考研数学辅导讲义经济类修改与勘误(最终版)_部分1.pdf

整数 例如 分数函数也可能是初等函数 例如 槡 是初等函数 四 经济中常见的几类函数 为了能用微积分处理经济中的数学问题 以下均设变量为连续变量 函数为可微 函数 成本函数 设 为产量 为固定成本 不生产也要支付的成本 则总成本 称为成本函数 其中 是 的单调增函数 但不一定是正比函数 甚至可能是分段函 数 需求函数 设 为商品价格 该商品在价格 时对应的需求量 称为需求函数 当 时 即商品的需求量为价格的单调减函数 供给函数 设 为商品价格 该商品在此价格下供应商提供的商品量 称为供给函数 当 时 即商品的供给量为价格的单调增函数 价格上涨 供应商愿提供更多的商品 为均衡价格 需求函数与供给函数是两种不同的函数 中的 是需求 量 中的 是供给量 如果 需求大于供给 势必 引起价格上涨 如果 供大于需 必引起价格下跌 需求与 供给反复波动最终趋于平衡 达到平衡时的价格称为均衡价格 收益函数 一商品的销售量为 获得的收益关于 的函数 称为收益函数 一般说来 为单价 但也不尽如此 销售量不同 单价不一定一样 例如批量可打折 利润函数 设收益为 成本为 则利润函数为 一 求函数的表达式 已知简单的函数方程 求函数的表达式 求未知函数 的题型很多 题中出现未知函数导数的 常用微分方程的办法解 之 题中出现某极限者常用极限方法解之 这里只限于给出函数方程求解 例 设对于任意 则 段 槡 槡 所以 时亦成立 由数学归纳法知 对一切正整数 猜想成立 求分段函数的复合函数 例 设 求 解 对于 按 的定义 有 再由 根据 的定义 其对应的 应 由 对应的 应 于是 评析 求 时 先由外层函数 写出复合函数的表达式并同时写出中间 变量 即内层函数 的取值范围 如 式 然后再由内层函数 的分段表达 式过渡到自变量 的变化范围 如 例 设 则 等于 解 应选 将里层的 看成一个函数 由上例的 注 所以 再考察 由 的定义知 无论里层 还是 总有 而不可能 所以无论 如何 总有 从而 例 设 求 解 而由 的定义 进而有 当 且 当 且 当 且 当 且 评析 为 的 为使左边极限为 应取 使 并且 从而 例 已知当 时 与 是等价无穷小 求常数 和 解 由洛必达法则 若 则右边趋于 若 则右边趋于 均与题设等价无穷小矛盾 故 从而极限为 令其等于 得 以后读者经常会用到下述结论 请记住 很有用 设 为常数 则 的充要条 件是 例 已知 槡 求常数 和 解 法一 利用极限与无穷小的关系 有 槡 得 槡 是常数 故令 亦应成立 所以 槡 槡 槡 于是 槡 槡 槡 法二 注意到 若 则所给极限式为 型 若 则所求极限为 均与极限为 矛盾 故 于是 槡 槡 分母的 最大项 为 的 次方 若 则右边应趋于 故 若 则右边的极限存在 但不为 故 故 已知某些极限求另一些极限 解这类题的关键是将欲求的极限用已知极限来表示 这就是下面的方法二 或者通 过极限与无穷小的关系 去掉极限号进行运算 化到欲求极限的形式 这就是下面的方法 一 有时也采取凑的办法 将欲求极限凑成用已知极限形式来表示 见下面例 的方 法二 由 知 可见 欲求极限为 型 三 含有 等的表达式为 时的极限 这种极限 一般说来应分 与 讨论 例 表示不超过 的最大整数 试确定常数 的值 使 存在并求出此极限 解 由 的定义可知 左 右极限不相等 所以题中所给 极限应分左 右极限讨论 所以当且仅当 时所给极限存在 且此时极限为 四 无穷小的比较 给了两个无穷小 探讨它们谁是高阶 谁是低阶 或讨论它们是否等价 这类题只要 按定义去讨论即可 本质上仍是求极限的题 考题中以选择题为多数 例 设 则当 时 是 的 等价无穷小 同阶但非等价无穷小 高阶无穷小 低阶无穷小 解 应选 按定义讨论 洛必达 等价替换 评析 变限积分求导定理见 一 一 例 当 时 下列 个无穷小关于 的阶最高的是 o 所以 例 设 证明 存在 证 法一 易知 单调增加 再证它有上界 由 所以 有上界 从而知 存在 证毕 法二 取对数 有上界 并且显然 单调增加 所以 存在 从而 存在 证毕 例 求 解 则当 时 所以 例 设 为确定的 整数 试求 解 将 中最大的记为 于是 令 由夹逼定理知 仿 可得 所求极限为 型 洛 所以 槡 例 求 解 一时还弄不清是什么型 应先变形讨论 易见 所以上式为 型 等 洛 例 本金 元 存入银行 年利率为 将 年分成 个单元 按单元复利计 算 年后 本息 共计多少 求 解 年利率为 将 年分成 个单元 每单元的利率为 单元后的本息合计 年后为 个单元 本息共计 记为 称为以年利率为 连续复利计算的七年后的本息 评析 在 确定的条件下 复利计息中以连续复利计息的利息最多 这是因为 对任意正整数 左 右导数与可导的关系定理 在 处可导 在 处左 右导数 都存在 并且 函数 在闭区间 的端点处的导数是指 及 导数的几何意义 在 处的导数 是曲线 在点 处的切线斜率 从而切线方程为 导数在几何上的应用最根本 之点在于此 二 函数的微分 函数的微分的定义 设 在 的某邻域 内有定义 并设 如果 可写成 其中 与 无关 则称 在点 处可微 并称 为 在 处的微分 记为 可导与可微的关系定理 在 处可微 在同一点 处可导 当条件满足时 上述 于是 自变量的微分 从而得到计算函数微分的公式 三 导数在经济上的意义 以利润函数为例来说明之 设 为产量 为利润 比 再多生产 个单位 利润 增加 利润函数 在 处的导数 表示产量在 处增加 个单位时利润的 近 似 增加值 在经济学中称 为边际利润 一般地 在 处的导数 称为 在 处的边际位 称 为 的边际函数 这就是常说的导数在经济上的意义 在经济中与导数密切相关的另一个量是弹性 设函数 在 处可导 函数 在 处的相对改变量 与自变量的相对改 变量 的比 称为函数 从 到 两点间的相对变化率 或称两点 间的弹性 当 时 的极限若存在 则称它为 在 处的相对变化率 或称为 在 处的弹性 记作 而 值 法三 用拉格朗日余项一阶泰勒公式 其中 又由 选 例 设 在 内有定义 且对于任意 有 又 存在等于 试讨论 在任意 的可导性并 求 解 此题由 在 的可导性去推出在任意 处的可导性 宜从 的定义式入手 先以 代入 中 推知 于是当 时 有 例 设 在 处可导 证明 若 则 在 处必可 导 若 则 在 处可导的充要条件是 证 若 不妨设 则在 的邻域里 从而 在 处必可导 若 则 所以 在 处可导的充要条件是 即 导数的求法 本节主要是运算 包括各种形式的函数 显式 隐式 带函数记号形式 分段函数 变上限函数的求导方法 求高阶导数以及分段函数的二阶导数 也是本节的重要组成部 分 这些都是重点内容 要求准确并熟练地掌握 一 导数 微分 的运算法则和导数 微分 公式 常用的导数 微分 运算法则 以下均设所涉及的函数可导 则有 定积分 设 则有 即 与此相应的微分运算法则 就是微分形式不变性 即不论 是自变量还是中间变量 均有 设 可导且 则存在反函数 且 即 基本初等函数的导数 微分 公式 为常数 为常数 为常数 为常数 为常数 为常数 槡 槡 槡 槡 变限积分求导定理 设 为连续函数 与 均可导 则有 二 高阶导数 定义 设 即 存在 则称 在 处存 在二阶导数 并称此极限为 在 处的二阶导数 记为 等 一般 设 即 存在 则称 在 处存在 阶导数 并称此极限为 在 处的 阶导数 记为 等 通常约定 表示 本身 阶导数运算法则 以下均设 存在 阶导数 则有 后一公式称为乘积的高阶导数的莱布尼茨公式 几个常见的初等函数的 阶导数公式 其中 中 若 为某一正整数 则 三 隐函数求导法 设函数 由方程 确定 视 中的 为 的函数 两边对 求导 便得含有 的一个式子 从中解出 即可 将已获得的 再对 求导 并视其中的 为 的函数 便得 详见例 幂指函数 的导数公式如下 其中设 均可导 一般还应设 此公式可由对数求导法或由 求导获得 设 由 确 定 常 数 则 设 可导 是由方程 确定的函数 则 已知 则 设 则 设 是由方程 确定的满足 的连续函数 则 设常数 考虑 的情形 设 若 存在 但 在 处不连续 则 的取值范围为 在区间 上函数 的最大值记为 则 曲线 的斜渐近线方程为 二 选择题 函数 在 处可导的充要条件是 存在 存在 存在 存在 的不可导的点的个数为 个 个 个 个 设 在 的某邻域内有定义 则 在 处 可导的充要条件是 在 处连续 在 处可导 与 都存在且异号 下列 个命题 若 在 处可导 则 在 处必可导 若 在 处连续 则 在 处必可导 在 的某邻域 内 有定义 且存在常数 及常数 当 时 有 则 存在 设存在 在 内 有界 则 在 内亦必有界 设存在 在 内 有界 则 在 内亦必有界 曲线 仅有水平渐近线 仅有铅直渐近线 既有水平又有铅直渐近线 既有铅直又有斜渐近线 三 解答题 设 存在 求 设 在 处二阶可导 且 求 设 连续 且 为常数 求 并讨论 在 处的连续性 设 在 处连续且 讨论 在 处的可 导性 若可导 求 设 当 当 当 求常数 的值 使 在 处可导 并求出 设 试讨论 在 处最高可求到几阶导数 并逐阶 求出之 设当 时 并设当 时 求常数 与 的值 使 在 处可导 并求 设 在 的某邻域内连续 存在 不为 求 设 在 的某邻域内连续 且 存在 求 设 在区间 内有定义 且对于任意 有 又 证明 对任意 存在 并求之 设 二阶可导 且满足方程 作自变量的变量变换将 化为 求 关于 的方程 吨 商品的不变成本为 万元 可变成本为 万元 商家为追求最大利润 政府对产品征 税 求 商家纳税前的最大利润及此时的产量与价格 若每销售 吨商品 政府征税 称为税率 万元 求征税后商家获最大利润时的 销售量 当商家获最大利润时 要使政府税收总额最大 税率 应为多少 提示 用莱布尼茨公式 提示 由洛必达法则 对 用隐函数导数代入 提示 求出 时的 及 再讨论求出 的范围 当 有斜渐近线 提示 若 存在 可证 都成立 但反之 只有 成 立 可证 存在 而 成立只能表明 存在 的反例为 存在为 但 不存在 的反例与 的反例同 提示 逐个按定义考察 处 即知 为不可导数 提示 洛 洛 按定义 以上是简略提示 具体演算时应进行讨论 提示 参见 例 提示 的反例 当 当 但在 点 任意小的 内 不是定号 由保号性知 是正确的 提示 因为 故 正确 是 为 的 极 大 值 的 充 分 条 件 而 不 是 必 要 条 件 反 例 如 下 其讨论参见习题 提示 由条件有 所以存在去心邻域 在此领域内 又因 所以当 时 当 时 选 提示 参见 例 提示 由罗尔定理 提示 区分单调区间 提示 由拉格朗日中值定理 提示 可举反例排除 用拉格朗日定理证明 正确 提示 是正确的 参见 例 是错误的 例 存在 但不存在 使 提示 对于任意 由拉格朗日中值定理 在 上有 即知 在 内有界 的反例 的反例 的反例 提示 通分 用一次洛必达法则 再用导数定义 当 处处连续 提示 用极限与无穷小关系解出 再用导数 定义 不存在 提示 分 与 讨论 提示 先写出 时 的表达式 邻 的最小值为 令 由拉格朗日中值定理 再令 当 时 当 时 故 为 的最大值 因此 不妨认为 由拉格朗日中值定理 其中 得证 仿 题 令 所以当 时 取到最大值 最大值为 所以 且仅当 等号成立 令 当 所以当 时 存在唯一实根 当 时 的实根数等价于 的实根数 令 令 得唯一驻点 所以 为最小值 当 时 又因 所以当 时 由单调性知 存 在唯一零点 当 时 由单调性知 也存在唯一零点 有且仅有 个零 点 当 时 存在唯一零点 当 时 无零点 不妨认为 若 则 若 则 由积分中值定理得 对 在区间 上用罗尔定理 存在 使 即 不妨认为 存在 使 所以存在 使 用两次罗尔定理知 存在 使 由 知存在 故存在 使 且 从而 将 在 处用泰勒公式展开至 所以 反证法 设在 的两个零点间 则在以 的两零点为端点的闭区 间上对函数 用罗尔定理 推知 在该区间内至少 存在 个零点 与条件矛盾 作 有 由罗尔 定理即得证 作 有 因 故存在 使 在区间 上对 用罗尔定理 存在 使 即 令 所以 至多只有 个零点 即 至多只有 个零点 例 基本题特例 平均成本为 由求最大 最小方法知 当 时平均成本最小 边际成 本 利润函数 由求 为最大值的方法知 时 为最大 税前利润函数 万吨 万 元 吨 时利润 最大 最大利润 万元 税后利润函数 时 最大 当 时 政府税收总额 当 时 最大 表示每吨收税 元 是 数的平均值 题型有填空题 选择题 计算题 一 几何应用 例 过坐标原点作曲线 的切线 该切线与曲线 及 轴围成平面图形 求 的面积 求 绕 直线 旋转一周所得旋转体的体积 解 设切点坐标为 于是切线斜率 切线方程为 它经过原点 以 代入 得 切点坐标为 切线方程为 曲边递形 的面积 绕直线 所成的旋转体体积为两个体积 与 之差 为切线 与 轴围成的三角形绕 旋转生成的旋转体体积 为曲线 与 轴围成的曲边三角形绕 旋转生成的旋转体体积 从而 例 设有一正椭圆柱体 其底面的长 短轴 分别为 用过此柱体底面的短轴且与底面成 角 的平面截此柱体 得一楔形体 如图 求 此楔形体的体积 解 取与 轴垂直的平面截该立体 在 轴上的 截距为 截面为三角形 面积 也可以取与 轴垂直的平面截该立体 在 轴上的截距为 截面为一矩形 面积 槡 梯 所以存在 使 即 法二 采用 变限法 令 将 展开成麦克劳林公式至 所以有 其中 不妨认为 由 的连续性 所以存在 介于 与 之间 当然有 使 于是就有 以 代入 便得欲证的 并且 条件比方法 强 方法 比方法 也容易掌握 例 设 与 在 上连续 且 证明 存在 使 此称推广的积分中值定理 年数学三 四的考题 但该考题只要求证明 解 法一 由 知 记 为一确定的数 从而 若不存在 使 则或者在 内恒有 则 矛盾 或者在 内恒有 亦矛盾 故知存在 使 代入 便完成了证明 法二 令 为 的一个原函数 为 的一个原函数 由柯西公式 有 结论 槡 槡 设 连续 且 则 设 槡 则 槡 设 是两个常数 且 槡 则 设 为连续函数 且 则 二 选择题 设 在 处 极限不存在 极限存在但不连续 连续但不可导 可导 设 是以 为周期的连续函数 是以 为周期的连续函数 若下式中用 到 则设 存在 则以下 个结论不正确的是 必以 为周期 必以 为周期 必以 为周期 必以 为周期 设 在 内具有一阶导数 且 则 在 内单调减少 在 内单调增加 在 内单调增加 在 内单调减少 在 与 内均单调增加 在 与 内均单调减少 积分 的值 与 无关且恒为正 与 无关且恒为负 恒为 与 有关 设 则当 时 不是无穷小 与 同阶但不是等价无穷小 与 是等价无穷小 是 的高阶无穷小 设曲线 与曲线 相交三点 这两曲线介于 与 之间的图形绕 轴旋转一周所生成的旋转体 体积为 设在区间 上 存在二阶导数 且 令 则 曲线 与 轴围成的图形的面积为 下列反常积分 槡 槡 槡 发散的是 三 解答题 已知 求 已知 求 求 求 求 求 求 求 设常数 求 设 为连续函数且满足 求 设 证明 当 为正奇数时 具有周期 当 为正偶数时 不是周期函数 设 求 如图 曲线 的方程为 点 是它的一个拐点 直线 与 分别是 曲线 在点 与 处的切线 其交点为 设函数 具有 阶连续导数 计 算定积分 设 证明 以 为周期 求 的最大值与最小 值 以及 的值域 求 求 求 求 槡 设 求曲线 的水平渐近线 求曲线 与它 的水平渐近线之间在 部分的图形的面积 求曲线 围成的图形绕 轴旋转一周生成的旋转体体积 过坐标原点作曲线 的切线 该切线与曲线 及 轴围成平面图形 求 的面积 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 求曲线 与 轴围成的封闭图形绕直线 旋转所得的旋转体体 积 在椭圆 上的第一象限中 求点 使过此点的切线与椭圆及两 坐标轴正向围成的图形绕 轴旋转一周的旋转体体积为最小 求该最小旋转体体积 设 在 内连续 证是 若 为偶函数 则 也是偶函数 若 为单调减函数 则 为单调增函数 设 与 在 上连续 为常数 证明 在 与 内分别为严格增函数 设 与 在区间 上有连续的一阶导数 且 证明 对任何 有 设 在 上连续 在 内二阶可导 试证明 设 在 上可导 为某常数 又设 证明 设 在 上连续 在 内可导 且 有界 为某常 数 证明 设 在 上连续且单调增加 证明 设 在 上连续 且当 时 证明 设 在 上连续 在 内可导 证明 设 在 上一阶导数连续 证明 当 时 设在区间 上 连续 单调减少且 证明 明 0 设 证明 求 设 在 上连续且 证明方程 在区间 内有且仅有一个根 设 在区间 上连续 且 求 并求 设某产品的边际成本 固定成本 边际收益 其中 为产品的产量 求 成本函数 收益函数 产量 为多少时利润最大 最大值是多少 设某商品从时刻 到 的销售量为 欲在 时将数量 为 的商品销售完 求 时的商品剩余量 并确定 的值 在时间段 上的平 均剩余量 其中 当 当 当 当 提示 用变量变换 提示 令 槡 原式 提示 用分部积分 槡 提 示 用 分 部 积 分 槡 槡 或交换累次积分次序 槡 槡 提示 令 从而 求出 再由 求出 提示 先求出 的分段表达式 然后再按分段函数求 与 它 们不相等 故选 对于一般情形 设 除 外均连续 而 存在 也 存在 但不等 即 为 的跳跃间断点 那么 为常数 在 必定连续且不可导 并且 与 分别存在且不相等 事实上有定理 见 例 后的评价 理由见 例 后的详析 其他 都是正确的 请读者自 证之 求 再对其分子用积分中值定理 当 时 且 从而知 理由见 例 及其评析 注意到 槡 都是奇函数 当 时 所以 都正确 例如 对于 由 有周期 则 与 无关 反之 设对任意 与 无关 将它对 求导 有 由于 的任意性 说明 具有周期 是正确的 类似可证 正确 的反 例 但 并非周期函数 由 推不出 有周期 如果添加先决条件 设 为具有周期 则 有周 期 的充要条件是 计算便知 提示 方法 交换积分次序即可知 正确 方法 设 为 的一个 原函数 由于 为奇函数 所以 为 的偶函数 从而知 析 为 的奇函数 请读者说明 为什么 不正确 由被积函数的周期性知 画出草图立即可得 由几何意义画出草图立即可得 所求图形面积 再由 当 时 当 时 便知 正确 经计算知 与 是发散的 令 再计算 便得 槡 由 有 从而 所以 槡 再由 便有 槡 由分部积分得 用分部积分 用分部积分或令 之后再用分部 积分 对后者用分部积 分 槡 用万能代换 对后者作积分变量变换 即得 周期为 即 但被积函数具有周期 所以 立即可知 与 正确 用 分 部 积 分 再分部积分即得 也可以由 将 化为 累积分交换积分次序 先由所给条件计算出 等 再用分部积分计算该积分 最大值槡 最小值槡 值域 槡 槡 作积分变量变换 易证 所以只要在 上讨论 的 最大 最小即可 令 先用分部积分法做出不定积分 然后再代入上 下限 下限 用极限 处理 在求 时 方括号内两项不能拆项求 用分部积分 令槡 再拆项即可 槡 面 积 槡 槡 来自分部积分 求 槡 时用洛必达法则 面积 槡 槡 槡 用定义证 求导证 计算 并将分子化在同一积分号内讨论 将 看成 令 用微分学 的办法 或者用分部积分计算 令 为 用变限法单调性证 提示 由拉格朗日中值定理 从而 再由积分不等式性质即可得 提示 分别 再用拉格朗日中值定理并估值 积分即得 令 用单调性证 令 再对 用分部积分 提示 用变上限函数推导不等式 提示 提示 交叉相乘 移项 看成变上限函数 用微分学办法去证 提示 令 求 当 时的最大值 然后再证此最 大值 由夹逼定理 令 由连续函数介值定理及单调性定理即得 槡 当 提示 令 得 由此求出 及 再求得 时利润最大 最大值 时的商品剩余量为 平均剩余量为 函数的偏导数的定义 设函数 在点 的某邻域 内有定义 固定于 点 若 存在 称它为函数 在点 处对 的偏导数 记为 或 或 或 类似地可以定义 在点 处对 的偏导数 并有相应的记号 偏导数 与 的定义式 又常可写成 评析 由定义可见 对 的偏导数 就是固定 将 作为 的一 元函数对 的导数 对 的偏导数亦类似 于是推知 初等函数的求导公式 以及导数的四则运算法则 对偏导数亦成立 高阶偏导数 的偏导数的偏导数 如果存在的话 称为二阶偏导数 它们相应的记 号是 记为 或 记为 记为 或 记为 记为 或 记为 记为 或 记为 其中 与 称为混合偏导数 表示先对 求导再对 求导 表示先对 求导后对 求导 类似地 有更高阶的偏导数 函数的全微分 设函数 在点 的某邻域 内有定义 点 函数 的全增量 若可写成 其中 为与 和 都无关的常数 第 章练习题 一 填空题 设函数 可微 并设由 确定的曲线在点 处 与曲线 相切 又设 则 设函数 与 均可微 则 设函数 与 均可微 则 设由 与 确定 与 则 处的 设 是由方程 所确定 则 设 具有二阶连续偏导数 且满足 则 设 当 当 则 设 常数 则 设 连续 交换积分次序 设 则 二 选择题 设 则它在点 处 连续 两个偏导数也都存在 连续 但两个偏导数都不存在 不连续 但两个偏导数都存在 不连续 两个偏导数也都不存在 设 当 当 则 在点 连续但偏导数不存在 偏导数存在 但函数不连续 既连续 偏导数也存在 但函数不可微 函数可微 设 在平面 的有界闭区域 上具有二阶连续偏导数 且满足 则 的 最大值点和最小值点必定都在 的内部 最大值点和最小值点必定都在 的边界上 最大值点在 的内部 最小值点在 的边界上 最大值点在 的边界上 最小值点在 的内部 设 在点 连续 且 常数 则点 为 的极大值点 为 的极小值点 不是 的极值点 是否为 的极值点 由 而定 设 常数 二重积分 的值 为正 为零 为负 当 时为正 当 时为负 设 连续 交换二次积分 为先 后 则 设 常数 则 设 为连续函数 为常数 则 设 为连续函数 则 三 解答题 设 具有二阶连续偏导数 求 设 求 设 具有一阶连续偏导数 又设 之间满足关系式 求 设 具有连续的一阶偏导数 且由 确定 又 设 求 与 设 槡 二阶可导 且 求 所满足的方程 设 函 数 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 且 满 足 设 求 设 具有二阶连续导数 且 求 求由方程 所确定的连续可微函数 的 极值 求函数 在 上的最大值与最 小值 过椭圆 的第一象限上的点 作切线 使此切线与椭圆 以及两坐标轴正向围成的图形绕 轴旋转一周所成的旋转体体积为最小 并求该最小的 旋转体体积 计算 槡 槡 提示 对变上限求导定理 只能用于对外层求导 不能用于对内层的上限 解决的办法有二 交换积分次序 也许可将两个 化为外层的上限一个 设 为 的一个原函数 从而 在 处极大值 在 处极小值 槡 槡 旋转体体积最小值为 槡 提示 化为二重积分 采用极坐标计算之 当 时 无定义 当 时 仅一点 当 当 当 提示 在区域 内添直线 连同 轴及 轴 将 划成 块三角 形 按顺时针方向分别记为 与 关于 轴对称 与 关于 轴 对称 是 的奇函数 也是 的奇函数 所以 而 所以 提示 用极坐标 评析 或者考察所给级数的通项当 时关于无穷小 的阶 由 槡 当 所以当 即 时所给级数收敛 当 即 时 由条件 发散 评析 由此题可见 凡通项为 的有理分式 或 槡 的有理分式 或 的有理分式的 幂 都能很方便地看出通项 当 时 为 的多少阶无穷小 由无穷小阶的办法 迅速可得答案 所以 正确而迅速地讨论通项 当 时 为 的多少阶 在论证级 数收敛性时非常有效 例 判别级数 的敛散性 其中 为常数 解 因为当 时 所以通项 为正项级数 采用比较判别法的极限形式 考察 为了可使用洛必达法则 改为考察 取 使得上述极限存在而不为 从而知 与 为同阶无穷小 所以当 即 时原级数收敛 当 时 再结合条件 即当 时 原级数发散 例 设 证明级数 收敛 解 由 及 知 对一切 并且 所以数列 单调减少且有下界 从而知 存在 记为 由于 所以 而以右边为通项的级数 其前 项部分和 存在 所以 收敛 从而推知原给级数收敛 例 设 并设 与 均收敛 证明 收敛 分析 见到 不要误认为用夹逼定理 条件给的是不等式 想到级数中的 比较判别法 但比较判别法只能用于正项级数 而现在并未说 所以应创造条件使能用于 正项级数 解 由 知 因为 与 均收敛 所以 收敛 由比较判别法知 收敛 而 由收敛级数的性质 知 收敛 交错级数与任意项级数的收敛 条件收敛 绝对收敛的判别 交错级数 判敛一般用下述办法 用莱布尼茨定理 在检查 的单调减少这一条件时 可采取下面办法之一 用初等数学办法证明 用初等数学办法证明 如果能将 写成 其中 可导 则计算 证明当 且充分大时 则 单调减少 如果 不满足单调减少这一条件 一般改为考察由其通项的绝对值所成的级 数的收敛性 参见下面 任意项级数 的敛散性 其中 的符号没有限定 此时采用下述 办法之一考虑 如果 不存在 或存在但不为零 则 亦如此 从而知原级数发散 如果 或 或者 则 不存在 或存在 如果右边极限存在 那么由 收敛 可推得 也收敛 由 收敛 推知它的前 项部分和 的极限 存在 从而知 存在 于是推知 存在 于是知 绝对 收敛 例 设常数 讨论级数 的敛散性 分析 由于通项中含有 所以应分 讨论之 解 当 时 所以所给级数发散 当 时 通项为 所给 级数也发散 当 时 若 则为正项级数 当 则为交错级数 考虑 用比值法 所以所给级数绝对收敛 例 设 证明级数 条件收敛 其中 为足够大的某正整数 解 因为 由