高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第二节 空间几何体的表面积和体积课件 文.ppt

第二节空间几何体的表面积和体积 总纲目录 教材研读 1 圆柱 圆锥 圆台的侧面展开图及侧面积公式 考点突破 2 空间几何体的表面积与体积公式 考点二空间几何体的体积 考点一空间几何体的表面积 考点三与球有关的切 接问题 1 圆柱 圆锥 圆台的侧面展开图及侧面积公式 教材研读 2 空间几何体的表面积与体积公式 几个与球切 接有关的结论 1 正方体的棱长为a 球的半径为r 若球为正方体的外接球 则2r a 若球为正方体的内切球 则2r a 若球与正方体的各棱相切 则2r a 2 长方体的共顶点的三条棱长分别为a b c 外接球的半径为r 则2r 3 正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 1 1 将一个相邻边长分别为4 8 的矩形卷成一个圆柱 则这个圆柱的表面积是 a 40 2b 64 2c 32 2或64 2d 32 2 8 或32 2 32 d 答案d当底面周长为4 时 底面圆的半径为2 两个底面的面积之和是8 当底面周长为8 时 底面圆的半径为4 两个底面的面积之和为32 无论哪种方式 侧面积都是矩形的面积32 2 故所求的表面积是32 2 8 或32 2 32 2 一个球的表面积是16 那么这个球的体积为 a b c 16 d 24 b 答案b设球的半径为r 则由4 r2 16 解得r 2 所以这个球的体积为 r3 3 已知圆锥的表面积等于12 cm2 其侧面展开图是一个半圆 则底面圆的半径为 a 1cmb 2cmc 3cmd cm b 答案b设圆锥的底面半径为r 母线长为l 由题意可知l 2r s r2 rl r2 r 2r 3 r2 12 cm2 r 2 cm 4 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 a 6b 3c 2d 3 答案b由三视图可知 该几何体是一个直三棱柱 其底面为侧视图 该侧视图是底边为2 高为的三角形 正视图的长为三棱柱的高 故h 3 所以几何体的体积v s h 3 3 b 5 一个六棱锥的体积为2 其底面是边长为2的正六边形 侧棱长都相等 则该六棱锥的侧面积为 12 答案12 解析设六棱锥的高为h 斜高为h0 因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形 所以底面面积为 2 2 sin60 6 6 则 6h 2 得h 1 所以h0 2 所以该六棱锥的侧面积为 2 2 6 12 6 已知一个四棱锥的底面是平行四边形 该四棱锥的三视图如图所示 单位 m 则该四棱锥的体积为m3 2 答案2 解析四棱锥的底面是平行四边形 由三视图可知其面积为2 1 2m2 四棱锥的高为3m 所以四棱锥的体积v 2 3 2m3 典例1 1 一个多面体的三视图如图所示 则该多面体的表面积为 a 21 b 18 c 21d 18 考点一空间几何体的表面积 考点突破 2 2018安徽合肥质检 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 答案 1 a 2 26 解析 1 根据题意作出直观图如图 该多面体是由正方体切去两个角而得到的 根据三视图可知其表面积为6 2 2 6 21 故选a 2 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分 长方体的长 宽 高分别为4 1 2 挖去半圆柱的底面半径为1 高为1 所以表面积为s s长方体 2s半圆柱底 s圆柱轴截面 s半圆柱侧 2 4 1 2 1 2 2 4 2 12 2 1 2 1 26 方法技巧空间几何体表面积的求法 1 表面积是各个面的面积之和 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱剪开展成平面图形 利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手 将其展开后求表面积 但要弄清它们的底面半径 母线长与对应侧面展开图中的边长关系 2 求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱 锥 台体 先求出这些基本的柱 锥 台体的表面积 再通过求和或作差 求出不规则几何体的表面积 1 1某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积等于 a 8 2b 11 2c 14 2d 15 b 答案b由三视图知 该几何体是一个直四棱柱 上 下底面为直角梯形 如图所示 直角梯形斜腰长为 所以底面周长为4 侧面积为2 4 8 2 两底面的面积和为2 1 1 2 3 所以该几何体的表面积为8 2 3 11 2 1 2 2017山西太原模拟 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 a 6 1b 1c d 1 d 答案d由几何体的三视图知 该几何体为一个组合体 其中下部是底面直径为2 高为2的圆柱 上部是底面直径为2 高为1的圆锥的四分之一 所以该几何体的表面积为4 1 1 故选d 考点二空间几何体的体积 典例2 1 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积 单位 cm3 是 a 1b 3c 1d 3 命题方向一公式法求体积 2 某四棱柱的三视图如图所示 则该四棱柱的体积为 解析 1 由三视图可知该几何体是由底面半径为1cm 高为3cm的半个圆锥和三棱锥s abc组成的 如图 三棱锥的高为3cm 底面 abc中 ab 2cm oc 1cm ab oc 故其体积v 12 3 2 1 3 cm3 故选a 答案 1 a 2 典例3 1 2017课标全国 6 5分 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某几何体的三视图 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 则该几何体的体积为 a 90 b 63 c 42 d 36 命题方向二割补法求体积 2 如图所示 在多面体abcdef中 已知abcd是边长为1的正方形 且 ade bcf均为正三角形 ef ab ef 2 则该多面体的体积为 a b c d 答案 1 b 2 a 解析 1 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6 高为14的圆柱 所以该几何体的体积v 32 14 63 故选b 2 解法一 如图所示 分别过a b作ef的垂线 垂足分别为g h 连接dg ch 则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱 易知三棱锥的高为 直三棱柱的高为1 ag 典例4如图所示 已知三棱柱abc a1b1c1的所有棱长均为1 且aa1 底面abc 则三棱锥b1 abc1的体积为 a b c d 命题方向三等体积法求体积 a 答案a 解析三棱锥b1 abc1的体积等于三棱锥a b1bc1的体积 三棱锥a b1bc1的高为 底面积为 故其体积为 方法技巧求空间几何体的体积的常用方法 1 公式法 对于规则几何体的体积问题 可以直接利用公式进行求解 2 割补法 把不规则的图形分割成规则的图形 然后进行体积计算 或者把不规则的几何体补成规则的几何体 不熟悉的几何体补成熟悉的几何体 便于计算其体积 3 等体积法 一个几何体无论怎样转化 其体积总是不变的 如果一个几何体的底面面积和高较难求解时 我们可以采用等体积法进行求解 等体积法也称等积转化或等积变形 它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法 多用来解决有关锥体的体积 特别是三棱锥的体积 2 1 2017山东 13 5分 由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下图 则该几何体的体积为 解析由几何体的三视图可画出该几何体的直观图如下 该几何体的体积v 2 1 1 1 2 答案2 2 2如图 abc中 ab 8 bc 10 ac 6 db 平面abc 且ae fc bd bd 3 fc 4 ae 5 则此几何体的体积为 5 96 解析解法一 如图 取cm an bd 连接dm mn dn 用 分割法 把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥 所以v几何体 v三棱柱 v四棱锥 由题知三棱柱abc ndm的体积为v1 8 6 3 72 四棱锥d mnef的体积为v2 s梯形mnef dn 1 2 6 8 24 答案96 则几何体的体积为v v1 v2 72 24 96 解法二 用 补形法 把原几何体补成一个直三棱柱 使aa bb cc 8 所以v几何体 v三棱柱 s abc aa 24 8 96 考点三与球有关的切 接问题 典例5 1 已知直三棱柱abc a1b1c1的6个顶点都在球o的球面上 若ab 3 ac 4 ab ac aa1 12 则球o的半径为 a b 2c d 3 2 2017课标全国 15 5分 长方体的长 宽 高分别为3 2 1 其顶点都在球o的球面上 则球o的表面积为 3 如图 在圆柱o1o2内有一个球o 该球与圆柱的上 下底面及母线均相切 记圆柱o1o2的体积为v1 球o的体积为v2 则的值是 命题方向一柱体的外接 内切球问题 答案 1 c 2 14 3 解析 1 如图所示 由球心作平面abc的垂线 垂足为bc的中点m 连接oa am 又am bc om aa1 6 所以球o的半径r oa 2 由题意知长方体的体对角线为球o的直径 设球o的半径为r 则 2r 2 32 22 12 14 得r2 所以球o的表面积为4 r2 14 3 设圆柱内切球的半径为r 则由题设可得圆柱o1o2的底面圆的半径为r 高为2r 典例6 1 正四棱锥的顶点都在同一球面上 若该棱锥的高为4 底面边长为2 则该球的表面积为 a b 16 c 9 d 2 若一个正四面体的表面积为s1 其内切球的表面积为s2 则 3 2017课标全国 16 5分 已知三棱锥s abc的所有顶点都在球o的球面上 sc是球o的直径 若平面sca 平面scb sa ac sb bc 三棱锥s abc的体积为9 则球o的表面积为 命题方向二锥体的外接 内切球问题 答案 1 a 2 3 36 解析 1 如图所示 设球的半径为r 正四棱锥的底面中心为o 球心为o 由题意得ao po 4 oo 4 r 在rt aoo 中 ao2 ao 2 oo 2 r2 2 4 r 2 解得r 该球的表面积为4 r2 4 2 设正四面体内切球的半径为r 正四面体的棱长为a 则正四面体的表面积s1 4 a2 a2 其内切球的半径为正四面体高的 即r a a 因此内切球的表面积s2 4 r2 则 3 由题意作出图形 如图 规律总结解决球与其他几何体的切 接问题 1 关键在于仔细观察 分析 弄清相关元素的位置关系和数量关系 2 选准最佳角度作出截面 要使这个截面尽可能多地包含球 几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系 达到空间问题平面化的目的 3 几种球与正方体组合的截面 3 1 2017课标全国 9 5分 已知圆柱的高为1 它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上 则该圆柱的体积为 a b c d b 答案b设圆柱的底面圆半径为r 由题意可得12 2r 2 22 解得r 圆柱的体积v r2 1 故选b 3 2正四棱锥p abcd的侧棱和底面边长都等于2 则它的外接球的表面积是 a 16 b 12 c 8 d 4 a 答案a设正四