浅谈经典物理,相对论及量子力学.pdf

浅谈经典物理 相对论及量子力学浅谈经典物理 相对论及量子力学 宋雨晴 2007213177 华中师范大学物理科学与技术学院 07 级基地班 武汉 430079 摘 要摘 要 经典物理是一门已经得到了充分地发展的科学 而与其有着矛盾的相对论和量子力 学也推动着物理学进入了新时期 本文介绍了经典物理 相对论和量子力学的基本方程 并 通过比较量子力学与相对论 量子力学与经典物理来揭示量子力学的本质 关键词 关键词 经典物理 相对论 量子力学 一维势阱 1 1 前言 前言 微观粒子具有与宏观物体运动不同的 规律 从根本上说 这是由微观粒子本身的 性质 波粒二象性决定的 虽然相对论遵 循因果律和确定性 和量子力学有着本质上 的区别 但它们却仍旧有着相似之处 本文 对这三者的联系及不同进行了简单的介绍 内容安排如下 2 3 两节介绍经典物理的基 本内容 第 4 节简单地谈了狭义相对论 第 5 6 节简介量子力学的基本知识以及对微观 粒子波粒二象性的认识 第 7 节着重说明了 经典物理与量子力学在测量上的差异 第 8 节讲述了相对论与量子力学的相似之处 最 后通过对一般情况下一维方形势阱的求解 来比较微观粒子和经典粒子的不同 2 经典力学 2 经典力学 经典物理的研究对象是宏观的物理现 象 包括低速宏观物体的运动 电磁场以及 电荷体系与电磁场相互作用几个方面 1 所谓低速宏观物体的运动是指特征尺 度远大于原子尺度的物 体以远低于光速的速度 所作的机械运动 牛顿三大定律进行表述 具体地说 一个物 体的运动状态可以由它的坐标 10 8cm al 103 10 scmcv r v 以及动量 p v 或速度 来描述 若知道了在时刻 某物体的坐标和动量 通过牛顿运动定律 v v 0 t 2 2 dt rd mamF v v v 和运动学方程 我们就可 以知道任意时刻t该物体的运动状态 因为 在任意时刻 物体的坐标tr v 和动量p v 都有 确定值 它们均是可以测量的物理量 当然 在经典力学中还可以用拉格朗日和哈密顿 方式来表述 虽然在形式上与牛顿运动定律 有所不同 但三种方式的实质内容是相同 的 可以互相推导 3 电磁场和电动力学 3 电磁场和电动力学 电磁场的研究对象主要是稳恒的电场 磁场以及电磁波的传播 电荷守恒定律 麦 克斯韦方程组和洛伦兹力公式的三维和四 维形式是经典电磁场的普遍规律 其中 真空中的麦克斯韦方程组为 2 0 0 0000 B E t E JJJB t B E D v v v vvv v v 它反映了一般情况下电荷电流激发电磁场 以及电磁场内部运动的规律 在 和为 0 的区域 电场和磁场通过本身的互相激发而 运动传播 电磁场的相互激发是它存在和运 J v 动的主要因素 而电荷和电流则以一定形式 作用于电磁场 麦克斯韦方程组具有重要的 物理意义 既揭示了电磁场的运动规律 也 揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在 也就是说 在电磁学和电动力学中 场 的运动状态是由电场强度和磁感应 强度来描述的 若已知时刻在空 间坐标处的电场强度或磁场强度 则可以 通过麦克斯韦方程组和推迟势公式求得空 间中任一点在任一时刻的电场或磁场 也是实验直接可以测量的 量 trE v v trB v v 0 t 0 r v trE v v trB v v 4 高速运动的规律 4 高速运动的规律 当物体的速度接近光速时 就需要用狭 义相对论来描述 它是高速运动的基本规 律 通过洛伦兹变换来反映同一事件的时空 坐标在不同惯性参考系之间的变换关系 若 系相对于的运动速度为 则相对论 时空坐标变换公式为 v 2 2 1 c v vtx x yy zz 2 2 2 1 c v x c v t t 经典力学对伽利略变换来说是协变的 在旧时空概念下 牛顿定律对任意惯性系成 立 由于时空观的发展 洛伦兹变换代替了 伽利略变换 经典力学的原有形式不再是协 变的 在相对论力学中外界对物体的作用可 以用一个四维力矢量描述 力学基本方 程可写为协变形式 K d dp K 5 5 量子物理 量子物理 在微观世界中 一个粒子的量子态用波 函数 tr v 来描述 它本身是不可观测的 量 其作用只在于用它可以对微观粒子的各 种力学量 坐标 动量 能量 角动量等等 的观测结果作出预言 波函数本身 是没有物理意义的 其意义在于玻恩对它的 统计解释 既然一个微观粒子的状态是用波 函数来描述的 我们就需要知道一种运动规 律 通过它能够求得在任一时刻t的波函数 tr v tr v 1926 年 薛定谔在德布罗意物质 波假说的启发下 对微观粒子能量量子化问 题给出了一个系统的理论方案 即把它作为 一个波动方程的本征值问题来处理 他深入 分析了正则形式下经典粒子与几何光学的 相似性 并参照几何光学与波动光学的光学 的关系 建立起粒子的波动力学 提出薛定 谔方程 2 2 2 trV m tr t ih vhv 从而成功地解决了量子态怎样随时间演化 以及在各种具体情况下如何求出波函数的 问题 微观粒子所遵从的方程是薛定谔方程 它揭示了微观世界中物质运动的基本规律 作为量子力学中最基本的方程 它是一种假 设 不能用更根本的假定来证明它 其地位 与牛顿方程在经典力学中地位相当 6 6 微观粒子的波粒二象性 微观粒子的波粒二象性 戴维逊 革末的电子衍射实验证明了电 子的波动性 从而使微观粒子具有波粒二象 性的说法有了实验证明 从实验上充分证实 了德布罗意假设的正确性 那么 微观世界 中的粒子和经典力学中的粒子有什么不同 呢 如果电子流很弱 以致电子是一个一个 通过 光栅 的 在底板上看到的将是一个个 不相重叠的斑点 这也就说明了电子在与底 板上的原子发生相互作用时 是一份份地交 换能量 动量和电荷 体现出了一个完整的 粒子所具有的性质 同时 我们也发现 电 子在底板上的斑点并不重合 也就是说 它 们并不是沿相同的轨道运动的 而在经典力 学中 在相同的实验条件下 电子所受到的 力以及初始条件和边界条件都是相同的 轨 道也就应该相同 所以微观世界中的粒子性 和经典物理中的粒子所具有的特性并不能 完全等价 电子所具有的粒子性 只是经典 粒子概念中 原子性 或 颗粒性 即总 是以一定的质量 电荷等属性的客体出 现 抛弃了经典粒子概念中的 粒子有确切 轨道 的概念 在电子衍射实验中 如果让 曝光时间足够长 就会发现底板上的斑点是 有规律分布的 呈现出了衍射图样 与入射 电子流强度很大时的衍射图样是一样的 于 是就说明了电子在传播过程中呈现出了干 涉 衍射这些 波 的特征行为 并且实验 所显示的电子的波动性是许多电子在同一 实验中的统计结果 或是一个电子在许多次 相同实验中的统计结果 单个粒子也有波动 性 与经典的波不同的是 微观世界中的 波并不是实在的 可直接观察的波动 经典 波的衍射图样体现的是振动的强弱分布 而 微观粒子的波是几率波 反映的是微观客体 不确定性的统计规律 波函数的振幅 me tr v 是一种几率波幅 表示的是某些叠 加态的几率 而不是振幅的叠加 微观粒子 所呈现出来的波动性 只是波动性中最本质 的东西 波的 叠加性 抛弃了经典波 中 实际物理量在空间的分布 这一概念 总之 微观客体有着它自己独特的本性 波粒二象性 它并不是经典意义下的粒子 只不过是在和物质相互作用时呈现出粒子 性 服从粒子间相互作用机制 它也不是经 典意义下的波 只不过在空间传播过程中 呈现出波动性 会发生干涉 衍射 7 7 测量 测量 经典物理与量子力学相比 一个很大的 不同之处就在于经典物理中的物理量都是 可以直接测量的 而在量子力学中对物理量 的精确测量则存在一种限制 即为不确定关 系 2 h qp 也就是说 坐标和动量不能同时确定 在原 先 这一海森堡关系式往往被称为测不准原 理 要注意的是 测不准并不是由于测量仪 器精确度不够而导致的无可奈何的结果 反 之 不如说是这个原理以及同观察者总要不 可避免地对实验对象产生干扰这个性质结 合起来 是不可能达到精确测量的原因 从 这个意义上说 坐标和动量的无法同时确定 是量子世界的基本原理 并不是实验手段不 完善的后果 因此 将其称为不确定关系更 为合适 这一关系是微观粒子波粒二象性矛 盾的反映 并给我们指出了使用经典粒子概 念的一个限度 这个限度用普朗克常量h来 表征 当时 量子力学将回到经典力 学 或者说量子效应可以忽略 因为某一力 学量在状态 0 h F tr v 中的平均值为f F 在该状态中的取值的不确定程度用它对力 学 量 的 算 符的 偏 差 的 平 方 平 均 值f 2 2 fff 来 量 度 符 号 2 ff 就表示的是的偏差 在经 典物理中 粒子的坐标和动量是可以同时确 定 的 也 就 是 同 时 要 满 足 f 0 0 pq 这时就必须有 从而表现了量子力学向经典力学的过渡 事 实上不确定关系表明 对于微观物理学 不 可能像在经典物理学中那样 也建立一种误 差修正理论 忽略或是用补偿法进行修正实 验对象或者说微观客体与测量仪器之间的 相互作用 这种相互作用成了现象的不可分 割的部分 任何量子力学测量的结果告诉我 们的并不是客体本身的态 而是客体所处的 整体实验情态 0 h 3 8 8 量子力学与相对论的共同之 处 属性成了关系 量子力学与相对论的共同之 处 属性成了关系 相对论坚持因果律和连续性 而量子力 学的哥本哈根解释则注重统计解释和不确 定关系 两者在本质上有着很大的矛盾 然 而 从某个角度来说 它们又有着共同之处 在狭义相对论中 我们知道物体运动尺 度缩短也是时空的基本属性 与物体内部结 构无关 在上观察固定于上的物体长 度缩短了 长度缩短效应是相对的 同样在 上观察上的物体长度也是缩短的 运 动长度l与静止长度之间存在关系式 0 l 2 2 0 c v ll 1 同样 既然在量子力学中观察会对被观 察客体产生干扰 那么用不同的实验装置对 同一粒子进行观察所得到的结果应是不同 的 量子力学中的基本问题不再是 1 系 统具有物理量的某一值的几率 是多少 而是 2 基于实验装置 SF n f n a A对系统 中的物理量进行测量 得到的结果为 的几率是多少 简而言之 就是系统的状态 就不仅仅取决于 还与 S F n f SA有关 对于一个 系统状态的描述 表示的是粒子和全部涉及 到的测量仪器间的一种关系 在这一点上 比较相对论与量子力学 就会发现它们存在着共同之处 相对论中 在不同参考系里对同一物理量进行测量会 得到不同的结果 在量子力学中 不同的实 验装置也会对测量结果产生影响 因为不同 的实验装置决定了什么是可以测量的量 这 样 类似于 长度 面积 等这些在牛顿 物理中被视为物质客观属性的物理量在狭 义相对论中都成了关系 必须要说明是在参 照哪一惯性系才能正确地说明它们具有怎 样的值 同样 在量子力学中 也必须指明 是通过怎样的实验装置对粒子的坐标和动 量进行测量才有意义 9 9 量子力学与经典力学的比较 量子力学与经典力学的比较 通过对一维方形势阱的探讨 我们会对 微观粒子的波粒二象性有更加深刻的体会 设质量为m的粒子在宽度为 2a的一维对称 方形势阱中运动 4 一维方形势阱 势能是 0 0 U xU ax ax 当 当 解 定态薛定谔方程为 ExU m 2 2 h 1 在图中所示的三个区域里分别为 0 2 0 2 0 2 3 2 3 20 2 2 1 2 1 h h h mE UE m mE 2 1 0 UE 2 0 2 0 2 2hhUEmUEmk 22 2 2hhEmmE 从而保证 k 均为正实数 方程 2 可写为 0 0 0 3 2 3 2 2 2 1 2 1 k 3 其解可写为以下形式 xx kxkx xx eCCe eBBe eAAe 3 2 1 4 根据波函数的标准条件 即波函数在它的变 量变化的全部区域内是单值 连续 有限的 由波函数的有限性 必须保证 x时 3 有限 x eCC 3 0 ax ax x时 1 有限 x AeA 1 0 在ax 处 波函数及其一阶导数的连续 性条件是 5 这是待定系数A B B C的线性其次 方程组 其中的变量数等于方程数 均为 4 它有非零解的条件是系数行列式为零 即 0 0 0 0 0 akaka akaka kakaa kakaa ekeke eee kekee eee 6 由关于行列式的 Laplace 展开定理 6 式 可分解为 kaa kaa kee ee aka aka eke ee kaa kaa kee ee aka aka eke ee 0 222 222 akak ekek 0 0 2 2 akak ee Q k k k 0 0 22 22 必有 7 但是 k 均为正实数 所以不存在 k 的解 即不存在的解 0 UE 2 0 UE 0 k 22 0 22 hh mEmU 为正实数 方程 2 可写为 0 0 0 3 2 3 2 1 2 1 8 由 1 中的讨论 其解可写为以下形式 x x eC BBx Ae 3 2 1 9 在ax 处 波函数及其一阶导数的连续 性条件是 10 11 12 13 由 11 和 13 式 得 14 CA 若 A 0 则 B 0 0 B 0 C 从而0 x 0 A 由 10 11 式 得 B B a 1 15 由 12 13 式 得 B B a 1 16 由 15 16 式 得a 1 17 由于 a 均为正实数 所以 17 式不成 立 因此 不存在 0 UE 的解 3 0 0 EU 2 0 2hUEmk 22 2 2hhEmmE k 均为正实数 方程 2 可写为 0 0 0 3 2 3 2 2 2 1 2 1 k 18 ax ax kakaa kakaa kakaa kakaa eBkkBeeC eBBeeC eBkkBeAe eBBeAe ax ax ax ax ax B BBaC eC e BAe Ba e a a a BAe 由 1 中的讨论 其解可写成以下形式 x x eC kxBkxB Ae 3 2 1 sincos 19 tr v 在ax 处 波函数及其一阶导数的连续 性条件是 20 20 是待定系数A B B C 的线性 其次方程组 要使它有非零解 则必须系数行 列式为零 即 0 cossin0 sincos0 0cossin 0sincos a a a a ekakkak ekaka kakkake kakae 21 由关于行列式的 Laplace 展开定理 6 式 可分解为 kake kae a a sin cos a a ekak eka cos sin kake kae a a cos sin a a ekak eka sin cos 0 sincos sincos 2 kakkakakake a 0 a e 必有Q kakkakcottan或得 22 这就是方程 21 有非零解的条件 它决定 了方形势阱中的束缚态能量只能取分立值 因为k和 是与粒子能量有关的 因而 22 式表明 能量只能取某些特定值 微观粒子 处于束缚态时 能量只能取分立值 称为能 量量子化 可以看出 量子力学中的能量量 子化是通过标准化的波函数满足外部约束 条件而自然得到的 本来 波函数的标准化 条件只要求 有限 但由于势阱的约 束 使得 x时0 tr v 正是这 一约束使能量只能取分立值 将 22 式代回到 19 式 得到相应的束 缚态波函数为 x a x Ae kxkaAe Ae cos sec ax ax ax 23 或 x a x Ae kxkaAe Ae sin csc ax ax ax 24 4 0 E 0 2 0 2hmUk 为正实数 方程 2 可写为 0 0 0 3 2 2 2 1 k 25 由 1 中的讨论 将0 代入 其解可写为以下形式 C kxBkxB A 3 2 1 sincos 26 在ax 处 波函数及其一阶导数的连续 性条件是 kaBkkakB kaBkaBC kaBkkakB kaBkaBA cossin0 sincos cossin0 sincos 27 同样 28 式为待定系数A B B C 的线性其次方程组 要使它有非零解 则必须 系数行列式为零 即 ax ax kQ 02sin ka必有 即 nka 2 29 321 n 将 2 0 2hmUk 代 入 29 式 得 na mU 2 0 2 2 h 30 只有当满足 30 式时 才存 在的解 0 Uma 0 E 5 0 E 2 0 2hUEmk 2 2hmE k 均为正实数 方程 2 可写为 0 0 0 3 2 3 2 2 2 1 2 1 k 31 其解可写为以下形式 xCxC kxBkxB xAxA sincos sincos sincos 3 2 1 在ax 处 波函数及其一阶导数的连续 性条件是 32 上式为待定系数A B B C的线性其 次方程组 要使它有非零解 则必须系数行列 显然其系数矩阵的秩 式为零 即 为齐 从而方程组有 nnrAR 次线性方程组的未知数个数 无限多个解 粒子处于自由态 且能量E为 连续谱 而在经典情形下 粒子在势阱中作往返 运动 阱外 5 1 在方势0 v 0 v 2 在方势阱内 ax 0 000 vvxvtx 当ax 时 有 tva 0 0 v a t 2 返回时ax 0 v a t 0 vv ax v a v