【志鸿优化设计】九年级数学下册 27.1 投影讲解与例题 沪科版(1).docVIP

投影1投影的概念一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做投影这时的照射光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面物体形成投影需要具备两个条件：一是有光线，二是有投影面【例1】老师利用幻灯投影仪将一个平行四边形投放在黑板左侧的墙面上，请说出其中的投影、投射线、投影面分析：根据投影的概念来确定解：墙面上的平行四边形是投影，投影仪发出的光线是投射线，投影面是墙面2平行投影由平行的光线所形成的投影是平行投影太阳光可以看成平行光，所以在阳光下大树的影子，阳光照到窗户上在屋里所形成的窗户的影子都是平行投影太阳光与影子是日常生活中的常见现象，太阳光是沿直线传播的，若物体不透光，便被反射或吸收了，这样地面上或墙上没有被遮住的地方有太阳光，而被遮住的部分是黑暗的，这便是物体的影子知识要点内容详解在同一时刻，平行投影的物高与影长的关系(1)如图所示，等高的物体垂直于地面放置时，同一时刻，它们在太阳光下的影子一样长；(2)如图所示，等长的物体平行于地面放置时，同一时刻，它们在太阳光下的影子一样长，并且都等于物体本身的长度；(3)如图所示，不等高的物体垂直于地面放置时，同一时刻，它们在太阳光下的物高与影长的比相等，其理论依据是相似三角形对应边成比例不同时刻，阳光下物体影子的方向和长度变化(北半球)方向变化：正西正北正东；长度变化：长短长平行投影的特征投影线平行平行投影的应用(1)根据阳光下物体影子的大小、位置的变化判断时刻的不同；(2)已知一物体及其在阳光下的影子，可作出同一时刻另一物体在阳光下的影子；(3)根据物高与影长的关系求物高或影长平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的利用平行投影的知识解决阳光下物体影子的问题时，首先要看是否在同一时刻，在不同时刻，同一物体的平行投影方向与大小一般不同，在相同时刻，不同物体的物高与影长成比例，物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行投影【例2】下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间的先后顺序进行排列为_.解析：太阳在东方，刚升起不久，光线与地平面的夹角小，物体的影子应当长，且方向由东向西，所以c为早晨的影子；随着时间推移，到了上午影子渐短，影子方向北偏西，所以d是上午某时刻的影子；到了中午，物体的影子最短；而到了下午，物体的影子又逐渐变长，且方向为北偏东，所以a为下午某一时刻的影子；到了接近晚上时，太阳在西方，光线与地平面的夹角小，物体的影子长，且方向由西向东，所以b是接近晚上时的物体的影子所以按时间的顺序进行排列为cdab答案：cdab3中心投影由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影，那个点叫做投影中心在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上由于点光源的光线是发散的，所以灯光下物体的影长与物体的高度不一定成比例(1)等高的物体垂直地面放置时，中心投影如下图：(2)等长的物体平行于地面放置时，中心投影如下图在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以确定第三个点的位置【例3】如图所示，快下降到地面的某伞兵在灯光下的影子为ab试确定灯源p的位置，并画出竖立在地面上木桩的影子ef.(保留作图痕迹，不要求写作法)分析：先连接伞兵的伞顶和脚与对应的影子的直线，两直线的交点即为点p，过点p作过木桩顶端的直线与地面的交点即为f.解：如图4正投影(1)正投影的概念在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫做正投影(如图所示)(2)正投影(投射线与投射面垂直的平行投影)的性质线段的正投影(分三种情况)当线段ab平行于投影面p时，它的正投影是线段a1b1，这时aba1b1；当线段ab倾斜于投影面p时，它的正投影是线段a2b2，这时a2b2ab；当线段ab垂直于投影面p时，它的正投影是一个点a3(b3)如图一般地，线段正投影有如下规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点平面图形的正投影(分三种情况)当平面图形平行于投影面q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；当平面图形倾斜于投影面q时，平面图形的正投影的形状、大小发生变化，即会缩小，但不一定相似；当平面图形垂直于投影面q时，它的正投影是直线或直线的一部分如图一般地，平面图形正投影有如下规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段正投影能如实地反映物体的形状和大小，画图也很方便，所以生产上的图样主要是用这种方法绘制【例41】在一个晴朗的上午，皮皮拿着一块正方形木板在阳光下做投影实验，正方形木板在地面上形成的投影不可能是()解析：因是正方形在阳光下投影，正方形的对边互相平行，正方形的对边的影子应该平行且相等，所以a是不可能答案：a(3)一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图(4)作物体的正投影作物体的正投影，观察和思考的过程是这样的：把要作投影的物体放在投影面和观察者的中间，按观察者物体投影面的顺序摆好，由观察者的眼睛假想发出一束平行的投影线，这些投影线经过物体轮廓线上的顶点后，与投影面垂直相交，交点连接起来的图形，就是物体的正投影名称内容作空间点在投影面上的正投影过空间点作投影面的垂线，垂线与投影面的交点就是空间点在投影面上的正投影作直线在投影面上的正投影分别作出直线上两点在投影面上的正投影，然后过两投影点作直线即可【例42】一个正方体上面嵌有一根黑色的金属丝，如图所示，若正方体的面abcd平行于投影面p且垂直于投影面q，画出这个物体在两个投影面上的正投影分析：此例考查的是物体在不同投影面上正投影的作图，特别要注意投影线的方向和物体在两个投影面上投影的基本图形解：画出的正投影如图所示正方体、金属丝在投影面p上的正投影是正方形a1b1c1d1，及折线a1e1f1c1；在投影面q上的正投影为a2b2c2d2及a2b2c2.5平行投影与中心投影的关系(1)联系中心投影、平行投影都是研究物体的投影中的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影通常的平行光线有太阳光线，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化，不同物体和它们的影子之间存在着相似关系在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化(2)区别太阳光线是平行的，因此在同一时刻下，太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子长度与物体高度不一定成比例同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向(3)如何判断物体的投影是在太阳光下还是在灯光下形成的：太阳光线是平行光线，灯光光线是从一点发出的，如图所示因此在判断是太阳光线还是灯光光线时，只要看光线呈什么形状就可得出结论如果已知影子，则先找两对物体与影子的对应点，然后连接它们找交点，由两条光线可大致判断它们是否平行，若平行则为太阳光线，若光线相交即为灯光光线【例51】如图，小亮同学在晚上由路灯a走向路灯b，当他走到点p时，发现他的身影顶部正好接触路灯b的底部，这时他离路灯a 25米，离路灯b 5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为()a6.4米b8米c9.6米d11.2米解析：路灯a可以看作点光源，根据点光源所形成的影子的特征可知路灯a的顶端、小亮的头顶和路灯b的底端位于一条直线上，设路灯的高度为x米，根据三角形相似，得，解得x9.6.故选c答案：c【例52】(1)如图(1)是同一时刻的两棵树及其影子，请你在图中画出形成树影的光线，并判断它是太阳光线还是灯光的光线？若是灯光的光线，请确定光源的位置(2)请判断如图(2)所示的两棵树的影子是在太阳光下形成的，还是灯光下形成的？并画出同一时刻旗杆的影子(用线段表示)分析：本题是由树及其影子寻找光线，具体方法是过树的顶端及其影子的顶端作两条直线作为光线，若两条直线平行，则是太阳光线；若两条直线相交，则是灯光光线，其交点就是光源的位置解：(1)图(1)是灯光的光线原因是过一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线相交，其交点就是光源的位置(2)图(2)是太阳光的光线原因是过一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线平行然后再过旗杆的顶端作一条与已知光线平行的直线，交地面于一点，连接这点与旗杆底端的线段就是旗杆的影子6中心投影的计算与太阳光相比，灯光对我们来说是近距离的，我们可以把灯光光线看成是四射的，而且同一物体对于同一光源在不同的地点影长也不相同物体中心投影的大小是随着投影中心距离物体的远近变化而变化的根据中心投影的性质结合相似三角形的知识，可以进行如求影长、物体的高度等的计算【例6】如图，路灯(p点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(o点)20米的a点，沿ao所在的直线行走14米到b点时，身影的长度是变长了还是变短了？并求变长或变短了多少米分析：观察图形可知，macmop，nbdnop，由相似三角形的性质分别求出影长ma，nb，比较即可解：macmop90，amcomp，macmop.，即.解得ma5.同理，由nbdnop，可求得nb1.5.manb51.53.5.答：小明的身影变短了3.5米7投影的创新应用灵活地利用平行投影和中心投影的性质，结合具体问题构造出相似三角形，把具体问题转化为相似三角形的问题，可以解决生活中看似与投影无关的实际问题在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度在阳光下，测得身高1.65米的黄丽同学bc的影长ba为1.1米，与此同时，测得教学楼de的影长df为12.1米请你根据已测得的数据，求出教学楼de的高度(精确到0.1米)本题根据太阳光线是平行光线，得到abcfde，利用比例线段进行求解，即，解得de18.1518.2.答：教学楼de的高度约为18.2米【例7】检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5 m，现因房间两墙之间的距离为3 m，因此借助平面镜来解决房间小的问题，若使镜子呈现出完整的视力表，由平面镜成像原理作出了光路图如下图所示，其中视力表ab的上、下边沿a，b发出的光线经平面镜mm的上下沿反射入眼睛