李亚娟数形结合在中学数学中的应用.doc

数形结合在中学数学中的应用摘 要数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是教学发展的内在因素。数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应该仅仅作为一种解题方法，而应该作为一种基本的、重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从数与形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。关键词：数形结合 方法 数学教学 应用The combination of the number and shape at middle school math teachingAbstractThe contradictions reunification of two major subjects in mathematics shape and number is the internal factor of the development of mathematics. Number shape union should not merely be as problem solving method, but should serve be as a basic and important mathematical idea to learn, study and master. By the raise of the number shape union ability, the substance of mathematical problems can be understood profoundly, the solid mathematical basis can be got and the quality of mathematics can be improved. And so can promote the development of mathematics.Keywords: Combining the number and shape; Methods; Mathematics teaching ; application数形结合在中学数学中的应用数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映,是数学的基石.在数学教学过程中,处处渗透着数形结合的思想从数和形两个侧面对问题进行分析,以培养学生思维的深刻性与批判性，构成了数学教学的主要任务.以数助形、以形助数、数形互助，构成了数形结合的基本途径1 与函数有关的问题函数的图像及性质常常是解决问题的突破口,函数的图象是函数解析式的“形”的表象,它以图形的方式来刻划函数中变量之间的变化关系.通过函数的图象研究函数的性质,是中学阶段学习函数理论的重要方法，既有助于理解和记忆函数的性质,也有助于应用函数的性质分析问题和解决问题.例1 实系数方程的一根在 之间,另一根在之间,求的范围.分析 若直接利用求根公式或根与系数的关系,则步履维艰;若把数的关系转化为图像,则条件便转化到图像上. 令,可得 即图1 图2 它是所要满足的条件,用图像表示点的区域为的内部,可理解的几何意义为过点与的直线的斜率,显然有= .例2 的定义域为实数集,且有.已知恰有四个不同的实数根,则此四个实数根之和是多少? 解 由,知道函数的图像关于直线对称如图,画一个符合要求的函数的图像设有两个根分别为.由对称性知,另一根分别为,.于是,四根之和.图3例3 方程的 实根的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解 若直观通过解方程来求其实根的个数,则比较麻烦可在同一直角坐标系中画出函数和的图像,通过观察可知,这两个函数的图像有且只有一个交点,所以方程只有一个实根,应选.2 与不等式有关的问题不等式所涉及到的复杂变换技巧和过于形式化的知识特点,使不等式的学习便得抽象和难于理解如果方程或不等式两边的表达式有明显的几何意义,或通过某种方式可以与图形建立联系,可将方程或不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决，使得原问题直观且易于理解，从而所讨论问题得到解决设和 是上的连续函数,以曲线为下界,以曲线为上界,以平行于轴的直线为左界,以平行于轴的直线为右界所围成的图形是一个点的集合.如果图形不包括界线在内,那么这个点集可以用下列不等式描述：, , 即属于这个集合的点的坐标满足上面两个不等式,反之对于区间内的任一值,相应的点必属于这个集合. 图4类似的,不等式,描述平面上的一个图形内的点集,这图形左以曲线为界,右边以曲线为界.上以为界,下以为界.图5我们把形如, ,或,的不等式所确定的平面上的点集叫做区域.例4 解不等式.解 点满足不等式的充分必要条件是和有同符号的值.因此设的区域为, 的区域为;的区域为, 的区域为则,从原不等式的区域(下图)可知,所求解为: 图6例5 已知正数,且满足条件求证：.分析 直接从代数角度思考,比较麻烦但从条件是正数,可联想到以为边长的等边三角形,通过直观的几何图形,就很容易得出要证的结论.解 如图,作边长为的正三角形,在其三边上分别取,使则, ， ， ，.显然有：,即. 图7下面例子若将方程中的等号改为不等号,解这个无理不等式,同样可以用类似去解,节省了大量的不必要的运算,我们先以解等式为例. 例6 解方程：.分析 要解这个方程,按一般解法,就是先化简,经过两次平方后脱去根号,再求解.但过程非常繁冗,容易出错,因此不是个好解法.观察一下这个方程的形式,就会联想到椭圆第一定义的数学表达式,配方后再令,即可,且.由椭圆第一定义可知,点的轨迹为一个以、为焦点、长轴为的椭圆.这样的话,解原方程就等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它的横坐标，因此问题得以简洁明快地解决.解 原方程.故原方程的解为.3 与抛物线有关的问题抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹.这一定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.利用图像常能找到解决与抛物线有关问题便捷的解题途径. 在数学课堂教学中,掌握圆锥曲线的图像是很重要的内容,它直观反映了曲线的特点灵活应用图像解题是一种很重要的方法,它不但可以使问题得到简化,还能提高学习效率例7 已知抛物线:即定点,试问:是否存在过点的直线,使得能在抛物线上找到不同的两点关于直线对称?若存在,请求出直线的斜率的范围；不存在,请说明理由.解 设直线的方程为.当时,显然成立.当时,设抛物线上关于直线对称的两点为:、,的中点为.由,两式相减,得.又因直线过点,所以,得.如图,过作轴的平行线交抛物线于,则,得,结合图像易知,即,得,故知斜率的范围为.图84 与轨迹有关的问题求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材,也是解析几何的主要课题该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程,而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透.轨迹问题是高考中的一个热点和重点,在历年高考中出现的频率较高,巧妙的运用数形结合思想有事半功倍的效果.例8 已知圆和点,为圆周上的两个动点,且满足,求弦的中点的轨迹方程.分析 巧用平面几何知识,避免运算.利解析几何的知识与方法,一般设，,. , ,.通过这五个式,得的方程,众多未知数的消元过程是大部分学生手足无措,但是若能想到初中几何中的直线与圆的关系,此问题的简便解法就在情理之中了.解 连. 因为为弦的中点,故. 因为,设点的坐标为,又因为在中, ，,又, 所以轨迹方程为:.图95 与最值问题有关的问题中学数学中求函数的最值问题是研究函数性质的一个极其重要的方面,所涉及的知识面宽,方法灵活,应用广泛在高考和数学竞赛中占有相当重要的地位.而数形结合思想是求解数学问题的一种常用思想,它不仅对于沟通代数、几何与三角形的内在联系具有指导意义,并把数式的准确刻化与几何图形的直观描述有机地结合起来,而且更重要的是对开发学生的创造性思维,完善学生的思维品质有着特殊的重要作用.如果只是从”数”到”数”的解题,不仅运算非常繁难,也激发不了学生的积极思维,如果用数形结合的思想进行开拓,会轻松解决此类问题.例9 当s和t取遍所有实数时,求的最小值.解 由,消去得点的轨迹为:,由消去得的轨迹为：由图直观地得到过点到的距离最短.上例就是将原问题化为图形的直观思维的处理,对于较为复杂的隐含条件给与几何意义,展示了数形结合思想界最值问题的一般原理.但有些综合题,乍看无从下手考虑再三还是一筹莫展,另一些综合题,似乎容易下手,但一动笔,计算繁难令人望而生畏,这都是未得要领,没有挖掘出题设中的隐含条件,题目本质特点为暴露之故.下面的一个例子以示数形结合在这方面的功能和效果.例10 已知复数和同时满足（1）,(2)成等差数,试问有没有最大值,如果有,求出这个最大值.解 本题若用代数法或三角法,解题过程比较繁琐由可知,在复平面内与对应的向量构成首尾相连的三角形或共线的三条线段这样即使三个向量共线,与复数和对应的向量的方向也不能相同,当然只能相反.在,由余弦定理得： 当且仅当时,等号成立.6 数形结合可使抽象的复杂问题简单化巧妙应用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,有时可取到事倍功半的效果,数形结合的重点是研究”以形助数”.例4 已知, 求的幅角主值范围解:由已知知点的轨迹是即如图所示轴是其一条切线，设过原点的另一 条切线,设圆心到点的距离为,则:据数形结合知致谢词首先感谢我的导师李中方老师，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样，他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。张老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导。除了敬佩李老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作。 最后还要感谢大学三年来所有的数学系老师，是在他们的教诲下，我喜欢上了数学，掌握了坚实的专业知识基础，为我以后的扬帆远航注入了动力。 同时也真诚的感谢所有帮助过我的同学和朋友，谢谢你们对我的支持和帮助！参考文献1张雄、李得虎著,数学方法论与解题研究 M.高等教育出版社,2004,112-114.2莫红梅. 谈数形结合在中学数学中的应用J. 教育实践与研究 , 2003,75-77.3赵玲. 数形结合思想及其应用J. 山西煤炭管理干部学院学报 , 2007,102-10