【能力培优】八年级数学上册 12.3 乘法公式专题训练 （新版）华东师大版.doc

12.3 乘法公式专题一 与乘法公式有关的规律探究题1. 观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1（1）你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+x2+x+1）=_； （2）根据（1）求出：1+2+22+262+263的结果.2.观察下面各式规律：12+（12）2+22=（12+1）2；22+（23）2+32=（23+1）2；32+（34）2+42=（34+1）2写出第n个的式子，并证明你的结论专题二 与平方差公式有关的图形问题3. 如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：（x+y）2=x2+2xy+y2若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空（1）图2中大正方形的面积为_；（2）图2中两个梯形的面积分别为_；（3）根据（1）和（2），你得到的一个数学公式为_4. 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形（1）图2中的阴影部分的面积为_；（2）观察图2，三个代数式（m+n)2，（m-n)2，mn之间的等量关系是_若x+y=-6，xy=2.75，则x-y=_(4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢?（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.专题三 平方差公式的逆运用5.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？ 状元笔记【知识要点】1. 平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2用语言叙述为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差1. 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2 -2ab+b2.语言叙述为：两数和（或差）的平方，【方法技巧】平方差公式常用的几种变化形式：(1)位置变化：(b+a)(-b+a）=(a+b)(a-b）=a2 -b2；(2)符号变化：（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-(a2-b2)；(3)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2；（4）指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4（5）增项变化：（a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2,完全平方公式常有以下几种变化形式：(l)a2+b2=(a+b)2-2ab;(2)a2+b2=(a-b)2+2ab；(3)2ab=(a+b)2-(a2+b2);(4)2ab=(a2+b2)-(a-b)2；(5)(a+b)2=(a-b)2+4ab；（6）(a-b)2-(a+b)2=4ab.参考答案1. 解：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+x2+x+1）=xn-1；原式=（2-1）（263+262+22+2+1）=264-12. 解：第n个式子：n2+n（n+1）2+（n+1）2=n（n+1）+12.证明：因为左边=n2+n（n+1）2+（n+1）2=n2+（n2+n）2+（n+1）2=（n2+n）2+2n2+2n+1=（n2+n）2+2（n2+n）+1=（n2+n+1）2，而右边=（n2+n+1）2，所以，左边=右边，等式成立3. 解：（1）图中大正方形的面积为x2；（2）两个梯形的面积分别为（x+y）（x-y）；（3）x2-y2=2（x+y）（x-y）；即x2-y2=（x+y）（x-y）4. 解：（1）（m-n）2 （2）（m-n）2+4mn=（m+n）2 （3）5 （4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2 （5）答案不唯一，例如：5. 解：（1）28=214=（8-6）（8+6）=82-62；2012=4503=5042-5022，所以28和2012是神秘数（2）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+