考点06 基本初等函数(幂函数、二次函数)-2016届高三数学(理)33个黄金考点总动员(原卷版).pdf

Go the distance 考点考点 6 6 基本初等函数 指数函数 对数函数 幂函数 二次函数 基本初等函数 指数函数 对数函数 幂函数 二次函数 考点剖析 考点剖析 1 1 最新考试说明 最新考试说明 1 理解指数幂的概念 理解指数函数的单调性 会解决与指数函数性质有关的问题 2 理解对数的概念及其运算性质 会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数 了解对数在简化 运算中的作用 3 理解对数函数的概念 能解决与对数函数性质有关的问题 4 结合函数y x y x 2 y x3 y x 1 2 1 y x 的图象 了解它们的变化情况 2 2 命题方向预测 命题方向预测 1 指数函数的概念 图象与性质是近几年高考的热点 2 通过具体问题考查指数函数的图象与性质 或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点 也 是难点 同时考查分类讨论思想和数形结合思想 3 高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象 性质的综合应用 同时考查分类讨论 数形结合 函数与方程思想 4 关于幂函数常以 5 种幂函数为载体 考查幂函数的概念 图象与性质 多以小题形式出现 属容易题 5 二次函数的图象及性质是近几年高考的热点 用三个 二次 间的联系解决问题是重点 也是难点 6 题型以选择题和填空题为主 若与其他知识点交汇 则以解答题的形式出现 1 1 课本结论总结 课本结论总结 指数与指数函数 1 分数指数幂 1 规定 正数的正分数指数幂的意义是a m nm n a a 0 m n N N 且 n 1 正数的负分数指数幂的意 义是 1 a m n nm a a 0 m n N N 且 n 1 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 2 有理指数幂的运算性质 a ras ar s ar s ars ab r arbr 其中 a 0 b 0 r s Q Q 2 指数函数的图象与性质 Go the distance 对数与对数函数 1 对数的概念 如果a x N a 0且a 1 那么数x叫做以a为底N的对数 记作x log aN 其中 a 叫做对数的底数 N 叫做真数 2 对数的性质与运算法则 1 对数的运算法则 如果a 0 且a 1 M 0 N 0 那么 loga MN logaM logaN loga M N logaM logaN logaM n nlog aM n R R logamM n n m logaM 2 对数的性质 alogaN N logaa N N a 0 且 a 1 3 对数的重要公式 换底公式 logbN a a log N log b a b均大于零且不等于 1 logab 1 b log a 推广 logab logbc logcd logad 3 对数函数的图象与性质 Go the distance 二次函数与幂函数 1 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x ax 2 bx c a 0 顶点式 f x a x m 2 n a 0 零点式 f x a x x1 x x2 a 0 2 二次函数的图象和性质 解析式 f x ax 2 bx c a 0 f x ax 2 bx c a 2x得x 1 5 01a x ya 单调递减 由于 12 yy 得 3x 1 2x解得x 1 5 经典理由 根据 a 的取值进行分类讨论 3 新课标 A 版第 72 页 例 8 比较下列各组数中两个数的大小 1 log 2 3 4 与 log 2 8 5 2 log 0 3 1 8 与 log 0 3 2 7 3 log a 5 1 与 log a 5 9 0a 且1a 来源 Z xx k Com 解 1 y log 2 x 在 0 上是增函数且 3 4 8 5 log 2 3 4 log 2 8 5 2 y log 0 3 x 在 0 上是减函数且 1 8 2 7 log 0 3 1 8 log 0 3 2 7 3 解 当1a 时 y log a x在 0 上是增函数且 5 1 5 9 log a 5 1 log a 5 9 当 0 a 1 时 y log a x在 0 上是减函数且 5 1 5 9 log a 5 1 log a 5 9 经典理由 以对数函数为载体 考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用 4 新课标 A 版第 822 页 A 组第 10 题 已知幂函数 yf x 的图象过点 2 2 2 试求出此函数的解析式 并作出图像 判断奇偶性 单调 性 分析 根据幂函数的概念设 n f xx 将点的坐标代入即可求得 n 值 从而求得函数解析式 要判断函 数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性 判断函数图象在 0 的单调性 进 Go the distance 而画出函数的图象 解析 设 n f xx 因为幂函数 yf x 的图象过点 2 2 2 21 2 22 n n 这个函数解析式为 1 2 yx 定义域为 0 它不关于原点对称 所以 y f x 是非奇非偶函数 当x 0 时 f x 是单调减函数 函数的图象如图 经典理由 本题通过待定系数法求幂函数解析式 解指数方程的解法 奇 偶 函数性 幂函数图象考 查学生对幂函数有关知识的掌握程度和对知识的综合应用能力 6 6 考点交汇展示 考点交汇展示 1 1 基本初等函数与集合交汇基本初等函数与集合交汇 例 1 河北省 五个一名校联盟 2015 高三教学质量监测 一 1 设集合 023A 2 xxx 822B x x 则 A A B B A B C A B D A B 例 2 设集合 032 2 xxxM 1log 2 xxN 则MN 等于 A 31 xx B 21 xx C 10 xx D 20 xx 2 2 基本初等函数与基本不等式交汇基本初等函数与基本不等式交汇 例 1 成都石室中学 2014 届高三上期 一诊 模拟考试 一 已知二次函数 R 4 2 xcxaxxf 的值域为 0 则 ac 91 的最小值为 考点分类考点分类 热点热点 1 1 指数函数 对数函数指数函数 对数函数 1 2015 高考四川 理 8 设 a b 都是不等于 1 的正数 则 333 ab 是 log 3log 3 ab 的 A 充要条件 B 充分不必要条件 Go the distance C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 2 设0 1aa 且 函数 1 log 1 a x f x x 在 1 单调递减 则 f x A 在 1 上单调递减 在 1 1 上单调递增 B 在 1 上单调递增 在 1 1 上单调递减 C 在 1 上单调递增 在 1 1 上单调递增 D 在 1 上单调递减 在 1 1 上单调递减 3 2014 辽宁高考理第 3 题 已知 1 3 2a 21 2 11 log log 33 bc 则 A abc B acb C cab D cba 4 下列函数中 在 0 内单调递减 并且是偶函数的是 A 2 yx B 1yx C lg yx D 2xy 方法规律 1 求解与指数函数有关的复合函数问题 首先要熟知指数函数的定义域 值域 单调性等相关性质 其次 要明确复合函数的构成 涉及值域 单调区间 最值等问题时 都要借助 同增异减 这一性质分析判断 最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决 2 对数式的化简与求值的常用思路 1 先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使 幂的底数最简 然后正用对数运算法则化简合并 2 先将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算法则 转化为同底对数真数的积 商 幂再运算 3 比较对数值大小时若底数相同 构造相应的对数函数 利用单调性求解 若底数不同 可以找中间量 也可以用换底公式化成同底的对数再比较 4 利用对数函数的性质 求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题 必须弄清三方面的问题 一 是定义域 所有问题都必须在定义域内讨论 二是底数与 1 的大小关系 三是复合函数的构成 即它是由 哪些基本初等函数复合而成的 解题技巧 1 图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断 2 指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数 3 判断指数函数图象上底数大小的问题 可以先通过令 x 1 得到底数的值再进行比较 4 指数函数 y a x a 0 a 1 的性质和 a 的取值有关 一定要分清 a 1 与 0 a0 的解集为 答案 x 2 x 3 解析 函数y lg x 2 2x 3 有最小值 f x alg x2 2x 3 有最大值 0 a 1 由 loga x 2 5x 7 0 得 0 x2 5x 7 1 解得 2 x 3 不等式 loga x 2 5x 7 0 的解集为 x 2 x 3 易错点 指数函数和对数函数中 注意讨论底数 a 的大小 复合函数的单调性往往也和 a 的取值有关 热点热点 2 2 幂函数 二次函数幂函数 二次函数 1 2015 高考天津 理 8 已知函数 2 2 2 2 2 xx f x xx 函数 2g xbfx 其中bR 若函数 yf xg x 恰有 4 个零点 则b的取值范围是 A 7 4 B 7 4 C 7 0 4 D 7 2 4 Go the distance 2 2014 高考江苏卷第 10 题 已知函数 2 1f xxmx 若对于任意的 1xm m 都有 0f x 则实数m的取值范围为 3 2014 浙江高考理第 15 题 设函数 0 0 2 2 xx xxx xf若 2 aff 则实数a的取值范围是 4 2014 高考上海理科第 9 题 若 2 1 3 2 xxxf 则满足0 xf的x取值范围是 方法规律 1 二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向 对称轴位置 闭区间三个要素有关 2 常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解 在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值 二次 函数 二次方程 二次不等式之间可以相互转化 一般规律 1 在研究一元二次方程根的分布问题时 常借 助于二次函数的图象数形结合来解 一般从 开口方向 对称轴位置 判别式 端点函数值符号四 个方面分析 2 在研究一元二次不等式的有关问题时 一般需借助于二次函数的图象 性质求解 3 幂函数y x 的图象与性质由于 的值不同而比较复杂 一般从两个方面考查 1 的正负 0 时 图象过原点和 1 1 在第一象限的图象上升 1 时 曲线下凸 0 1 时 曲线上凸 0 时 图象过原点和 1 1 在第一象限的图象上升 0 时 图象不过原点 在第一象限的图象下 降 反之也成立 解题技巧 2 做二次函数类型题是注意数形结合的应用 画出函数的草图能帮助我们理清思路 3 二次函数中如果含有参数 往往要进行分类讨论 3 对于函数y ax 2 bx c 要认为它是二次函数 就必须满足 a 0 当题目条件中未说明a 0 时 就要 讨论a 0 和a 0 两种情况 4 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内 如果幂函数图象与坐标轴相交 则交 Go the distance 点一定是原点 易错点睛 1 注意幂函数与指数函数的联系与区别 2 幂函数的增减与 的关系 3 对于函数y ax 2 bx c 要认为它是二次函数 就必须满足 a 0 当题目条件中未说明a 0 时 就要 讨论a 0 和a 0 两种情况 例 如图是函数 m n yx m n N N m n 互质 的图象 则下列判断正确的是 m n是奇数 且 m n 1 m是偶数 n是奇数且 m n 1 m是偶数 n是奇数且 m n 1 m是奇数 n是偶数且 m n 1 解析 将分数指数式化为根式y nm x 由定义域为R R 值域为 0 知n为奇数 m为偶数 又由幂函 数y x 当 1 时 图象在第一象限的部分下凸 当 0 1 时 图象在第一象限的部分上凸 故 正确 答案 易错点 幂函数的单调性和 a 有关 注意 a 与 0 和 1 的比较 热点预测热点预测 1 函数 12 22 2 1 mmxx xf的单调增区间与值域相同 则实数m的取值为 A 2 B 2 C 1 D 1 2 函数 1 30 1 x f xaaa 且的图象过一个定点 P 且点 P 在直线 100 0mxnymn 上 则 14 mn 的最小值是 A 12 B 13 C 24 D 25 3 已知函数 0 1 0 2 2 xxf xaxx xf 且函数xxfy 恰有 3 个不同的零点 则实数a的取值范 围是 Go the distance A 0 B 0 1 C 1 D 2 4 已知函数的值域是 则实数的取值范围是 A B C D 5 已知函数是定义在实数集上的以 2 为周期的偶函数 当时 若直线 与函数的图像在内恰有两个不同的公共点 则实数的值是 A 或 B 0 C 0 或 D 0 或 6 河南省安阳一中 2015 届高三第一次月考 设函数 3 2 log x f xa x 在区间 1 2 内有零点 则实数a的 取值范围是 A 3 1 log 2 B 3 0 log 2 C 3 log 2 1 D 3 1 log 4 7 北京市重点中学 2015 届高三 8 月开学测试 函数 1 2 2 log1 x f xx 的零点个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 2014 天津高考