高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课件 理 新人教版.ppt

第8节函数与方程 考纲展示 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性与根的个数 知识梳理自测 考点专项突破 易混易错辨析 知识梳理自测把散落的知识连起来 教材导读 1 函数的零点是函数图象与x轴交点吗 提示 函数的零点不是点 而是使函数值为0的值 也就是函数图象与x轴交点的横坐标 2 当函数y f x 在 a b 内有零点时 是否一定有f a f b 0 3 函数y f x 在 a b 上图象是连续不断的 单调的 且f a f b 0 那么它在 a b 上有多少个零点 提示 只有1个零点 知识梳理 1 函数的零点 f x 0 实数根 x轴 零点 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 重要结论 1 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 则函数y f x 一定有零点 特别是 当y f x 在 a b 上单调时 它仅有一个零点 2 由函数y f x 图象是连续不断的 在闭区间 a b 上有零点不一定能推出f a f b 0 如图所示 所以f a f b 0是y f x 在闭区间 a b 上有零点的充分不必要条件 双基自测 1 2017 福建三明月考 函数f x log2x 的零点所在的区间为 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 b b 2 2017 海南省海口一中质检 下列方程在区间 1 1 内存在实数解的是 a x2 x 3 0 b ex x 1 0 c x 3 ln x 1 0 d x2 2x 1 0 解析 a 设f x x2 x 3 则函数f x 在 1 1 内先减后增 f 1 3 1时 x2 2x 1 所以方程x2 2x 1 0在 1 1 内无解 故选b 3 给定方程 x sinx 1 0 下列命题中 该方程没有小于0的实数解 该方程有无数个实数解 该方程在 0 内有且只有一个实数解 若x0是该方程的实数解 则x0 1 正确命题是 答案 4 导学号38486047给出下列命题 函数f x x2 1的零点是 1 0 和 1 0 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则一定有f a f b 0 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 其中正确的序号是 解析 错误 函数f x x2 1的零点为 1和1 而并非其与x轴的交点 1 0 与 1 0 错误 函数f x x2 x在 1 2 上有两个零点 但f 1 f 2 0 正确 当b2 4ac 0时 二次函数图象与x轴无交点 从而二次函数没有零点 错误 答案 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 函数零点所在区间 例1 1 2017 长沙调研 已知函数f x lnx x 2的零点为x0 则x0所在的区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 答案 1 c 2 设函数y x3与y x 2的图象的交点为 x0 y0 若x0 n n 1 n n 则n 解析 2 令f x x3 x 2 则f x0 0 易知f x 为增函数 且f 1 0 所以x0所在的区间是 1 2 故n 1 答案 2 1 反思归纳 1 函数y f x g x 有零点 函数y f x g x 与x轴有交点 方程f x g x 0有根 函数y f x 与y g x 的图象有交点 2 函数零点所在区间的判定方法 端点函数值异号判断法 图象交点法 画出两函数y f x y g x 的图象 其交点的横坐标是函数f x f x g x 的零点 以此来判断函数零点所在区间 转化法 方程f x g x 0的根就是函数f x f x g x 的零点 2 导学号38486048 2018 菏泽一中月考 若方程lnx x 4 0在区间 a b a b z 且b a 1 上有一根 则a的值为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 2 方程lnx x 4 0的根为函数f x lnx x 4的零点 f x 的定义域为 0 f x 在定义域上单调递增 因为f 2 ln2 20 所以f x 在区间 2 3 有一个零点 则方程lnx x 4 0在区间 2 3 有一根 所以a 2 b 3 故选b 考点二 函数零点的求法及零点个数的判断 例2 1 2017 忻州一模 函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 答案 1 b 2 2017 包头质检 函数f x 的零点个数是 答案 2 2 反思归纳函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令f x 0 若能求出解 则有几个解就有几个零点 2 函数f x 的图象在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的具体图象与性质 如单调性 奇偶性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合法 将已知函数转化为两个函数图象易作出的函数 画出两个函数的图象 看其交点的个数 有几个交点 就有几个零点 一般地 涉及三角函数 指 对数函数有关的函数零点个数常用数形结合法 特别注意 判定零点个数一般用数形结合法 或者选特殊区间验证 一般不直接求解零点 跟踪训练2 1 2017 合肥八中质检 函数f x log2 x 4 3x的零点个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 1 在同一坐标系中 画出函数y 3x与函数y log2 x 4 的图象 由图象知 函数图象交点为2个 故函数的零点为2个 故选c 答案 1 c 2 2017 银川一模 已知函数f x 若f 0 2 f 1 1 则函数g x f x x的零点个数为 答案 2 3 考点三 函数零点的应用 反思归纳根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数的取值范围 先判断函数的单调性 再利用零点存在性定理 建立参数所满足的不等式 解不等式 即得参数的取值范围 考查角度2 已知函数零点或方程根的个数 求参数范围 例4 2017 新乡质检 若函数f x 2x 2 b有两个零点 则实数b的取值范围是 解析 由函数f x 2x 2 b有两个零点 可得 2x 2 b有两个不等的根 从而可得函数y 2x 2 与函数y b的图象有两个交点 则0 b 2 答案 0 2 反思归纳 1 已知函数零点或方程根的个数求参数的取值范围 先对解析式变形 再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象 数形结合求解 2 形如g x f x m的零点问题可转化为f x m求解 反思归纳涉及函数周期性 奇偶性以及根据函数零点个数求参数的综合问题时 可根据题目特征 作出满足题意的函数图象 利用数形结合思想求解 答案 10 反思归纳求函数的多个零点 或方程的根以及直线y m与函数图象的多个交点横坐标 的和时 应考虑函数的性质 尤其是对称性特征 这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称 直线的对称等 备选例题 例1 2017 邯郸二模 已知函数f x 2x x g x log2x x h x x3 x的零点依次为a b c 则a b c的大小关系为 a ab c d c a b 解析 由函数特点 a b c分别为y 2x y log2x y x3与y x交点的横坐标 作出四个函数的图象 易知a c b 故选b 例2 2017 南宁质检 若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点有 a 多于4个 b 4个 c 3个 d 2个 解析 因为偶函数f x 满足f x 2 f x 故函数的周期为2 当x 0 1 时 f x x 故当x 1 0 时 f x x 函数y f x log3 x 的零点的个数等于函数y f x 的图象与函数y log3 x 的图象的交点个数 在同一个坐标系中画出函数y f x 的图象与函数y log3 x 的图象 如图所示 显然函数y f x 的图象与函数y log3 x 的图象有4个交点 故选b 易混易错辨析用心练就一双慧眼 函数图象不准确而致误 典例 已知函数f x 若方程f x a 0有三个不同的实数根 则实数a的取值范围为 a 1 3 b 0 3 c 0 2 d 0 1 错解 作出函数f x 的图象如图所示 因为方程f x a 0有三个不同的实数根 f 2 3 则函数y f x 的图象与y a的图象有三个不同的交点 根据图象可知 a的取值范围为0 a 3 故