【志鸿全优设计】高中数学 3.1不等关系与不等式(第2课时)目标导学 新人教A版必修5.doc

第2课时不等式的性质1掌握不等式的性质及各自成立的条件2能利用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式1关于实数大小的比较(1)事实：如果ab是_数，那么ab；如果ab等于_，那么ab；如果ab是_数，那么ab0，反过来也成立(2)符号表示：ab0_；ab0_；ab0_.(3)说明：“”表示“等价于”，即“”两边可以互相推出(4)作用：比较_大小或证明不等式【做一做1】 已知xr，则x22与2的大小关系是()ax222 bx222cx222 dx2222不等式的性质(1)对称性文字语言不等式两边互换后，再将不等号改变方向，所得不等式与原不等式等价符号语言ab_作用写出与原不等式等价且异向的不等式证明：ab，ab0.由正数的相反数是负数，得(ab)0.即ba0，ba.同理可证，如果ba，那么ab.【做一做21】 与m(n2)2等价的是()am(n2)2 b(n2)2mc(n2)2m d(n2)2m(2)传递性文字语言如果第一个量大于第二个量，第二个量大于第三个量，那么第一个量大于第三个量符号语言ab，bc_变形ab，bcac；ab，bcac；ab，bcac作用比较大小或证明不等式该性质不能逆推，如acab，bc.此性质可推广为a1a2，a2a3，a3a4，an1ana1an.此性质说明不等式具有传递性，它是不等关系传递的基础【做一做22】 已知alog32，blog2，则有()aab babcab dab(3)可加性文字语言不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式_符号语言abac_变形abacbcabacbcabacbc作用不等式的移项，等价变形证明：(ac)(bc)ab0，acbc.本性质可以逆推，可推广为abacbc.【做一做23】 不等式x2x3可变为()ax23x bx2x30cx2x30 dx2x30(4)加法文字语言两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式_符号符言ab，cdacbd变形ab，cdacbdab，cdacbdab，cdacbd作用由已知同向不等式推出其他不等式证明：acbd.此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向两个同向不等式只能两边同时分别相加，而不能两边同时分别相减该性质不能逆推，如acbdab，cd.【做一做24】 已知ab，则有()aa1b2 ba1b2ca1b2 da1b2(5)可乘性文字语言不等式的两边都乘以正数时，不等号的方向_；都乘以负数时，不等号的方向一定要_符号语言ab，c0_ab，c0_变形ab，c0acbcab，c0acbcab，c0acbcab，c0acbcab，c0acbcab，c0acbc作用不等式的同解变形证明：acbc(ab)c.ab，ab0.根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当c0时，(ab)c0，即acbc；当c0时，(ab)c0，即acbc.该性质不能逆推，如acbcab.acbcab，c0或ab，c0.不等式两边仅能同乘以(或除以)一个符号确定的非零实数【做一做25】 已知ab，则()a3a3b b2a2bcab d11a11b(6)乘法文字语言两边都是正数的两个同向不等式相乘，所得的不等式与原不等式_符号语言ab0，cd0acbd作用两个不等式相乘的变形证明：ab0，c0，acbc.cd0，b0，bcbd.acbd.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向ab0，cd0acbd；ab0，cd0acbd.该性质不能逆推，如acbdab，cd.【做一做26】 已知ab0，则有()a3a2b b3a2bc3a2b d3a与2b大小不确定(7)乘方文字语言当不等式的两边都是_时，不等式两边同时乘方所得的不等式与原不等式_符号语言ab0_(nn，且n2)作用不等式两边的乘方变形【做一做27】 已知mn0，则下列不等式不成立的是()am2n2 bm3n3cm4n4 dm2n2(8)开方文字语言当不等式的两边都是正数时，不等式两边开方所得的不等式与原不等式_符号语言ab0_(nn且n2)作用不等式两边的开方变形【做一做28】 已知mn0，则下列不等式不成立的是()a. b.c. d.答案：1(1)正零负(2)ababab(4)两个代数式【做一做1】 b2(1)ba【做一做21】 c(2)ac【做一做22】 c(3)同向bc【做一做23】 d(4)同向【做一做24】 a(5)不变改变acbcacbc【做一做25】 a(6)同向【做一做26】 c(7)正数同向anbn【做一做27】 d(8)同向【做一做28】 d不等式变形应注意的问题剖析：(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如ab，bcac.(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”例如当c0时，有abac2bc2；若无c0这个条件，则abac2bc2就是错误结论(因为当c0时，取“”)(3)“ab0anbn0(nn，n1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，且ab0”假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n1，a3，b2，那么就会出现3121，即的错误结论；假如去掉“b0”这个条件，取a3，b4，n2，那么就会出现32(4)2的错误结论(4)以后经常用到“不等式取倒数”的性质：ab，ab0，应在会证明的基础上理解记忆题型一 比较大小【例题1】 比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x23与3x；(2)已知a，b为正数，且ab，比较a3b3与a2bab2的大小分析：我们知道，ab0ab，ab0ab，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可反思：比较两个代数式大小的步骤：(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论这种比较大小的方法通常称为作差比较法其思维过程：作差变形判断符号结论，其中变形是判断符号的前提题型二 证明不等式【例题2】 已知ab0，dc0，求证：.分析：转化为证明0.反思：证明不等式成立的策略是转化为比较不等式两边的大小，即作差比较法，只需判断两边差的符号即可题型三 易错辨析【例题3】 已知，bcad，求证：ab0.错解：由得，所以，所以ab0.因为，所以，所以0.所以ab0.错因分析：推理过程中有两次错误：第一，两个同向不等式相乘，忽略了均大于0才可相乘这一条件；第二，由得时，应满足0，但本题没有这一条件反思：由于同向不等式可以相加，所以就认为同向不等式也可相乘，这样就忽略了相乘的前提：不等式两边都是正数，从而导致错误答案：【例题1】 解：(1)(x23)3xx23x320，x233x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，a0，b0，且ab，(ab)20，ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.【例题2】 证明：.ab0，dc0，adbc，cd0，即adbc0，cd0.0，即.【例题3】 正解：由得所以所以ab0.1设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()aa2b2 bab2a2bc. d.2若ab与同时成立，则有()aab0 ba0bc. d.03比较以下两组数的大小(1)2与4；(2)与.4已知f(x)3x2x1，g