广东省粤西“四校”高三数学上学期第一次联考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省粤西“四校”高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=1，2， ，集合b=y|y=x2，xa，则ab=（）ab2c1d2在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（）abcd3下列命题中的假命题是（）axr，log2x=0bxr，x20cxr，tanx=0dxr，3x04若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）a4b5c6d75已知，则下列不等式一定成立的是（）abcln（ab）0d3ab16下列函数既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是（）af（x）=sinxbf（x）=lncf（x）=|x+1|df（x）=7已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）abcd8已知点q（5，4），若动点p（x，y）满足，则pq的最小值为（）abc5d以上都不对9已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）abc或d或710某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）a5b4c3d211定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的函数f（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）a3a1b13ac3a1d13a12已知f（x）=，g（x）=（kn*），对任意的c1，存在实数a，b满足0abc，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）a2b3c4d5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13在等比数列an中，a1=8，a4=a3a5，则a7=14设a=37+c7235+c7433+c763，b=c7136+c7334+c7532+1，则ab=15已知矩形 a bcd的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为16设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17在abc中，角a，b，c的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2（）求角a的大小；（）已知等差数列an的公差不为零，若a1cosa=1，且a2，a4，a8成等比数列，求的前n项和sn18某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在80，90）的学生个数，求的分布列及其数学期望19在三棱柱abca1b1c1中，侧面abb1a1为矩形，ab=2，aa1=2，d是aa1的中点，bd与ab1交于点o，且coabb1a1平面（1）证明：bcab1；（2）若oc=oa，求直线cd与平面abc所成角的正弦值20在平面直角坐标系中，已知椭圆c： =1，设r（x0，y0）是椭圆c上任一点，从原点o向圆r：（xx0）2+（yy0）2=8作两条切线，切点分别为p，q（1）若直线op，oq互相垂直，且r在第一象限，求圆r的方程；（2）若直线op，oq的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=021设函数f（x）=ax2lnx（ar）（i）若f（x）在点（e，f（e）处的切线为xey+b=0，求a，b的值；（）求f（x）的单调区间；（）若g（x）=axex，求证：在x0时，f（x）g（x）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，共1小题，满分10分选修4-1：几何证明选讲22如图，o的半径为6，线段ab与相交于点c、d，ac=4，bod=a，ob与o相交于点（1）求bd长；（2）当ceod时，求证：ao=ad选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23在直角坐标系xoy中，直线c1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆c2的方程为=2cos+2sin（）求直线c1的普通方程和圆c2的圆心的极坐标；（）设直线c1和圆c2的交点为a，b，求弦ab的长选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24已知函数f（x）=|xa|x+3|，ar（）当a=1时，解不等式f（x）1；（）若当x0，3时，f（x）4，求a的取值范围2015-2016学年广东省粤西“四校”高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=1，2， ，集合b=y|y=x2，xa，则ab=（）ab2c1d【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】将a中的元素代入集合b中的等式中求出y的值，确定出b，求出a与b的交集即可【解答】解：当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=，b=1，4， ，ab=1故选：c【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（）abcd【考点】复数的基本概念【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出，则答案可求【解答】解：z=，则复数z=的共轭复数的虚部为故选：d【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题3下列命题中的假命题是（）axr，log2x=0bxr，x20cxr，tanx=0dxr，3x0【考点】特称命题【专题】简易逻辑【分析】a、b、c可通过取特殊值法来判断；d、由指数函数的值域来判断【解答】解：a、x=1成立；c、x=0成立；d、由指数函数的值域来判断对于b选项x=0时，02=0，不正确故选：b【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题4若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）a4b5c6d7【考点】程序框图【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论【解答】解：当输入的值为n=5时，n不满足上判断框中的条件，n=16，k=1n不满足下判断框中的条件，n=16，n满足上判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足下判断框中的条件，n=8，n满足判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n满足判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足下判断框中的条件，n=2，n满足判断框中的条件，n=1，k=5，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选b【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题5已知，则下列不等式一定成立的是（）abcln（ab）0d3ab1【考点】对数值大小的比较【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意得出ab0；利用指数函数y=与幂函数y=xb的单调性判断a正确，利用作差法判断b错误，利用分类讨论法判断c错误，根据指数函数的性质判断d错误【解答】解：y=x是定义域上的减函数，且，ab0；又y=是定义域r上的减函数，；又y=xb在（0，+）上是增函数，；，a正确；=0，b错误；当1ab0时，ln（ab）0，当ab1时，ln（ab）0，c错误；ab0，3ab1，d错误故选：a【点评】本题考查了指数函数与对数函数以及幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了作差法与分类讨论思想的应用问题，是基础题目6下列函数既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是（）af（x）=sinxbf（x）=lncf（x）=|x+1|df（x）=【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】根据正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，奇函数的定义，减函数的定义即可判断每个选项的正误，从而得到正确选项【解答】解：af（x）=sinx在1，1上单调递增；bf（x）=，解得该函数的定义域为2，2；又f（x）=；f（x）在区间1，1上是减函数；又f（x）=f（x）；f（x）是奇函数；该选项正确；cf（x）=|x+1|，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0；而这里f（0）=1；该函数不是奇函数；d.，f（1）=；该函数在1，1上不是减函数故选b【点评】考查正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，以及奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0，减函数的定义7已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）abcd【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，|a|1，t2，而d不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2对于选项a，a1，t2，满足函数与图象的对应关系，故选d【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键8已知点q（5，4），若动点p（x，y）满足，则pq的最小值为（）abc5d以上都不对【考点】简单线性规划【专题】数形结合；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出p点的区域，求出bq连线的斜率，求得的斜率小于1，可知过q点作直线x+y2=0的垂线，垂足在直线上b的下方，由此可知当p在b点处pq的距离最小【解答】解：由约束条件足，得p（x，y）所在区域如图，联立，得b（1，1），过q点与直线x+y2=0垂直的直线的斜率为1，过q点作直线x+y2=0的垂线，垂足在直线上b的下方，可行域内的点p为点b时pq的值最小，最小值为故选：c【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是找出使pq值最小的点，是中档题9已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）abc或d或7【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由实数4，m，9构成一个等比数列，得m=6，由此能求出圆锥曲线的离心率【解答】解：实数4，m，9构成一个等比数列，m=6，当m=6时，圆锥曲线为，a=，c=，其离心率e=；当m=6时，圆锥曲线为，a=1，c=，其离心率e=故选c【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意等比中项公式的应用10某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）a5b4c3d2【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可【解答】解：由已知中三棱锥的三视图，可得该三棱锥的直观图如下所示：其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故其底面面积s=33=，高h=2，故体积v=3，故选：c【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状11定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的函数f（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）a3a1b13ac3a1d13a【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】函数的性质及应用【分析】利用奇偶函数得出当x0时，f（x）=，x0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=13a，整体求解即可【解答】解：定义在r上的奇函数f（x），f（x）=f（x），当x0时，f（x）=，当x0时，f（x）=，得出x0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=42=8，x4+x5=24=8，log（x3+1）=a，x3=13a，故x1+x2+x3+x4+x5=8+13a+8=13a，故选：b【点评】本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题12已知f（x）=，g（x）=（kn*），对任意的c1，存在实数a，b满足0abc，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）a2b3c4d5【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意转化为：，对于x1恒成立，构造函数h（x）=x求导数判断，h（x）=，且y=x2lnx，y=10在x1成立，y=x2lnx在x1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0（3，4）使得f（x）f（x0）3，即可选择答案【解答】解：f（x）=，g（x）=（kn*），对任意的c1，存在实数a，b满足0abc，使得f（c）=f（a）=g（b），可得：，对于x1恒成立设h（x）=x，h（x）=，且y=x2lnx，y=10在x1成立，即32ln30，42ln40，故存在x0（3，4）使得f（x）f（x0）3，k的最大值为3故选：b【点评】本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13在等比数列an中，a1=8，a4=a3a5，则a7=【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a1=8，a4=a3a5，8q3=8q28q4，化为（2q）3=1，解得q=a7=故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题14设a=37+c7235+c7433+c763，b=c7136+c7334+c7532+1，则ab=128【考点】二项式定理的应用【专题】计算题；二项式定理【分析】作差，利用二项式定理，即可得出结论【解答】解：a=37+c7235+c7433+c763，b=c7136+c7334+c7532+1，ab=37c7136+c7235c7334+c7433c7532+c7631=（31）7=128故答案为：128【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题15已知矩形 a bcd的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为13【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0x1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0x1.5，正六棱柱的体积v=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，外接球的表面积为=13故答案为：13【点评】本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键16设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值【解答】解：4x2+y2+xy=1（2x+y）23xy=1令t=2x+y则y=t2xt23（t2x）x=1即6x23tx+t21=0=9t224（t21）=15t2+240解得2x+y的最大值是 故答案为【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17在abc中，角a，b，c的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2（）求角a的大小；（）已知等差数列an的公差不为零，若a1cosa=1，且a2，a4，a8成等比数列，求的前n项和sn【考点】数列的求和；等比数列的性质；余弦定理【专题】等差数列与等比数列【分析】（）由已知条件推导出=，所以cosa=，由此能求出a=（）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d0，由此能求出an=2n，从而得以=，进而能求出的前n项和sn【解答】解：（）b2+c2a2=bc，=，cosa=，a（0，），a=（）设an的公差为d，a1cosa=1，且a2，a4，a8成等比数列，a1=2，且=a2a8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d0，解得d=2，an=2n，=，sn=（1）+（）+（）+（）=1=【点评】本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用18某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在80，90）的学生个数，求的分布列及其数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图【专题】计算题；概率与统计【分析】（）根据茎叶图可得50，60），总共有8人，结合频率分布直方图，可求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（）由题意可知，分数在80，90）有5人，分数在90，100）有2人，共7人抽取的3名同学中得分在80，90）的学生个数的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求的分布列及其数学期望【解答】解：（）由题意可知，样本容量，x=0.10.0040.0100.0160.04=0.030（）由题意可知，分数在80，90）有5人，分数在90，100）有2人，共7人抽取的3名同学中得分在80，90）的学生个数的可能取值为1，2，3，则，所以，的分布列为123p所以，【点评】本题考查茎叶图、频率分布直方图，考查随机了的分布列及其数学期望，考查学生的识图能力，考查学生的计算能力，属于中档题19在三棱柱abca1b1c1中，侧面abb1a1为矩形，ab=2，aa1=2，d是aa1的中点，bd与ab1交于点o，且coabb1a1平面（1）证明：bcab1；（2）若oc=oa，求直线cd与平面abc所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）要证明bcab1，可证明ab1垂直于bc所在的平面bcd，已知co垂直于侧面abb1a1，所以co垂直于ab1，只要在矩形abb1a1内证明bd垂直于ab1即可，可利用角的关系加以证明；（）分别以od，ob1，oc所在的直线为x，y，z轴，以o为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面abc的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论【解答】（i）证明：由题意，因为abb1a1是矩形，d为aa1中点，ab=2，aa1=2，ad=，所以在直角三角形abb1中，tanab1b=，在直角三角形abd中，tanabd=，所以ab1b=abd，又bab1+ab1b=90，bab1+abd=90，所以在直角三角形abo中，故boa=90，即bdab1，又因为co侧面abb1a1，ab1侧面abb1a1，所以coab1所以，ab1面bcd，因为bc面bcd，所以bcab1（）解：如图，分别以od，ob1，oc所在的直线为x，y，z轴，以o为原点，建立空间直角坐标系，则a（0，0），b（，0，0），c（0，0，），b1（0，0），d（，0，0），又因为=2，所以所以=（，0），=（0，），=（，），=（，0，），设平面abc的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，）是平面abc的一个法向量，设直线cd与平面abc所成角为，则sin=，所以直线cd与平面abc所成角的正弦值为【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题20在平面直角坐标系中，已知椭圆c： =1，设r（x0，y0）是椭圆c上任一点，从原点o向圆r：（xx0）2+（yy0）2=8作两条切线，切点分别为p，q（1）若直线op，oq互相垂直，且r在第一象限，求圆r的方程；（2）若直线op，oq的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由直线op，oq互相垂直，且与圆r相切，可得or=4，再由r在椭圆上，满足椭圆方程，求得点r的坐标，即可得到圆r的方程；（2）运用直线和圆相切的条件：d=r，结合二次方程的韦达定理和点r满足椭圆方程，化简整理，即可得证【解答】解：（1）由题圆r的半径为，因为直线op，oq互相垂直，且与圆r相切，所以，即，又r（x0，y0）在椭圆c上，所以，由及r在第一象限，解得，所以圆r的方程为：；（2）证明：因为直线op：y=k1x，oq：y=k2x均与圆r相切，所以，化简得，同理有，所以k1，k2是方程的两个不相等的实数根，所以又因为r（x0，y0）在椭圆c上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0【点评】本题考查椭圆的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，以及韦达定理的运用，考查运算化简能力，属于中档题21设函数f（x）=ax2lnx（ar）（i）若f（x）在点（e，f（e）处的切线为xey+b=0，求a，b的值；（）求f（x）的单调区间；（）若g（x）=axex，求证：在x0时，f（x）g（x）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（i）通过f（x）在点（e，f（e）处的切线为xey+b=0，可得f（e）=，解得，再将切点（e，1）代入切线方程xey+b=0，可得b=2e；（ii）由（i）知：f（x）=（x0），结合导数分a0、a0两种情况讨论即可；（iii）通过变形，只需证明g（x）=exlnx20即可，由于g（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，根据函数的单调性及零点判定定理即得结论【解答】解：（i）f（x）=ax2lnx（ar）f（x）= （x0），f（x）在点（e，f（e）处的切线为xey+b=0，即f（x）在点（e，f（e）的切线的斜率为，f（e）=，切点为（e，1），将切点代入切线方程xey+b=0，得b=2e，所以，b=2e；（ii）由（i）知：f（x）=（x0），下面对a的正负情况进行讨论：当a0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，所以f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，令f（x）=0，解得x=，当x变化时，f（x）、f（x）随x的变化情况如下表： 0（a，+） f（x） 0+ f（x） 由此表可知：f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，+）上单调递增；综上所述，当a0时，f（x）的单调递减区间为（0，+）；当a0时，f（x）的单调递减区间为（0，），f（x）的单调递增区间为（，+）；（iii）f（x）=ax2lnx，g（x）=axex，要证：当x0时，f（x）g（x），即证：exlnx20，令g（x）=exlnx2 （x0），则只需证：g（x）0，由于g（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，g（x）=在（0，+）上是增函数，g（1）=e10， =，g（1），g（x）在内存在唯一的零点，也即g（x）在（0，+）上有唯一零点，设g（x）的零点为t，则g（t）=，即 （），由g（x）的单调性知：当x（0，t）时，g（x）g（t）=0，g（x）为减函数；当x（t，+）时，g（x）g（t）=0，g（x）为增函数，所以当x0时，又，故等号不成立，g（x）0，即当x0时，f（x）g（x）【点评】本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，注意解题方法的积累，属于难题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，共1小题，满分10分选修4-1：几何证明选讲22如图，o的半径为6，线段ab与相交于点c、d，ac=4，bod=a，ob与o相