2008年全国中考数学压轴题精选【中考必备】.pdf

1 2008 年全国中考数学压轴题精选 一 2008 年全国中考数学压轴题精选 一 1 08 福建莆田福建莆田 26 题 题 14 分 如图 抛物线经过 A 3 0 B 0 4 C 4 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 已知 AD AB D 在线段 AC 上 有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个 单位长度的速度移动 同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动 经过 t 秒 的移动 线段 PQ 被 BD 垂直平分 求 t 的值 3 在 2 的情况下 抛物线的对称轴上是否存在一点 M 使 MQ MC 的值最小 若存在 请求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 注 抛物线 2 yaxbxc 的对称轴为 2 b x a 08 福建莆田福建莆田 26 题解析 题解析 1 解法一 设抛物线的解析式为 y a x 3 x 4 因为 B 0 4 在抛物线上 所以 4 a 0 3 0 4 解得 a 1 3 所以抛物线解析式为 2 111 3 4 4 333 yxxxx 解法二 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxca 依题意得 c 4 且 9340 16440 ab ab 解得 1 3 1 3 a b 所以 所求的抛物线的解析式为 2 11 4 33 yxx 2 连接 DQ 在 Rt AOB 中 2222 345ABAOBO 所以 AD AB 5 AC AD CD 3 4 7 CD AC AD 7 5 2 因为 BD 垂直平分 PQ 所以 PD QD PQ BD 所以 PDB QDB 2 因为 AD AB 所以 ABD ADB ABD QDB 所以 DQ AB 所以 CQD CBA CDQ CAB 所以 CDQ CAB DQCD ABCA 即 210 577 DQ DQ 所以 AP AD DP AD DQ 5 10 7 25 7 2525 1 77 t 所以 t 的值是 25 7 3 答对称轴上存在一点 M 使 MQ MC 的值最小 理由 因为抛物线的对称轴为 1 22 b x a 所以 A 3 0 C 4 0 两点关于直线 1 2 x 对称 连接 AQ 交直线 1 2 x 于点 M 则 MQ MC 的值最小 过点 Q 作 QE x 轴 于 E 所以 QED BOA 900 DQ AB BAO QDE DQE ABO QEDQDE BOABAO 即 10 7 453 QEDE 所以 QE 8 7 DE 6 7 所以 OE OD DE 2 6 7 20 7 所以 Q 20 7 8 7 设直线 AQ 的解析式为 0 ykxmk 则 208 77 30 km km 由此得 8 41 24 41 k m 所以直线 AQ 的解析式为 824 4141 yx 联立 1 2 824 4141 x yx 由此得 1 2 824 4141 x yx 所以 M 128 241 则 在对称轴上存在点 M 128 241 使 MQ MC 的值最小 3 2 08 甘肃白银等 9 市 28 题 2 08 甘肃白银等 9 市 28 题 12 分 如图 20 在平面直角坐标系中 四边形 OABC 是矩形 点 B 的坐标为 4 3 平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动 设直线 m 与矩形 OABC 的两边 分别交于点 M N 直线 m 运动的 时间为 t 秒 1 点 A 的坐标是 点 C 的坐标是 2 当 t 秒或 秒时 MN 2 1 AC 3 设 OMN 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 4 探求 3 中得到的函数 S 有没有最大值 若有 求出最大值 若没有 要说明理由 08 甘肃白银等 9 市 28 题解析 08 甘肃白银等 9 市 28 题解析 本小题满分 12 分 解 1 4 0 0 3 2 分 2 2 6 4 分 3 当 0 t 4 时 OM t 由 OMN OAC 得 OC ON OA OM ON t 4 3 S 2 8 3 t 6 分 当 4 t 8 时 如图 OD t AD t 4 方法一 由 DAM AOC 可得AM 4 4 3 t BM 6 t 4 3 7 分 由 BMN BAC 可得BN BM 3 4 8 t CN t 4 8 分 S 矩形OABC的面积 Rt OAM的面积 Rt MBN的面积 Rt NCO的面积 12 4 2 3 t 2 1 8 t 6 t 4 3 4 2 3 t 图 20 4 tt3 8 3 2 10 分 方法二 易知四边形ADNC是平行四边形 CN AD t 4 BN 8 t 7 分 由 BMN BAC 可得BM BN 4 3 6 t 4 3 AM 4 4 3 t 8 分 以下同方法一 4 有最大值 方法一 当 0 t 4 时 抛物线 S 2 8 3 t的开口向上 在对称轴 t 0 的右边 S 随 t 的增大而增大 当 t 4 时 S 可取到最大值 2 4 8 3 6 11 分 当 4 t 8 时 抛物线 S tt3 8 3 2 的开口向下 它的顶点是 4 6 S 6 综上 当 t 4 时 S 有最大值 6 12 分 方法二 S 2 2 3 04 8 3 348 8 tt ttt acbxaxy的 图象的顶点为 D 点 与 y 轴交于 C 点 与x轴交于 A B 两点 A 点在原点的左侧 B 点的 坐标为 3 0 OB OC tan ACO 3 1 1 求这个二次函数的表达式 2 经过 C D 两点的直线 与x轴交于点 E 在该抛物线上是否存在这样的点 F 使 以点 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 若存在 请求出点 F 的坐标 若不存 在 请说明理由 3 若平行于x轴的直线与该抛物线交于 M N 两点 且以 MN 为直径的圆与x轴相切 求该圆半径的长度 4 如图 10 若点 G 2 y 是该抛物线上一点 点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动 点 当点 P 运动到什么位置时 APG 的面积最大 求出此时 P 点的坐标和 APG 的最 大面积 图 9 y xOE D C BA G AB C D O x y 图 10 7 08 广东深圳广东深圳 22 题解析 题解析 1 方法一 由已知得 C 0 3 A 1 0 1 分 将 A B C 三点的坐标代入得 3 039 0 c cba cba 2 分 解得 3 2 1 c b a 3 分 所以这个二次函数的表达式为 32 2 xxy 3 分 方法二 由已知得 C 0 3 A 1 0 1 分 设该表达式为 3 1 xxay 2 分 将 C 点的坐标代入得 1 a 3 分 所以这个二次函数的表达式为 32 2 xxy 3 分 注 表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分 2 方法一 存在 F 点的坐标为 2 3 4 分 理由 易得 D 1 4 所以直线 CD 的解析式为 3 xy E 点的坐标为 3 0 4 分 由 A C E F 四点的坐标得 AE CF 2 AE CF 以 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 存在点 F 坐标为 2 3 5 分 方法二 易得 D 1 4 所以直线 CD 的解析式为 3 xy E 点的坐标为 3 0 4 分 以 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 F 点的坐标为 2 3 或 2 3 或 4 3 代入抛物线的表达式检验 只有 2 3 符合 存在点 F 坐标为 2 3 5 分 3 如图 当直线 MN 在x轴上方时 设圆的半径为 R R 0 则 N R 1 R 代入抛物线的表达式 解得 2 171 R 6 分 当直线 MN 在x轴下方时 设圆的半径为 r r 0 则 N r 1 r R R r r 1 1 N N M M AB D Ox y 8 代入抛物线的表达式 解得 2 171 r 7 分 圆的半径为 2 171 或 2 171 7 分 4 过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q 易得 G 2 3 直线 AG 为1 xy 8 分 设 P x 32 2 xx 则 Q x x 1 PQ2 2 xx 3 2 2 1 2 xxSSS GPQAPQAPG 9 分 当 2 1 x时 APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 4 15 2 1 8 27 的最大值为 APG S 10 分 5 08 湖北恩施 24 题 本大题满分 12 分 5 08 湖北恩施 24 题 本大题满分 12 分 如图 11 在同一平面内 将两个全等的等腰直 角三角形ABC和AFG摆放在一起 A为公共顶点 BAC AGF 90 它们的斜边长为 2 若 ABC固定不动 AFG绕点A旋转 AF AG与边BC的交点分别为D E 点 D 不与 点 B 重合 点 E 不与点 C 重合 设BE m CD n 1 请在图中找出两对相似而不全等的三角形 并选取其中一对进行证明 2 求 m 与 n 的函数关系式 直接写出自变量 n 的取值范围 3 以 ABC的斜边BC所在的直线为 x 轴 BC边上的高所在的直线为 y 轴 建立平面 直角坐标系 如图 12 在边BC上找一点D 使BD CE 求出D点的坐标 并通过计算验 证BD 2 CE 2 DE 2 4 在旋转过程中 3 中的等量关系BD 2 CE 2 DE 2 是否始终成立 若成立 请证明 若 不成立 请说明理由 G y xO ED CB A G F ED CB A 9 08 湖北恩施 24 题解析 08 湖北恩施 24 题解析 本大题满分 12 分 解 1 ABE DAE ABE DCA 1 分 BAE BAD 45 CDA BAD 45 BAE CDA 又 B C 45 ABE DCA 3 分 2 ABE DCA CD BA CA BE 由依题意可知CA BA 2 n m2 2 m n 2 5 分 自变量 n 的取值范围为 1 n 2 6 分 3 由BD CE可得BE CD 即 m n m n 2 m n 2 OB OC 2 1 BC 1 OE OD 2 1 D 1 2 0 7 分 BD OB OD 1 2 1 2 2 CE DE BC 2BD 2 2 2 2 22 2 BD 2 CE 2 2 BD 2 2 2 2 2 12 82 DE 2 22 2 2 12 82 BD 2 CE 2 DE 2 8 分 4 成立 9 分 10 证明 如图 将 ACE绕点A顺时针旋转 90 至 ABH的位置 则CE HB AE AH ABH C 45 旋转角 EAH 90 连接HD 在 EAD和 HAD中 AE AH HAD EAH FAG 45 EAD AD AD EAD HAD DH DE 又 HBD ABH ABD 90 BD 2 HB 2 DH 2 即BD 2 CE 2 DE 2 12 分 6 08 湖北荆门 28 题 6 08 湖北荆门 28 题 本小题满分 12 分 已知抛物线y ax 2 bx c 的顶点A在x轴上 与y轴的交点为B 0 1 且b 4ac 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线上是否存在一点C 使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A 若不存在说明 理由 若存在 求出点C的坐标 并求出此时圆的圆心点P的坐标 3 根据 2 小题的结论 你发现B P C三点的横坐标之间 纵坐标之间分别有何关系 F D H A G ECB O x y A 第 28 题图 B 第 28 题图 O x y A C B P P1 D P2 P 11 08 湖北荆门 28 题解析 08 湖北荆门 28 题解析 解 1 由抛物线过B 0 1 得c 1 又b 4ac 顶点A a b 2 0 a b 2 a ac 2 4 2c 2 A 2 0 2 分 将A点坐标代入抛物线解析式 得 4a 2b 1 0 0124 4 ba ab 解得a 4 1 b 1 故抛物线的解析式为y 4 1 x 2 x 1 4 分 另解另解 由抛物线过B 0 1 得c 1 又b 2 4ac 0 b 4ac b 1 2 分 a 4 1 故y 4 1 x 2 x 1 4 分 2 假设符合题意的点C存在 其坐标为C x y 作CD x轴于D 连接AB AC A在以BC为直径的圆上 BAC 90 AOB CDA OB CD OA AD 即 1 y 2 x 2 y 2x 4 6 分 由 1 4 1 42 2 xxy xy 解得x1 10 x2 2 符合题意的点C存在 且坐标为 10 16 或 2 0 8 分 P为圆心 P为BC中点 当点C坐标为 10 16 时 取OD中点P1 连PP1 则PP1为梯形OBCD中位线 PP1 2 1 OB CD 2 17 D 10 0 P1 5 0 P 5 2 17 当点C坐标为 2 0 时 取OA中点P2 连PP2 则PP2为 OAB的中位线 PP2 2 1 OB 1 2 A 2 0 P2 1 0 P 1 1 2 故点P坐标为 5 2 17 或 1 1 2 10 分 12 3 设B P C三点的坐标为B x1 y1 P x2 y2 C x3 y3 由 2 可知 2 2 31 2 31 2 yy y xx x 12 分 7 08 湖北咸宁 24 题 7 08 湖北咸宁 24 题 本题 1 3 小题满分 12 分 4 小题为附加题另外附加 2 分 如图 正方形 ABCD中 点A B的坐标分别为 0 10 8 4 点C在第一象限 动 点P在正方形 ABCD的边上 从点A出发沿A B C D匀速运动 同时动点Q以相同速度 在x轴上运动 当P点到D点时 两点同时停止运动 设运动的时间为t秒 1 当P点在边AB上运动时 点Q的横坐标x 长度单位 关于运动时间t 秒 的函数图 象如图 所示 请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度 2 求正方形边长及顶点C的坐标 3 在 1 中当t为何值时 OPQ的面积最大 并求此时P点的坐标 1 1 附加题 如果有时间 还可以继续 解答下面问题 祝你成功 附加题 如果有时间 还可以继续 解答下面问题 祝你成功 如果点P Q保持原速度速度不 变 当点P沿A B C D匀 速运动时 OP与PQ能否相等 若能 写出所有符合条件的t的 值 若不能 请说明理由 08 湖北咸宁 24 题解析 08 湖北咸宁 24 题解析 解 1 Q 1 0 1 分 点P运动速度每秒钟 1 个单位长度 3 分 2 过点B作BF y轴于点F BE x轴于点E 则BF 8 4OFBE 1046AF 在 Rt AFB中 22 8610AB 5 分 过点C作CG x轴于点G 与FB的延长线交于点H 90 ABCABBC ABF BCH 6 8BHAFCHBF 8614 8412OGFHCG 所求C点的坐标为 14 12 7 分 3 过点P作PM y轴于点M PN x轴于点N 则 APM ABF APAMMP ABAFBF 1068 tAMMP 34 55 AMtPMt 34 10 55 PNOMt ONPMt 设 OPQ的面积为S 平方单位 2 13473 10 1 5 251010 Stttt 0 t 10 10 分 说明 未注明自变量的取值范围不扣分 第24题图 A B C D P QOx y 第24题图 O x t 11 10 1 A B C D E F G H M N P QOx y 13 3 10 a 0 当 47 47 10 3 6 2 10 t 时 OPQ的面积最大 11 分 此时P的坐标为 94 15 53 10 12 分 4 当 5 3 t 或 295 13 t 时 OP与PQ相等 14 分 对一个加 1 分 不需写求解过程 8 08 湖南长沙 26 题 8 08 湖南长沙 26 题 如图 六边形 ABCDEF 内接于半径为r 常数 的 O 其中 AD 为直 径 且 AB CD DE FA 1 当 BAD 75 时 求BC 的长 2 求证 BC AD FE 3 设 AB x 求六边形 ABCDEF 的周长 L 关于x的函数关系式 并指出x为何值时 L 取得最大值 08 湖南长沙 26 题解析 08 湖南长沙 26 题解析 1 连结 OB OC 由 BAD 75 OA OB 知 AOB 30 1 分 AB CD COD AOB 30 BOC 120 2 分 故BC 的长为 3 r2 3 分 2 连结 BD AB CD ADB CBD BC AD 5 分 同理 EF AD 从而 BC AD FE 6 分 3 过点 B 作 BM AD 于 M 由 2 知四边形 ABCD 为等腰梯形 从而 BC AD 2AM 2r 2AM 7 分 AD 为直径 ABD 90 易得 BAM DAB AM AD AB2 r x 2 2 BC 2r r x2 同理 EF 2r r x2 8 分 L 4x 2 2r r x2 rxx r 44 2 2 rrx r 6 2 2 其中 0 x r2 9 分 当x r 时 L 取得最大值 6r 10 分 A B C D E F O 14 A O B M D C 图 12 y x 9 08 湖南益阳 24 题 9 08 湖南益阳 24 题 本题 12 分 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为 蛋圆 如果一条直线与 蛋圆 只有一个交点 那么这条直线叫做 蛋圆 的切线 如图 12 点 A B C D 分别是 蛋圆 与坐标轴的交点 已知点 D 的坐标为 0 3 AB 为半圆的直径 半圆圆心 M 的坐标为 1 0 半圆半径为 2 1 请你求出 蛋圆 抛物线部分的解析式 并写出自变量的取值范围 2 你能求出经过点 C 的 蛋圆 切线的解析式吗 试试看 3 开动脑筋想一想 相信你能求出经过点 D 的 蛋圆 切线的解析式 08 湖南益阳 24 题解析 本题 12 分 08 湖南益阳 24 题解析 本题 12 分 解 1 解法 1 根据题意可得 A 1 0 B 3 0 则设抛物线的解析式为 3 1 xxay a 0 又点 D 0 3 在抛物线上 a 0 1 0 3 3 解之得 a 1 y x 2 2x 3 3 分 自变量范围 1 x 3 4 分 解法 2 设抛物线的解析式为cbxaxy 2 a 0 根据题意可知 A 1 0 B 3 0 D 0 3 三点都在抛物线上 3 039 0 c cba cba 解之得 3 2 1 c b a y x 2 2x 3 3 分 自变量范围 1 x 3 4 分 2 设经过点 C 蛋圆 的切线 CE 交 x 轴于点 E 连结 CM 在 Rt MOC 中 OM 1 CM 2 CMO 60 OC 3 15 在 Rt MCE 中 OC 2 CMO 60 ME 4 点 C E 的坐标分别为 0 3 3 0 6 分 切线 CE 的解析式为3x 3 3 y 8 分 3 设过点 D 0 3 蛋圆 切线的解析式为 y kx 3 k 0 9 分 由题意可知方程组 32 3 2 xxy kxy 只有一组解 即323 2 xxkx有两个相等实根 k 2 11 分 过点 D 蛋圆 切线的解析式 y 2x 3 12 分 10 08 江苏南京 28 题 10 08 江苏南京 28 题 10 分 一列快车从甲地驶往乙地 一列慢车从乙地驶往甲地 两 车同时出发 设慢车行驶的时间为 h x 两车之间的距离 为 km y