所以圆心c2 3 4 半径r2 从而 c1c2 5 由两圆外切得 c1c2 r1 r2 即1 5 解得m 9 典例1 1 a 3 是 直线y x 4与圆 x a 2 y 3 2 8相切 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 2 直线y x m与圆x2 y2 1在第一象限内有两个不同的交点 则m的取值范围是 a 2 b 3 c d 考点一直线与圆的位置关系 考点突破 答案 1 a 2 d 解析 1 若直线y x 4与圆 x a 2 y 3 2 8相切 则有 2 即 a 1 4 所以a 3或 5 但当a 3时 直线y x 4与圆 x a 2 y 3 2 8一定相切 故 a 3 是 直线y x 4与圆 x a 2 y 3 2 8相切 的充分不必要条件 2 当直线经过 0 1 时 直线与圆有两个不同的交点 此时m 1 当直线与圆相切时 有圆心到直线的距离d 1 解得m 切点在第一象限 所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点 则1 m 方法技巧判断直线与圆的位置关系的常用方法 1 几何法 利用d与r的关系 2 代数法 联立方程之后利用 判断 3 点与圆的位置关系法 若直线恒过定点且定点在圆内 可判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法 点与圆的位置关系法适用于动直线问题 1 1已知点m a b 在圆o x2 y2 1外 则直线ax by 1与圆o的位置关系是 a 相切b 相交c 相离d 不确定 b 答案b因为m a b 在圆o x2 y2 1外 所以a2 b2 1 而圆心o到直线ax by 1的距离d 1 故直线与圆o相交 1 2圆x2 y2 1与直线y kx 2没有公共点的充要条件是 答案k 解析圆心 0 0 到直线y kx 2的距离d 直线与圆没有公共点的充要条件是d 1 即 1 解得k 考点二直线与圆相交关系的应用 典例2 2016课标全国 16 5分 已知直线l mx y 3m 0与圆x2 y2 12交于a b两点 过a b分别作l的垂线与x轴交于c d两点 若 ab 2 则 cd 命题方向一求弦长 4 答案4 解析由题意可知直线l过定点 3 该定点在圆x2 y2 12上 不妨设点a 3 由于 ab 2 r 2 所以圆心到直线ab的距离为d 3 又由点到直线的距离公式可得d 3 解得m 所以直线l的斜率k m 即直线l的倾斜角为30 如图 过点c作ch bd 垂足为h 所以 ch 2 在rt chd中 hcd 30 所以 cd 4 典例3 2016课标全国 15 5分 设直线y x 2a与圆c x2 y2 2ay 2 0相交于a b两点 若 ab 2 则圆c的面积为 命题方向二已知弦长求参数 4 答案4 解析把圆c的方程化为x2 y a 2 2 a2 则圆心为 0 a 半径r 圆心到直线x y 2a 0的距离d 由r2 d2 得a2 2 3 解得a2 2 则r2 4 所以圆的面积s r2 4 典例4 2017课标全国 20 12分 在直角坐标系xoy中 曲线y x2 mx 2与x轴交于a b两点 点c的坐标为 0 1 当m变化时 解答下列问题 1 能否出现ac bc的情况 说明理由 2 证明过a b c三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 命题方向三直线与圆相交的综合问题 解析 1 不能出现ac bc的情况 理由如下 设a x1 0 b x2 0 则x1 x2满足x2 mx 2 0 所以x1x2 2 因为c的坐标为 0 1 故ac的斜率与bc的斜率之积为 所以不能出现ac bc的情况 2 证明 bc的中点坐标为 可得bc的中垂线方程为y x2 由 1 可得x1 x2 m 所以ab的中垂线方程为x 规律总结解有关弦长问题的两种方法 1 几何法 直线被圆截得的半弦长 弦心距d和圆的半径r构成直角三角形 且r2 d2 2 代数式 联立直线方程和圆的方程 消元转化为关于x的一元二次方程 由根与系数的关系即可求得弦长 ab x1 x2 或 ab y1 y2 k 0 2 1在平面直角坐标系xoy中 圆c的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 则k的最大值是 答案 2 2 2015课标全国 20 12分 已知过点a 0 1 且斜率为k的直线l与圆c x 2 2 y 3 2 1交于m n两点 1 求k的取值范围 2 若 12 其中o为坐标原点 求 mn 解析 1 由题设 可知直线l的方程为y kx 1 因为l与c交于两点 所以 1 解得 k 所以k的取值范围为 2 设m x1 y1 n x2 y2 将y kx 1代入方程 x 2 2 y 3 2 1 整理得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 所以x1 x2 x1x2 x1x2 y1y2 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 8 由题设可得 8 12 解得k 1 所以l的方程为y x 1 故圆心c在l上 所以 mn 2 典例5已知点p 1 2 点m 3 1 圆c x 1 2 y 2 2 4 1 求过点p的圆c的切线方程 2 求过点m的圆c的切线方程 并求出切线长 考点三直线与圆相切问题 即kx y 1 3k 0 则圆心c到切线的距离d r 2 解得k 切线方程为y 1 x 3 即3x 4y 5 0 综上可得 过点m的圆c的切线方程为x 3 0或3x 4y 5 0 mc 过点m的圆c的切线长为 1 在求过一定点的圆的切线方程时 应先判断定点与圆的位置关系 若点在圆上 则该点为切点 切线只有一条 若点在圆外 则切线有两条 若点在圆内 则切线不存在 易错警示 3 1一条光线从点 2 3 射出 经y轴反射后与圆 x 3 2 y 2 2 1相切 则反射光线所在直线的斜率为 a 或 b 或 c 或 d 或 d 答案d点 2 3 关于y轴的对称点为 2 3 由题意 知反射光线所在直线一定过点 2 3 设反射光线所在直线的斜率为k 则反射光线所在直线的方程为y 3 k x 2 即kx y 2k 3 0 由反射光线与圆相切 则有 1 解得k 或k 3 2已知直线l x ay 1 0 a r 是圆c x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴 过点a 4 a 作圆c的一条切线 切点为b 则 ab a 2b 4c 6d 2 c 答案c圆c的标准方程为 x 2 2 y 1 2 22 圆心为c 2 1 半径r 2 由直线l是圆c的对称轴 知直线l过点c 所以2 a 1 1 0 a 1 所以a 4 1 于是 ac 2 40 所以 ab 6 故选c 典例6 1 圆x2 y2 6x 16y 48 0与圆x2 y2 4x 8y 44 0的公切线条数为 a 1b 2c 3d 4 2 两圆c1 x2 y2 4x y 1 0 c2 x2 y2 2x 2y 1 0相交于a b两点 求 ab 求以ab为直径的圆的一般方程 考点四圆与圆的位置关系 答案 1 b 解析 1 将两圆x2 y2 6x 16y 48 0与x2 y2 4x 8y 44 0化为标准形式分别为 x 3 2 y 8 2 112 x 2 2 y 4 2 82 因此两圆的圆心和半径分别为o1 3 8 r1 11 o2 2 4 r2 8 故圆心距 o1o2 13 又 r1 r2 o1o2 r1 r2 因此两圆相交 公切线只有2条 2 由 x2 y2 4x y 1 x2 y2 2x 2y 1 0得弦ab所在直线方程为2x y 0 圆c2的方程为 x 1 2 y 1 2 1 圆心c2 1 1 半径r2 1 圆心c2到直线ab的距离d 4 1已知圆m x2 y2 2ay 0 a 0 截直线x y 0所得线段的长度是2 则圆m与圆n x 1 2 y 1 2 1的位置