高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理 北师大版.ppt

1 2命题及其关系 充分条件与必要条件 第一章集合与常用逻辑用语 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 命题用语言 符号或式子表达的 可以的陈述句叫作命题 其中的语句叫作真命题 的语句叫作假命题 2 四种命题及其相互关系 1 四种命题间的相互关系 知识梳理 判断真假 判断为真 判断为假 若q 则p 若綈p 则綈q 若綈q 则綈p 2 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们具有的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性 3 充分条件 必要条件与充要条件的概念 相同 没有关系 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要 从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合a的形式出现 q以集合b的形式出现 即a x p x b x q x 则关于充分条件 必要条件又可以叙述为 1 若a b 则p是q的充分条件 2 若a b 则p是q的必要条件 3 若a b 则p是q的充要条件 4 若a b 则p是q的充分不必要条件 5 若a b 则p是q的必要不充分条件 6 若a b且a b 则p是q的既不充分又不必要条件 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 对顶角相等 是命题 2 命题 若p 则q 的否命题是 若p 则綈q 3 当q是p的必要条件时 p是q的充分条件 4 当p是q的充要条件时 也可说成q成立当且仅当p成立 5 若p是q的充分不必要条件 则綈p是綈q的必要不充分条件 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 下列命题是真命题的是a 矩形的对角线相等b 若a b c d 则ac bdc 若整数a是素数 则a是奇数d 命题 若x2 0 则x 1 的逆否命题3 x 3 0 是 x 3 x 4 0 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要 1 2 3 4 5 6 答案 充分不必要 题组三易错自纠4 命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是a 若xy 则x2 y2d 若x y 则x2 y2 解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系 得命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 若x y 则x2 y2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 5 sin 0 是 是第一象限角 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析由sin 0 可得 是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上 若 是第一象限角 则sin 0 所以 sin 0 是 是第一象限角 的必要不充分条件 故选b 解析 1 2 3 4 5 6 答案 6 已知集合a b x 1 x m 1 x r 若x b成立的一个充分不必要条件是x a 则实数m的取值范围是 解析 1 2 3 4 5 6 2 答案 x b成立的一个充分不必要条件是x a a b m 1 3 即m 2 题型分类深度剖析 1 下列命题是真命题的是 题型一命题及其关系 自主演练 答案 2 某食品的广告词为 幸福的人们都拥有 这句话的等价命题是a 不拥有的人们会幸福b 幸福的人们不都拥有c 拥有的人们不幸福d 不拥有的人们不幸福 答案 3 2018 青岛调研 下列命题 若a21 则ax2 2ax a 3 0的解集为r 的逆否命题 若x x 0 为有理数 则x为无理数 的逆否命题 其中正确的命题是a b c d 答案 解析 解析对于 否命题为 若a2 b2 则a b 为假命题 对于 逆命题为 面积相等的三角形是全等三角形 为假命题 对于 当a 1时 12a 0 原命题正确 从而其逆否命题正确 故 正确 对于 原命题正确 从而其逆否命题正确 故 正确 故选a 4 设m r 命题 若m 0 则方程x2 x m 0有实根 的逆否命题是 若方程x2 x m 0没有实根 则m 0 答案 1 写一个命题的其他三种命题时 需注意 对于不是 若p 则q 形式的命题 需先改写 若命题有大前提 写其他三种命题时需保留大前提 2 判断一个命题为真命题 要给出推理证明 判断一个命题是假命题 只需举出反例即可 3 根据 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易进行时 可转化为判断其等价命题的真假 典例 1 2017 浙江 已知等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 则 d 0 是 s4 s6 2s5 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析 答案 题型二充分必要条件的判定 师生共研 解析方法一 数列 an 是公差为d的等差数列 s4 4a1 6d s5 5a1 10d s6 6a1 15d s4 s6 10a1 21d 2s5 10a1 20d 若d 0 则21d 20d 10a1 21d 10a1 20d 即s4 s6 2s5 若s4 s6 2s5 则10a1 21d 10a1 20d 即21d 20d d 0 d 0 是 s4 s6 2s5 的充要条件 故选c 方法二 s4 s6 2s5 s4 s4 a5 a6 2 s4 a5 a6 a5 a5 d a5 d 0 d 0 是 s4 s6 2s5 的充要条件 故选c 2 已知条件p x 1或xx2 则綈p是綈q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析由5x 6 x2 得2 x 3 即q 2 x 3 所以q p p q 所以綈p 綈q 綈q 綈p 所以綈p是綈q的充分不必要条件 故选a 解析 答案 充分条件 必要条件的三种判定方法 1 定义法 根据p q q p进行判断 适用于定义 定理判断性问题 2 集合法 根据p q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 多适用于命题中涉及字母范围的推断问题 3 等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性 进行判断 适用于条件和结论带有否定性词语的命题 跟踪训练 1 2017 赣中南五校联考 已知 均为第一象限角 那么 是 sin sin 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析 答案 充分性不成立 故 是 sin sin 的既不充分又不必要条件 2 设向量a sin2 cos b cos 1 则 a b 是 tan 成立 的 条件 选填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要 解析 必要不充分 答案 典例已知p x x2 8x 20 0 非空集合s x 1 m x 1 m 若x p是x s的必要条件 求m的取值范围 解由x2 8x 20 0 得 2 x 10 p x 2 x 10 由x p是x s的必要条件 知s p 解答 题型三充分必要条件的应用 师生共研 当0 m 3时 x p是x s的必要条件 即所求m的取值范围是 0 3 若本例条件不变 问是否存在实数m 使x p是x s的充要条件 解若x p是x s的充要条件 则p s 解答 即不存在实数m 使x p是x s的充要条件 充分条件 必要条件的应用 一般表现在参数问题的求解上 解题时需注意 1 把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 或不等式组 求解 2 要注意区间端点值的检验 跟踪训练 1 设p 2x 1 0 q 0 若p是q的充分不必要条件 则实数m的取值范围为 解析 解析由 2x 1 0 得 m 2x 1 m p是q的充分不必要条件 又m 0 0 2 答案 2 设n n 一元二次方程x2 4x n 0有整数根的充要条件是n 3或4 答案 解析 解析由 16 4n 0 得n 4 又n n 则n 1 2 3 4 当n 1 2时 方程没有整数根 当n 3时 方程有整数根1 3 当n 4时 方程有整数根2 综上可知 n 3或4 典例已知p 2 q x2 2x 1 m2 0 m 0 綈p是綈q的必要不充分条件 则实数m的取值范围为 解析 答案 等价转化思想在充要条件中的应用 思想方法 思想方法指导 思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的 生疏的问题转化成简单的 熟悉的问题 本题中既有对题目中条件的化简 又有充分必要条件和集合间关系的转化 9 解析 綈p是綈q的必要不充分条件 q是p的必要不充分条件 即p是q的充分不必要条件 由x2 2x 1 m2 0 m 0 得1 m x 1 m m 0 q对应的集合为 x 1 m x 1 m m 0 设m x 1 m x 1 m m 0 p对应的集合为 x 2 x 10 设n x 2 x 10 由p是q的充分不必要条件知 n m 解得m 9 实数m的取值范围为 9 课时作业 1 命题 若函数f x ex mx在 0 上是减函数 则m 1 的否命题是a 若函数f x ex mx在 0 上不是减函数 则m 1b 若函数f x ex mx在 0 上是减函数 则m 1c 若m 1 则函数f x ex mx在 0 上是减函数d 若m 1 则函数f x ex mx在 0 上不是减函数 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 若p 则q 形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定 故选a 解析 答案 2 命题 若a 3 则a 6 以及它的逆命题 否命题 逆否命题中假命题的个数为a 1b 2c 3d 4 解析原命题正确 从而其逆否命题也正确 其逆命题为 若a 6 则a 3 是假命题 从而其否命题也是假命题 因此4个命题中有2个假命题 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2x 1 x 0 是 x 0 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 已知命题p 若a 1 则a2 1 则下列说法正确的是a 命题p是真命题b 命题p的逆命题是真命题c 命题p的否命题是 若a 1 则a2 1 d 命题p的逆否命题是 若a2 1 则a 1 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析若a 2 则 2 2 1 命题p为假命题 a不正确 命题p的逆命题是 若a2 1 则a 1 为真命题 b正确 命题p的否命题是 若a 1 则a2 1 c不正确 命题p的逆否命题是 若a2 1 则a 1 d不正确 故选b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 x 1 是 x 2 0 的a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分又不必要条件 解析由x 1 得x 2 3 即 x 2 0 x 2 0 即x 2 1 得x 1 故 x 1 是 x 2 0 成立的充分不必要条件 故选b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 2017 北京海淀区一模 若实数a b满足a 0 b 0 则 a b 是 a lna b lnb 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析设f x x lnx 显然f x 在 0 上单调递增 a b f a f b a lna b lnb 故充分性成立 a lna b lnb f a f b a b 故必要性成立 故 a b 是 a lna b lnb 的充要条件 故选c 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 已知直线a b分别在两个不同的平面 内 则 直线a和直线b相交 是 平面 和平面 相交 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析若直线a和直线b相交 则平面 和平面 相交 若平面 和平面 相交 那么直线a和直线b可能平行或异面或相交 故选a 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2017 江西红色七校二模 在 abc中 角a b均为锐角 则 cosa sinb 是 abc为钝角三角形 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 又因为余弦函数y cosx在 0 上单调递减 所以 abc为钝角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即cosa sinb 故 cosa sinb 是 abc为钝角三角形 的充要条件 若 abc为钝角三角形 角a b均为锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 若a b 则ac2 bc2 则原命题及命题的逆命题 否命题和逆否命题中真命题的个数是 解析其中原命题和逆否命题为真命题 逆命题和否命题为假命题 解析 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 设p 实数x y满足x 1且y 1 q 实数x y满足x y 2 则p是q的 条件 选填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要 解析当x 1 y 1时 x y 2一定成立 即p q 当x y 2时 可令x 1 y 4 即q p 故p是q的充分不必要条件 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 充分不必要 答案 11 已知命题p a x a 1 命题q x2 4x 0 若p是q的充分不必要条件 则a的取值范围是 解析令m x a x a 1 n x x2 4x 0 x 0 x 4 p是q的充分不必要条件 m n 解析 0 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 有下列几个命题 若a b 则a2 b2 的否命题 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 若x2 4 则 2 x 2 的逆否命题 其中真命题的序号是 解析 原命题的否命题为 若a b 则a2 b2 错误 原命题的逆命题为 若x y互为相反数 则x y 0 正确 原命题的逆否命题为 若x 2或x 2 则x2 4 正确 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 已知p 函数f x x a 在 1 上是单调函数 q 函数g x loga x 1 a 0 且a 1 在 1 上是增函数 则綈p是q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析易知p成立 a 1 q成立 a 1 所以綈