高等数学讲义——多元函数微分学.pdf

高等数学讲义多元函数微分学 准 MBA 阵线收集整理 1 高等数学讲义 多 元 函 数 微 分 学 高等数学讲义多元函数微分学 准 MBA 阵线收集整理 2 10二元函数及其极限与连续 1 yx fz 定义域为平面上某一个平面域 几何上 yx fz 为空间一张曲面 2二元函数极限 例 1讨论函数 0 0 0yx 0yx 0 xy y4x yx f 22 22 2 24 42 在 极限是否存在 解 0 1Kx x4K lim xxK xK4x lim xy y4x lim 2 42 22 0 2 244 442 0 2 24 42 yx 0 2 xxx 而 4 yy y4y lim 2 44 44 2 yx 0 x yxf在 0 0 极限不存在 3 连续 2 0多元函数的偏导数与全微分 1 偏导数 定义 00 y xyx fz在点 处对 x 的偏导数 记作 001 0 yy 0 xxx 0 yy 0 xx 0 yy 0 xx y xf z x f x z 即 x y xfyx xf limy xf 0000 0 x 00 x 同理 y y xfyy xf limy xf 0000 0y 00y 00yx y xf f在 存在称 00 y xyx fz在 可导 例 1 y z x z xz y 求 解lnxx y z yx x z y1y 例 2 高等数学讲义多元函数微分学 准 MBA 阵线收集整理 3 设 2 1z xyx sinx11yz x 32 求 解 123x dx x 1dz 2 1z xx 1z 2x 2 2xx 3 2高阶偏导数 2 x xxxx 2 2 fzyx f x z xx z xyxy 2 zf x z yyx z yxyx 2 zf y z xxy z y z yy z 2 2 f f yxxy 连续则 yxxy ff 3全微分 如 oyBxAyx fyyx xfz 2 2 yx yx yx fz在 可微 全微分 dy y f dx x f dz 偏导数 y f x f 连续可微 例 3 设 1ylnxxlnyyx u 则 dylnx y x dx x y lnydu 例 4 由方程 2zyxxyz 222 确定 yx zz 在点 1 0 1 全微分dy2dxdz 30复合函数微分法 可导 连续 高等数学讲义多元函数微分学 准 MBA 阵线收集整理 4 定理 z f u v u u x y v v x y z f u v F x y x v v f x u u f x z x v v f y u u f y z 例 5 设 z 1 x 2 y2 xy 求 y z x z 解 2 y 2 xxyln 1 ez 22 2 22xy22 yx1 y2x yxyln 1 yx 1 x z 22 2 22xy22 yx1 2xy yxxln 1 yx 1 y z 例 5 15 解 xy yxfz 22 xxy xFv ufxxx xxx2x2fz 222 x x x 2x v f x x 2 x 2x x 24x u f x z x x x 2x v f x x x x x 2x u f 2 例 7 222 yxfyz 其中 uf可微则 y2ufy2uf2xy y z x z y 例 8 y x xz 2 u 可微则 2z y z y x z 2 高等数学讲义多元函数微分学 准 MBA 阵线收集整理 5 例 9设 y f x y z 22 求证 2 y z y z y 1 x z x 1 证令 uyx 22 则 f u y z u f u f2xy x z 2 u f u f2y f u 1 y z 2 2 u f u f2y yf u 1 u f u f2y y z y 1 x z x 1 22 2 y z yf u 1 例 10设 xy xgyx2fz 其中 tf二阶可导 v ug具有二阶连续偏导 数 求 yx z 2 解 ygg2 t f x z vu xg0gygxg0g1 t f2 yx z vvvuvuvu 2 vvvuv gxyggx t f2 例 11 设 x y vy u 试将方程 0 yx z x z x 2 2 2 变换成以u v 为自变量的方 程其中函数z具有二阶连续偏导数 解 x y v z x v v z x u u z x z 2 2 2 4 2 3 2 2 2 232 2 v z x y v z x 2y x u uv z x v v z x y v z x 2y x z 高等数学讲义多元函数微分学 准 MBA 阵线收集整理 6 y u uv z y v v z x y v z x 1 yx z 2 2 2 22 2 2 22 22 v z x 1 vu z x y v z x 1 2 2 3 22 2 2 22 2 3 2 2 2 2 2 v z x y uv z x y v z x y v z x y v z x 2y yx z y x z x 0 uv z x y v z x y 2 2 2 2 于是方程变为0 2 vu z u v z 40隐函数求导 0z y xF 确定了 y xzz 求 y z x z 1 方程两边同时对 x求导注意 y xzz 可求得 x z 方程两边同时对y求导注意 y xzz 可求得 y z 2 利用公式 y x F F x z z y F F y z 3 两边微分 用 2 3 需具体方程给出容易 例 12设 y xzz 由方程0ez2e zxy 求 x z 解法一在方程两边对 x求导注意 y xzz z xy zxy e2 ye x z 0 x z e x z 2ye 解法二设 zxy ez2ez y xF z xy z x e2 ye F F x z 高等数学讲义多元函数微分学 准 MBA 阵线收集整理 7 解法三在方程两边微分 0ez2ed zxy 0edz2ded zxy 0dzedz2xyd zxy e 0dze2dzydxxdye zxy 即 dy e 2 xe dx e 2 ye dz z xy z xy z xy e 2 ye x z z xy e 2 xe y z 例 13设 y xzz 由方程 x y xfzyx 222 确定其中f 可微 则 2z 2yf y z 例 14已知方程 y z ln z x 定义了 y xzz 求 2 2 x z 解 ylnzzlnzx zx z z x 1 1 lnylnz1 1 F F x z z x 或方程两边对x求导注意 y xzz 在方程 zzx x z 两边对x求导 y xzz x z x z 1 x z zx x z 2 2 3 2 22 2 2 zx z zx zx z zx x z x z 在 1 式两边对 x 求导 高等数学讲义多元函数微分学 准 MBA 阵线收集整理 8 法二 2 2 2 zx x z 1zzx x z x z 3 2 2 2 zx z yx yx z zz 3 22 2 2 2 xz z xzx xz x z x z 1 x z 例 15 设 z y xfu 0z e x y2 xsiny 其中f 都具有一阶连续偏导数且 0 z 求 dx dz 解0 x z z f cosx y f x f dx du 在 0z e x xsin2 两边对x求导设 2 xu x ev sin 0 x z zx v vx u u 0 x z z cosxe v 2x u sinx z cosxe v 2x ux z sinx cosxe v 2x u zz f cosx y f x f dx du sin x 50一阶偏导数在几何上的应用 1 空间曲线的切线与法平面 曲线 L z t z y t y x t x 0z y x F 0z y x F 2 1 曲线 L 在 M0点处切线方程为 tz zz ty yy tx xx 0 0 0 0 0 0 或 0 tt 0 0 tt 0 0 tt 0 dz zz dy yy dx xx 高等数学讲义多元函数微分学 准 MBA 阵线收集整理 9 例 5 2 5 法二 在 22 222 yxz 6zyx 两边微分 0dz2ydy2xdx 0zdzydyxdx 在点 0dz2dy2dx 02dzdydx 1 1 2M0 0 5 5 22 11 21 12 12 21 dz dy dx 取 1 01 切线方程 0 2z 1 1y 1 1x 例 1 9 求曲线 1 2 7 y3xz 2xy 22 在点处切线方程 解法一 1 2 7 0dz2ydy6xdx 00dzdy2dx 点代入 得 14 2 1dz dy dx 0dz4dy6dx 00dzdy2dx 切线